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Método Simplex
M.C. Ing. Julio Rito Vargas A. Agosto 2008
Universidad Nacional de Ingeniería
Sede: UNI-Norte
Investigación de Operaciones I
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
. El Método Simplex
Ejemplo.
Resolver el siguiente problema de P.L.
Max
s. a:
21 34 xxz
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
0,
602
40
21
21
21
xx
xx
xx
Para resolver por el método
simplex, primero debemos
eliminar las desigualdades en
las restricciones. Eso se logra
introduciendo variables
artificiales o de holguras.
En la primer restricción
sumamos una variable x3 para
establecer la igualdad. Lo
mismo hacemos con la segunda
restricción, le sumamos una
variable x4.
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex
Ejemplo.
Modelo ampliado
Max
0,
602
40
:.
00034
21
421
321
4321
xx
xxx
xxx
as
xxxxZ
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
Las variables artificiales
que hemos introducidos
en las restricciones,
serán parte de la función
objetivo pero tendrán
coeficiente cero, ya que
deben alterar los
resultados del modelo.
La función objetivo se
iguala a cero, por
simples transformaciones
algebraicas.
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 0:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z -4 -3 0 0 0
X3 1 1 1 0 40
X4 2 1 0 1 60
En la primera iteración
se hace tomando en
cuenta cual es valor
más negativo de la
primer fila (fila de Z),
puede verse que es -
4, esto determina que
la variable que entrará
a las VB será x1.
Cada valor de la columna seleccionada que no sea ni cero ni negativo
se divisor de sus lados derechos respectivos, esto es 40/1 y 60/2, el
cociente más pequeño determinará la VB que sale. En este caso sale
x4.
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 0:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z -4 -3 0 0 0
X3 1 1 1 0 40
X1 1 1/2 0 1/2 30
Una vez seleccionada
la columna y fila
pivote, procedemos a
través de
transformaciones de
filas a hacer cero los
valores de la columna
pivote excepto el
número pivote que
tiene que ser uno.
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 0:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z 0 -1 0 2 120
X3 0 1/2 1 -1/2 10
X1 1 1/2 0 1/2 30
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 1:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z 0 -1 0 2 120
X3 0 1/2 1 -1/2 10
X1 1 1/2 0 1/2 30
2f2f2
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 1:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z 0 -1 0 2 120
X2 0 1 2 -1 20
X1 1 1/2 0 1/2 30-1/2f2+f3 f3
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 1:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z 0 -1 0 2 120
X2 0 1 2 -1 20
X1 1 0 -1 1 20
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
El Método Simplex.
Iteración 1:
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
VB x1 x2 X3 x4LD
Z 0 0 2 1 140
X2 0 1 2 -1 20
X1 1 0 -1 1 20
f2+f1 -->f1
llegamos a la solución óptima, al no haber valores negativos en la
primer fila. Por tanto x2=20 y x1=20 con max z=140 (óptimo)
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
En este caso:
60
40
3,4
b
c
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
1012
0111, IA
4
3
x
xX
X
XX
B
B
N
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Iteración 0:
Entonces:
Solución factible (0,0,40,60) Z=0
1
10
01
BB
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
4
3
x
xX B
60
40
60
40
10
01
4
3
x
x
0,0c
060
400,0
BB Xcz
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Iteración 1:
Entonces:
Solución factible (30,0,10,0) Z=120
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
1
3
x
xX B
30
10
60
40
2
10
2
11
1
3
x
x
4,0c 120
30
104,0
BB Xcz
2
10
2
11
20
111BB
Modelos de Programación Matemática
Programación Lineal
Iteración 2:
Entonces:
Solución factible (4,3,0,0) Z=140
Inv
esti
gació
n d
e O
pera
cio
nes
1
2
x
xX B
20
20
60
40
11
12
1
2
x
x
4,3c 140
20
204,3
BB Xcz
11
12
21
111BB