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MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN CUANTITATIVA
Sesión 7
TEST DE HIPÓTESIS (I/II)
FÁTIMA PONCE REGALADO 1
2
PUNTOS A TRATAR
Sesión 7: TEST DE HIPÓTESISDefiniciones.Procedimiento para la toma de decisiones
empleando Test de Hipótesis.Prueba bilateral (dos colas). Muestra grande y Muestra pequeñaEjercicios.
FÁTIMA PONCE REGALADO
3
INFERENCIA ESTADÍSTICA
La estadística inferencial requiere explicitar el vínculo que hay entre población y muestra (a través de un modelo probabilístico). El análisis estadístico nos permite reducir el nivel de incertidumbre en la toma de decisiones.
Con frecuencia el propósito de una investigación es probar hipótesis y generalizar los resultados obtenidos en la muestra a la población.
La estimación y la prueba de hipótesis son aspectos complementarios.
Recolección dedatos de la
muestra
Cálculo de estadísticosmuestrales
Inferencia de losParámetros
a la población
FÁTIMA PONCE REGALADO
4FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBA DE HIPÓTESIS Herramienta analítica efectiva para obtener
información valiosa, bajo una variedad de circunstancias.
Indica el proceso mediante el cual decidimos si una proposición respecto de un parámetro de la población es congruente con los datos observados en la muestra.
Por ejemplo: Para probar hipótesis respecto de la media (µ), el investigador evalúa si es alta o baja la probabilidad de que la media muestral ( ) esté cerca de µ: Si prob. es alta, se podrá hacer generalizaciones.
X
5FÁTIMA PONCE REGALADO
¿≠?¿La diferencia
es estadísticamente significativa?
PRUEBA DE HIPÓTESIS
POBLACIÓN Muestra
Estimación
Estadístico Muestral
_ (X, s, p)
Parámetro Poblacional
(,, P)
Hipótesis: Enunciado acerca de la población (parámetros) elaborado con el propósito de ponerlo a prueba.
6FÁTIMA PONCE REGALADO
CONTRASTANDO UNA HIPÓTESISLa edad
promedio es 29 años...
años 21X
¡Es una gran diferencia!
Rechazo la hipótesis
Muestra aleatoria
7FÁTIMA PONCE REGALADO
CONTRASTANDO UNA HIPÓTESIS
Supuesto sobre la Población
H0: µ = 29 H1: µ ≠ 29
Tome una muestra
¿Es probable que obtengamos una muestra con media = 21procedente de una población con media = 29?
ES MUY POCO PROBABLE
Se RECHAZA la Hipótesis Nula
Se ACEPTA la Hipótesis Alternativa
21x
8FÁTIMA PONCE REGALADO
ALGUNASDEFINICIONES
9FÁTIMA PONCE REGALADO
Es una declaración relativa a un parámetro (o varios) de la población sujeta a verificación.
Ejemplos de hipótesis son:El salario mensual promedio de un gerente es S/.
15,500.70% de todos los que asisten a “La Feria del libro de
Lima” regresan todos los años.El número promedio de horas de estudio dedicadas al
curso de MIC a la semana es 7 horas.Diez minutos de video se sube a youtube en 2
segundos en promedio.
¿QUÉ ES UNA HIPÓTESIS?
10FÁTIMA PONCE REGALADO
ALGUNAS DEFINICIONES
Hipótesis Nula (H0): Enunciado acerca del valor de un parámetro poblacional o combinación de parámetros.
Hipótesis Alternativa (H1 ó Ha): Enunciado que se aceptará si los datos muestrales proporcionan amplia evidencia de que la H0 es falsa.
Nivel de significancia () ó Tamaño de la Prueba: Es la probabilidad de rechazar la H0 cuando es verdadera. ¿Con qué grado de confianza vas a decidir lo que vas a contrastar?.
La Hipótesis nula se rechaza o no se rechaza.
11FÁTIMA PONCE REGALADO
TIPO DE ERRORES
Nunca estaremos completamente seguros de nuestra estimación… Aunque el riesgo pueda ser mínimo, tendremos un error.
Error tipo I: Rechazar H0 cuando en realidad es verdadera. La probab. de cometer un error tipo I = seleccionado.
Error tipo II: Aceptar la H0 cuando en realidad es falsa.
Hipótesis No se rechaza H0 Se rechaza H0 NulaH0 es V Decisión correcta
H0 es F Error Tipo II
Error Tipo I
Decisión correcta
12FÁTIMA PONCE REGALADO
SIMILITUDES EN LA VIDA REALEj.: Se juzga a un individuo por la presunta comisión de un delito
H0: Es inocente
Los datos pueden refutarla. La H0 se acepta si las
pruebas no indican lo contrario.
No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.
H0: Esta sano H1: Está enfermo
Los datos pueden refutarla. La H0 se acepta si las
pruebas no indican lo contrario.
Ej.: Se analiza a una persona por la presunta enfermedad
H1: Es culpable
13FÁTIMA PONCE REGALADO
SELECCIÓN DEL NIVEL DE SIGNIFICANCIA ()
Nivel de significancia () es la probabilidad de rechazar la H0 cuando es verdadera (tamaño de la prueba = Error tipo I).
Es un nivel de probabilidad de equivocarse y se fija de manera a priori.
Una hipótesis puede ser probada a cualquier , su elección depende del que tomará la decisión: ¿Cuanto riesgo se quiere tener al rechazar una hipótesis nula cuando esta es verdadera?.
No existe un estándar, por lo general se emplea más el 5% (0.05), aunque algunos emplean el 1% (0.01) ó 10% (0.10).
Si queremos equivocarnos poco =0.01, si queremos equivocarnos más =0.10. El valor que generalmente se usa es 0.05.
14FÁTIMA PONCE REGALADO
DETALLES ACERCA DE H0 Y H1
Hipótesis Nula Ho
La que contrastamos. Se dice que es cierta a
menos que se demuestre lo contrario.
Los datos de la muestra pueden refutarla.
No debería ser rechazada sin una buena razón.
Incluirá el signo =.
Hipótesis Alternativa H1
Niega a H0 . Los datos pueden
mostrar evidencia a favor.
No debería ser aceptada sin una gran evidencia a favor.
H0 y H1 son mutuamente excluyentes. Se usa una muestra aleatoria (n) para “rechazar o no rechazar a H0”
15FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBA DE HIPÓTESIS
Procedimiento basado en la evaluación muestral y en la teoría de probabilidad, se emplea para determinar si la hipótesis que se está evaluando es un enunciado razonable y debería ser aceptada, o si no es razonable y por tanto debería ser rechazada.
Su propósito es hacer un juicio respecto de la diferencia entre el estadístico muestral (valor Z muestral) y un parámetro hipotético de la población.
El aspecto principal es determinar si esa diferencia se debe razonablemente a la variabilidad del muestreo, o, si la discrepancia es demasiado grande (es estadísticamente significativa).
16FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBA DE HIPÓTESIS Cuando se acepta una H0 como V, no prueba que esa H0
sea cierta, sólo no estamos teniendo evidencia estadística suficiente para rechazarla. La única forma de probar que la H0 es V es si conociésemos el verdadero valor del parámetro poblacional.
Muestra aleatoria proporciona evidencias que permiten rechazar o no rechazar la hipótesis nula.
Si la evidencia de la muestra es inconsistente con la hipótesis planteada Se rechaza la H0
Si la evidencia de la muestra es consistente y apoya la hipótesis planteada No se rechaza la H0.
17FÁTIMA PONCE REGALADO
PROCEDIMIENTO DE UNA PRUEBA
DE HIPÓTESIS
18FÁTIMA PONCE REGALADO
PASOS PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS
Plantear H0 e H1
Paso 1
Seleccionar el nivel
Paso 2
Calcular el valor del estadísticode prueba
Paso 3
Formular reglapara tomar decisión
Paso 4
Tomar unadecisión
Paso 5No se rechaza H0
Se rechaza H0 y “se acepta” H1
19FÁTIMA PONCE REGALADO
1) Plantear H0 y H1 H0: µ = 50 H1: µ ≠ 50
2) Seleccionar el nivel de significancia ().3) Calcular el valor estadístico de prueba. por ej. estadístico
de prueba Z será: _ X - µ Z= --------- / n 4) Formular la regla de decisión: Valor crítico, región de
rechazo y región de aceptación de la H0.5) Tomar una decisión.
A continuación veamos los pasos con detalle.
Cere
al
Real
PROCEDIMIENTO PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS
20FÁTIMA PONCE REGALADO
PROCEDIMIENTO PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS
1) Plantear H0 y H1
H0: µ = 50 “El productor dice que el peso promedio es 50 grs”
NOTAR: La H0 siempre incluirá el signo “igual”, es el enunciado a probar.
H1: µ ≠ 50 representa que la H0 no es verdadera.
NOTAR: Tiene el signo ≠ la prueba se realiza a 2 colas.
2) Seleccionar el nivel de significancia: = 0.053) Calcular el valor estadístico de prueba obtenido a partir
de los datos de la muestra. Se supone una distribución de probabilidad de la VA.
_ Por ej.: Con n=60, X=52, =4, el valor Z estimado será:
21FÁTIMA PONCE REGALADO
PROCEDIMIENTO PARA PROBAR UNA HIPÓTESIS
_ Por ej.: Con n=60, X=52, =4, el valor Z estimado será:
4) Formular la regla de decisión. Definir la región de rechazo y la región de aceptación de la H0 a partir del valor crítico de tabla: Zα/2 = 1.96
_ X - µ Z est= --------- = 3.87
/ n
5) Tomar una decisión: No Rechazar o rechazar la H0.
Si Zest. = 3.87 Dado que Zest. > Ztabla Se rechaza la H0, se aceptaría que no hay suficiente evidencia muestral para aceptar que el peso promedio es 50 grs.
22FÁTIMA PONCE REGALADO
REGIÓN DE RECHAZO y ACEPTACIÓN DE H0
50
50 50
H0: µ = 50H1: µ ≠ 50
Si Zest. = 3.87 Se rechaza H0
Valor crítico = 0.05
gramos
23FÁTIMA PONCE REGALADO
TIPOS DE PRUEBAS
24FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE DOS COLAS (BILATERAL)
Una prueba de dos colas: Tiene una zona de rechazo en ambas colas de la distribución: /2 a cada lado.
4 años
Valor crítico
H0: µ = 4H1: µ ≠ 4
25FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA COLA: A LA IZQUIERDA
Tiene una zona de rechazo sólo en una de las colas de la distribución: Prueba de la cola izquierda o inferior.
Valor crítico
H0: µ 5H1: µ < 5 Indica una sola dirección: La media
poblacional es menor que 5.
0 Escala de Z
26FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA COLA: A LA DERECHA
Tiene una zona de rechazo sólo en una de las colas de la distribución: Prueba de la cola derecha o superior.
Valor crítico
H0: µ 5H1: µ > 5 Indica una sola dirección: La media
poblacional es mayor que 5.
0 Escala de Z
27FÁTIMA PONCE REGALADO
EJERCICIOS PRUEBA PARA LA MEDIA DE LA
POBLACIÓN A 2 COLAS
28FÁTIMA PONCE REGALADO
EJERCICIO 1 (Levin y Rubin 8.12)
1. Una tienda de abarrotes ha empacado naranjas en bolsas especiales y asegura que una bolsa rinde 2.5 litros de jugo. Después de seleccionar al azar 42 bolsas, el empacador encontró que la producción promedio de jugo por bolsa era 2.2 litros. Datos históricos establecen que la desviación estándar de la población es de 0.2 litros. Usando esta muestra ¿se puede concluir que la afirmación de la tienda es correcta?
a. Use un criterio de decisión de 2.5 errores estándar.
b. Usando un = 0.05 (5%).
29FÁTIMA PONCE REGALADO
Paso 1: Se establecen hipótesis nula (H0) y alternativa (H1)
H0: = 2.5
H1: ≠ 2.5
Paso 2: Seleccionar criterio de decisión o nivel de significancia. En este caso nos dan criterio de decisión = 2.5
Paso 3: Calcular el estadístico de prueba: Se usa la Z.
EJERCICIO 1a
_ X - µ 2.2 – 2.5 Zest= --------- = -------------- Zest=-9.72 / n 0.2 / 42
30FÁTIMA PONCE REGALADO
Paso 4: Se formula la regla de decisión: Rechazar H0 si |Zest| > Z/2
EJERCICIO 1a
µ= 2.5
Valor crítico
litros
2.5-2.5
. .
Paso 5: Se toma una decisión: Como -9.72 < -2.5 H0 se rechaza La evidencia de la muestra indica que la afirmación no es correcta. La producción promedio de jugo por bolsa ha cambiado.
31FÁTIMA PONCE REGALADO
Paso 1: Se establecen hipótesis nula (H0) y alternativa (H1)
H0: = 2.5
H1: ≠ 2.5
Paso 2: Seleccionar = 0.05 Z α/2 =±1.96Paso 3: Estadístico de prueba Z=-9.72Paso 4: Se formula la regla de decisión: Rechazar H0 si |
Zest| > Z/2
Paso 5: Se toma una decisión: Como -9.72 < -1.96 H0 se rechaza La evidencia de la muestra indica que la afirmación no es correcta. La producción promedio de jugo por bolsa ha cambiado.
EJERCICIO 1b
32FÁTIMA PONCE REGALADO
EJERCICIO 22. El gerente de una empresa desea probar la hipótesis de
que el gasto en energía promedio mensual de su empresa es S/. 312. Selecciona una muestra de 200 meses, dando una media de S/. 298.1 con s=S/. 97.3. Para minimizar la probabilidad de un error tipo I, selecciona un valor =1%.
1er paso: Definir las hipótesis: H0: µ= 312 ^ H1: µ ≠ 3122do paso: Seleccionar nivel = 0.01.Un =1% a dos colas valores críticos de Zα/2=±2.58.3er paso: Calcular el Zest. No se conoce solo s: _ X - µ Zest= --------- s / n 298.1 - 312 Zest= ----------------- Zest = -2.02
97.3 / 200
33FÁTIMA PONCE REGALADO
EJERCICIO 2
soles
4to paso: Formular Regla de decisión: No rechazar H0 si -2.58Zest 2.58. Rechazar H0 si Zest<-2.58 ó Zest> 2.58.
5to paso Tomar una decisión: ¿Rechazar o no H0?
Zest=-2.02: Dado que -2.58Zest2.58No se rechaza la H0, el resultado muestral no permite rechazar que el gasto en energía promedio mensual de su empresa es S/. 312. La diferencia entre el valor de la media poblacional bajo la H0 de S/. 312 y el valor de la media muestral S/. 298.1 es estadísticamente insignificante, podría resultar simplemente del error de muestreo. Si µ=312, el 99% de todas las muestras de tamaño n=200 producirán valores Z entre ±2.58.
34FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MUESTRAS GRANDES
Se emplea la distribución Normal Estándar: Z como valor estadístico de prueba.
Hay dos casos: Se conoce : _
X - µ Z= --------- / n
No se conoce , por lo que se requiere estimarla (s) con los datos de la muestra grande (> 30 obs).
_ X - µ Z= --------- s / n
35FÁTIMA PONCE REGALADO
PRUEBAS DE HIPÓTESIS PARA MUESTRAS PEQUEÑAS
Se emplea la distribución t de Student: t como valor estadístico de prueba.
En general la t se emplea cuando: la muestra es pequeña. es desconocida Se emplea s. la población es normal o casi normal.
El estadístico t se calcula como: _
X - µ s_ x
t =
36FÁTIMA PONCE REGALADO
3. Una empresa que brinda el servicio de Internet ha estimado que el gasto promedio mensual de una familia en este servicio es S/. 60, el gerente desea verificar esto pues esa información la usará en sus proyecciones de ingresos para el próximo año. Para ello seleccionó una muestra de 26 recibos y encontró que la media muestral era S/. 57 con una desviación estandar de S/10. Se puede concluir que la diferencia de S/. 3 entre la media muestral y la media poblacional puede atribuirse al azar?.
Ejercicio 3
1° Definir las Hipótesis: H0: µ = 60 H1: µ 60
2° Seleccionar = 0.05.
37FÁTIMA PONCE REGALADO
3° Estadístico de Prueba: Como no se conoce y n=26 < 30 se emplea la t.
Ejercicio 3
4° Formular la regla de decisión: Aceptar la H0 si t < t/2 n-1 g.l.= 2.06
Rechazar la H0 si t > t/2 n-1 g.l.= 2.06
_
X - µ =
s / n
t =
57 - 60 10/26
= -1.53 _
X = media muestral = 57. = media poblacional hipotética = 60 n = tamaño de la muestra = 26 s = desviación estándar de la muestra = 10
38FÁTIMA PONCE REGALADO
DISTRIBUCIÓN t
2.060
g.l.
Prueba de dos colas
Valor IC
Para el caso de la media muestral: n-1
39FÁTIMA PONCE REGALADO
Región de aceptación de la H0: µ = 60
95%
DISTRIBUCIÓN t
-2.06 0 2.06
Valor crítico
Región de rechazode la H0.
Región de rechazode la H0.
5) Tomar una decisión: Rechazar o no la H0?Dado que t= -1.53 < t/2
n-1 g.l.= 2.06 se acepta H0. Se acepta que la diferencia de S/.3 entre la media muestral y la media poblacional se debe al azar.
40FÁTIMA PONCE REGALADO
Anderson, D., Sweeney, D. y Williams T. (2008). Cap 9.
Levin, R. y Rubin, D. (2010). Cap. 8.
BIBLIOGRAFIA