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Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
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Comportamiento en pequeComportamiento en pequeComportamiento en pequeññña sea sea señññal de las fuentes al de las fuentes al de las fuentes conmutadasconmutadasconmutadas
IntroducciónEstudio en pequeña señal de modelos promedio
Ejemplo de promediado del circuitoEjemplo con PspiceVariables de estadoEquivalente promedio de los elementos de conmutación
Modelado de convertidores en conducción discontinuaParadoja del promedioOrden reducidoOrden completoModelo continuoSimulación
Reguladores linealesEjemplo de diseñoConclusiones y comentarios finalesReferencias
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Introducción (I)
- Los convertidores son conmutados porque el interruptor es el único elemento activo con
capacidad de regulación cuyo rendimiento teórico es 100%.
- La regulación mediante dispositivos que trabajan en conmutación hace que los sistemas
resultantes no sean LTI (lineales e invariantes en el tiempo).
- Sólo es posible utilizar el diagrama de bode en sistemas LTI.
- El tipo de regulación que vamos a considerar es PWM (modulación de ancho de pulso) con
frecuencia de conmutación constante, fs=1/T.
- El parámetro de control es el ciclo de trabajo, d.
- El ciclo de trabajo se obtiene a partir de una “señal de control”, vc.
- El ciclo de trabajo no se puede modificar dentro de un periodo de conmutación.
- El ciclo de trabajo resulta, por tanto, de muestrear vc con un periodo T.
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Introducción (II)
t
Cerrado Abierto
D.T T
δ(t)
+
vg(t)
-
iC
R
L
iR+
v(t)
-
M
iM
C
iD
iL
-+
vref
Gc(s)PWMDriver
δ(t) vc(t) ε(t)
vc(t)
t
Objetivo: Diseñar Gc(s) y realizarlo en un dispositivo tipo 3525, u otra implementación, por ejemplo digital.
La señal vc(t) la podemos tratar como una señal moduladora, siendo la portadora una señal triangular de periodo T.
Generalización: vg(t) puede ser una tensión continua o alterna, vref puede ser una tensión continua o alterna. Con un esquema de control semejante podemos controlar iL(t) u otra variable, p.e. p(t). También aplicaríamos este esquema sobre otra topología básica o derivada.
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Introducción (III)
φ
Vd
Vd-
0
vab1
io1
En este ejemplo Vg es constante. La tensión vaN está controlada en bucle cerrado con vrefsinusoidal y vbN con la opuesta.A partir de dos convertidores Buck conectados de forma diferencial se obtiene un inversor.Esta configuración tiene una ventaja adicional, se eliminan armónicos pares
V g
+
v ab
+ -
a b
N
Ta+
Ta-
Tb+
T b-
L R
vc(t)
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Introducción (IV)
Ir a Simulink y hacer el muestreo con ZOH de periodo de muestreo constante sobre señales sinusoidales de diferentes frecuencias y obtener conclusiones:La señal muestreada permite reconstruir la señal original si la frecuencia de muestreo es al menos el doble de la frecuencia de la sinusoidal (teorema del muestreo). Esto indica el ancho de banda en el que nos podemos mover para reaccionar ante perturbaciones
El muestreo y reconstrucción producen distorsión y desfase. El desfase es T/2.
Si la frecuencia de la perturbación es alta la distorsión tiene componentes de baja frecuencia
Si la frecuencia de la perturbación es suficientemente baja la distorsión debida al muestreo es de “alta frecuencia” y se filtra fácilmente.
Si la frecuencia de la perturbación es suficientemente baja el desfase, en ángulo, es pequeño. Esto indica en qué medida, un sistema muestreado, nos acerca a una situación de inestabilidad.
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Muestreo 100kHzSeñal con perturbación de 10 kHz
Muestreo 100kHzSeñal con perturbación de 1 kHz
Muestreo 100kHzSeñal con perturbación de 60 kHz
Introducción (V)
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Introducción (VI)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f/fs
|ZO
H(jω
)|/T s
fm/fs0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f/fs
|ZO
H(jω
)|/T s
fm/fs
Un convertidor conmutado con control PWM no es LTI. La transformada de Laplace de un muestreador ideal es
Las réplicas se encuentran en nfs ± fm, donde fs =1/T es la frecuencia de conmutación, fm la frecuencia de la perturbación, y n un entero.La función de transferencia del zero-order hold en el dominio de la frecuencia es
( ) ( )s
ss
Tj
TTTejZOH s
ωωω ω sin2/−=
∑∞
−∞=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
n sc
sc T
njsvT
v π2ˆ1ˆ*
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Introducción (VII)
Si se desea realizar una regulación lineal de una fuente conmutada, el ancho de banda con el que se puede trabajar tiene que ser suficientemente inferior a fs. Desde el punto de vista teórico fs/2 y práctico fs/10 para no tener mucha influencia de la distorsión y retraso de fase generada por el muestreo de vc.
Las variables a regular serán las tensiones, intensidades o potencias pero sin las componentes de rizado de conmutación, es decir regularemos variables promedio tomando, en principio, como periodo para realizar el promedio, T.
Excepción: En el caso de la tensión de salida de un corrector de factor de potencia se realizará el promedio utilizando el periodo de la tensión de red rectificada (10ms).
Especificación de rizado la resuelve el filtro
Especificación de valor promedio la resuelve el regulador
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Estudio en pequeña señal de modelos promedio (I)
Inicialmente se realiza el estudio de circuitos en conducción continua utilizando una de las tres técnicas
- Promediado del circuito- Variables de estado promedio- Equivalente promedio de los elementos de conmutación
Esto permite obtener sistemas continuos, equivalentes al circuito conmutado.
Alrededor de un punto de funcionamiento se puede observar la aproximación lineal del comportamiento del sistema equivalente promedio. Con un equivalente LTI se puede estudiar el diagrama de bode
El resultado tiene validez en un ancho de banda limitado, no se modela la distorsión ni el desfase adicional.
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Para calcular el valor medio en un periodo se utiliza la aproximación de bajo rizado, siempre que sea correcto
i
t
iL
<iL>
El área intensidad tiempo es idéntica si se calcula con iL o con la aproximación de bajo rizado < iL >
i
t
iL
<iL>
En este caso, el área intensidad tiempo es no se puede calcular con la aproximación de bajo rizado < iL >. Hay que realizar la integral.
Estudio en pequeña señal de modelos promedio (II)
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Ejemplo de promediado del circuito (I)
+
vg
-
iC
R
L
iR+
v
-
C
i
M
iD
iM+
vg
-
iC
R
L
iR+
v
-
C
i
M
iD
iM ( )( )dt
idLdvvdv gg =−−+ 1 ( )
dtvd
CdRv
idRv
=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+− 1
( )dt
idLdvvg =−+ 1 ( )
dtvd
CdiRv
=−+− 1
( ) ( )( )dtidL
dtdILdDvVvV gg
ˆˆ1ˆˆ +=−−+−+
( )( )dtvdC
dtdVCdDiI
Rv
RV ˆˆ1ˆˆ
+=−−++−−
DV
V g
−=
1 ( )RDVI
−=
1
( )dtidLDvdVvg
ˆ1ˆˆˆ =−−+ ( )
dtvdCDidI
Rv ˆ
1ˆˆˆ=−+−−
Régimen permanente
Pequeña señal
gv̂ dV ˆdI ˆ+
-
- +
1: D−11
C
L
gv̂ dV ˆdI ˆ+
-
- +
1: D−11
C
L
gv̂
dD
sLIV ˆ1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+
-
- +
1: D−11
Cd
DI ˆ
1−
( )21 DL
−
Rgv̂
dD
sLIV ˆ1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−−
+
-
- +
1: D−11
Cd
DI ˆ
1−
( )21 DL
−
R Forma canónica
Método general, ejemplo Boost
gv+
-
1: d−11
C
L
gv+
-
1:
C
L
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Utilizando el circuito en pequeña señal y cortocircuitando la perturbación de la tensión de alimentación
( )
( ) RsC
RsC
DsL
RsC
RsC
DDsL
RVV
sdsv
svg
++
−
+
−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−==
1
1
1
1
1
11
1)(ˆ)(ˆ
2
20)(ˆ
( )21 DLLeq −
=
RsC
RsC
sL
RsC
RsL
DV
sdsv
eq
eq
svg11
1
11)(ˆ
)(ˆ
0)(ˆ +⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
=
CLsR
Ls
RL
s
DV
sdsv
eqeq
eq
svg20)(ˆ 1
1
1)(ˆ)(ˆ
++
−
−=
=2
00
00)(ˆ 1
1
)(ˆ)(ˆ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
−=
=
ωω
ω
sQ
s
s
Gsdsv z
dsvg
IdentificandoD
VGd −=
10eq
z LR
=ωCLeq
10 =ω
eqLCRQ =
Ejemplo de promediado del circuito (II)
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Ejemplo con PSpice (I)
C1100uF
IC = 5.5V
Rload0.5
R
10m
L
5uHIC = 9A
Vcontrol0.75V
Vd8V
PWM_SAW1
f s = 100kHz
c1 s 2 +
S1 1m
Vgg
v c
D
0
Radd0.5
U1
TCLOSE = 200us
12
v out
I
L1
5uH
IC = 10.65A
1 2R1
10m
C2100uFIC = 5.5V
B
R20.5
U3TCLOSE = 200us
12
R30.5
0
V18Vdc
F1
F
GAIN = 0.75
Vdc A B
-+
+-
E1
E
GAIN = 0.75
Vdc A
I
Time
0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us 350us 400us 450us 500usI(L1) I(L)
0A
10A
20A
30A
Método general, ejemplo Buck
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F2
F
GAIN = 0.75
R S
-+
+-
E2
E
GAIN = 0.75
vg
- ++-
E3E
GAIN = 8
d
0 L2
5uH
1 2
C3100uF
R40.5
R SV2
0Vac0Vdc
V31Vac0Vdc
00
V
d
+-
G1
G
GAIN = 12
vgd
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(L2:2))
-180d
-90d
0dDB(V(L2:2))
-20
0
20
SEL>>
Ejemplo con Pspice (II)
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Variables de estado (I)
Método general, ejemplo Buck
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Variables de estado (II)
)()()(
)()()(
tEutCxty
tButAxdt
tdxK
+=
+=)()()(
)()()(
11
11
tuEtxCty
tuBtxAdt
tdxK
+=
+=
)()()(
)()()(
22
22
tuEtxCty
tuBtxAdt
tdxK
+=
+=
x(t), vector de intensidad por inductancias y tensión en condensadoresK, valores de capacidades e inductancias (propias y mutuas)u(t), vector de fuentes independientesy(t), vector de salida
Tiempo de ON
Tiempo de OFF
Promedio ( ) ( )
( ) ( ) )())(1()()())(1()()(
)())(1()()())(1()()(
2121
2121
tuEtdEtdtxCtdCtdty
tuBtdBtdtxAtdAtddt
txdK
−++−+=
−++−+=
Régimen permanente EUCXYBUAX
+=+=0
( )UEBCAYBUAX
+−=
−=−
−
1
1
21
21
21
21
)1()1()1()1(
EDDEECDDCCBDDBBADDAA
−+=−+=−+=−+=
Pequeña señal ( ) ( ){ }
( ) ( ){ } )(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆ
2121
2121
tdUEEXCCtuEtxCty
tdUBBXAAtuBtxAdt
txdK
−+−++=
−+−++=
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Variables de estado (III)
Vi
L
+C
D1
Q1
Vo
+
-
D2
D3
N 1N3 N 2
iCvce
+
-
iD3
iLrL
rC
Rx 1
x2+-
( ) 02111 =−+++− xCxRxrxLV Li && ( ) 02122 =−+−− xCxRxCrx C &&
( ) ( )
( ) ( )i
CC
CL
LCLC
vLxx
rRCrRCR
rRLR
rRLrrRrRr
xx
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
+−
+++
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
0
1
12
1
2
1
&
&
ON
ivBxAx 11 +=&
Método general, ejemplo Directo con aislamiento
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Vi
L
+C
D1
Q1
Vo
+
-
D2
D3
N 1N3 N 2
iCvce
+
-
iD3
iLrL
rC
Rx 1
x2+-
OFF
( ) 02111 =−++ xCxRxrxL L && ( ) 02122 =−+−− xCxRxCrx C &&
( ) ( )
( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
+
+−
+++
−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
2
1
2
1
1 xx
rRCrRCR
rRLR
rRLrrRrRr
xx
CC
CL
LCLC
&
&
xAx 2=&
Variables de estado (IV)
Método general, ejemplo Directo con aislamiento
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( )21 xCxRvo &−= 21 xrR
RxrR
Rrvcc
co +
++
=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡++
=2
1
xx
rRR
rRRrv
cc
co Cxvo =
Obtención del promedio
( )[ ] ( )[ ] ivdBdBxdAdAx −++−+= 11 2121&
( )[ ] xdCdCvo −+= 121
Variables de estado (V)
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Si consideramos R>>(rC+rL)
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−+
−=
RCC
LLrr
ALC
11
1
dLB⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡=
0
1[ ]1CrC =
Una vez definido el modelo promediado continuo se realiza análisis en régimen permanente o en pequeña señal
Variables de estado (VI)
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Régimen permanente
0=x& 01 =+ iDVBAX CXVo = DBCAVV
i
o1
1−−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−
−
++
=−
Lrr
C
LCR
Rrr
LCALCLC 1
11
1
1
( ) DrrR
rRD
VV
LC
C
i
o ≅++
+=
Variables de estado (VII)
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Pequeña señal
Causas:Efectos:
Para el caso de dVBxADVBAXxx iiˆˆˆ
11 +++=+ &&
dVBxAx iˆˆˆ
1+=& xCvo ˆˆ =
Función de transferencia )(ˆ)(ˆ)(ˆ 1 sdVBsxAsxs i+=
)(ˆ)(ˆ sxCsvo =
dDd ˆ+→ iii vVv ˆ+→xXx ˆ+→ ooo vVv ˆ+→
d̂
Variables de estado (VIII)
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Pequeña señal
Función de transferencia( )( )
[ ] )(ˆˆ
11 sGVBAsIC
sdsv
io =−= −
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ +
++
+=
LCLrr
CRssLC
CsrVsGLC
Ci 11
12
El denominador es de la forma 22 2 oo ss ωςω ++
LCo1
=ωo
LC
Lrr
CRω
ς2
1 ++
=CrC
z1
=ω
ς21
=Q
Variables de estado (IX)
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ωo
|G(s)| en dB
ωo ωz
ω
ωz
ω
fase de G(s)0o
-90o
-180o
Pequeña señal
Variables de estado (X)
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Equivalente promedio de los elementos de conmutación (I)
Red de conmutación Equivalente promedio
<v2> <i1><v1>
++
--
<i1>+
-
<v2>
<i2>
1-dd
1-dd
1
1’
2
2’
1
v1
d
i1 i2
v2
+ +
- -1’
2
2’
Red LTILiL
C
iC
R
iR+
v
-
+
vg
-
+-
Red de conmutación
d
1
1’
2
2’
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Equivalente promedio
Equivalente pequeña señal
<v2> <i1><v1>
++
--
<i1>+
-
<v2>
<i2>
1-dd
1-dd
1
1’
2
2’
( )( ) 21
21
1
1
idid
vdvd
=−
−=
( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )2211
2211
ˆˆˆˆ1
ˆˆ1ˆˆ
iIdDiIdD
vVdDvVdD
++=+−−
+−−=++
( ) ( )( ) ( ) 222111
222111
ˆˆˆˆ11
ˆˆ11ˆˆ
IdiDDIIdiDID
VdvDVDVdvDDV
++=−−+−
−−+−=++
Promedio
Perturbación
Lineal
( )( ) 21
21
11
DIIDVDDV
=−−=Régimen Permanente
( )( ) 2211
2211
ˆˆˆˆ1
ˆˆ1ˆˆ
IdiDIdiD
VdvDVdvD
+=−−
−−=+Pequeña señal
- +
( ) dDD
V ˆ1
1
−
1-D : D
1̂v
1̂i
( ) dDD
I ˆ1
2
− 2v̂
2̂i
+
-
+
-
Equivalente promedio de los elementos de conmutación (II)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
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Equivalente promedio de los elementos de conmutación (III)
V135Vdc
D1MUR480
M1
IRF530
L1
2.4mH1 2
C11u
R160
R2
47
PWM_SAW1
f s = 100kHz
c1 s 2V2
0.6Vdc
0
-+
+-
E1
E
GAIN = 15
V335Vdc
C21u
L2
2.4mH1 2
R360
0
U1 CCM1
1
2
3
45
A
V40.6Vdc
AI
I
Time
0s 50us 100us 150us 200us 250us 300us 350us 400us 450us 500us 550us 600usI(L1) I(L2)
0A
200mA
400mA
600mA
.subckt CCM1 1 2 3 4 5Et 1 2 value={(1-v(5))*v(3,4)/v(5)}Gd 4 3 value={(1-v(5))*i(Et)/v(5)}.ends
Método general, ejemplo Buck
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Equivalente promedio de los elementos de conmutación (IV)
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(R3:1,A))
-180d
-90d
0d
SEL>>
DB(V(R3:1,A))-40
0
40
V335Vdc
C21u
IC = 21
L2
2.4mH
IC = 0.35
1 2
R360
0
U1 CCM1
1
2
3
45
A
V40.6Vdc
A
V51Vac0Vdc
V-
V+
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
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Modelado de convertidores en conducción discontinua (I)
Para modelar un convertidor obtenemos el valor promedio de las variables de estado.
a) En conducción continua las variables promedio son una función continua.
b) En conducción continua no hay restricciones impuestas asumiendo régimen permanente.
En conducción discontinua pueden no cumplirse las condiciones a) y b)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
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Ejemplo conducción discontinua
gvBxAx 11 +=& [0, dT]
gvBxAx 22 +=& [dT, (d+d2)T]
gvBxAx 33 +=& [(d+d2)T, T]
t
t
vL
iL
vg
ip
im
dT
(1-d)T
T
v g -vd 2T
t
iD1 i
p
io
vg
L
+ C
D1
Q1v
+
-
Modelado de convertidores en conducción discontinua (II)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
31/68
Ejemplo conducción discontinua
Lv
dtdi gL =
[0, dT]
Lvv
dtdi gL −
=
[dT, (d+d2)T]
[(d+d2)T, T]
CRvi
dtdv L −
=
CRv
dtdv −
=
0=dtdiL
CRv
dtdv −
=
vg
L
+ C
D1
Q1v
+
-
t
t
vL
iL
vg
ip
im
dT
(1-d)T
T
v g -vd 2T
t
iD1 i
p
io
Modelado de convertidores en conducción discontinua (III)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
32/68
Ejemplo conducción discontinua
( )L
vdvdddtid gL 22 −+
=
( )
CRv
dtiT
dtvd
Tdd
dTL
c
−=
∫+ 21
Promedio
¿¿d2??
vg
L
+ C
D1
Q1v
+
-
t
t
vL
iL
vg
ip
im
dT
(1-d)T
T
v g -vd 2T
t
iD1 i
p
io
Modelado de convertidores en conducción discontinua (IV)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
33/68
Paradoja del promedio (I)
En conducción discontinua la intensidad inicial y final en cada periodo es cero
Lv
dtdi gL =[0, dT]
[dT, (d+d2)T]L
vvdtdi gL −
=
[(d+d2)T, T] 0=dtdiL
02 =−
+ dL
vvd
Lv gg
g
g
vv
vdd
−=2
vg
L
+ C
D1
Q1v
+
-
t
t
vL
iL
vg
ip
im
dT
(1-d)T
T
v g -vd 2T
t
iD1 i
p
io
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
34/68
Paradoja del promedio (II)
En conducción discontinua la intensidad inicial y final en cada periodo es cero
Lv
dtdi gL =[0, dT]
[dT, (d+d2)T]L
vvdtdi gL −
=
[(d+d2)T, T] 0=dtdiL
02 =−
+ dL
vvd
Lv gg
g
g
vv
vd
−=2
??0¿¿ =dtid L
vg
L
+ C
D1
Q1v
+
-
t
t
vL
iL
vg
ip
im
dT
(1-d)T
T
v g -vd 2T
t
iD1 i
p
io
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
35/68
Paradoja del promedio (III)
Utilizar
g
g
vv
vdd
−=2 0=
dtid L
Supone decir que la función <iL> en la siguiente gráfica es constante
Y, sin embargo es
iL
t
t
<iL>
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
36/68
Paradoja del promedio (IV)
Si la intensidad en la inductancia tiene tiene una componente de baja frecuencia también existirá una componente de baja frecuencia de tensión.
Sin embargo, un muestreador de tensión promedio en cada periodo kT obtiene <vL>(kT)=0
t
t
vL
iL
v g
ip
d T
(1-d )T
T
v g -vd 2T
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
37/68
Paradoja del promedio (V)
¿Qué ocurre?
a) Se ha asumido d<iL>/dt=0b) No se ha calculado la función continua de <iL>, sino que hemos muestreado <iL> en
cada periodo kT.c) Se ha asumido el valor de <iL> muestreado constante para todo el periodo (hold de
orden cero).d) Se ha muestreado una función con una frecuencia de muestreo igual a la de la
función.e) Se da por hecho que dentro de un periodo la tensión de salida no cambia.
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
38/68
Orden reducido (I)
Si para realizar el modelo utilizamos la restricción 0=dtid L
El orden del modelo promediado se reduce en 1
( )L
vdvdddtid gL 22 −+
=
RCv
Cid
dtvd L −= 2
¡Aproximación de bajo rizado!
v g
L
+ C
D1
RGv
+
-+
d
iD1
Q1
iQ1
Ro
iL
Se utiliza como ejemplo el convertidor elevador
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
39/68
Orden reducido (II)
Cálculo sin aproximación de bajo rizado
g
g
vv
vdd
−=2
( )( )
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−
−++= ∫
+
TddRvdt
RvdTt
Lvv
LdTv
DTRv
Tdtvd
CTdd
dT
gg211 2
( ) RCv
vvLCTdv
dtvd
g
g −−
=2
22
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
40/68
Orden reducido (III)
Circuito equivalente (Boost)
0<t<dT: SW1 en ON, SW2 en OFFLtvi gA = iC = 0
DT<t<(D+D2)T: SW1 en OFF, SW2 en ON iC = −iA ( )( )LdTtvv
LdTvi ggC
−−+−=
(D+D2)T<t<T: SW1 en OFF, SW2 en OFF iA = 0 iC = 0
+v g
+v
iA iC
SW1
SW2
MISSCOL
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
41/68
Orden reducido (IV)
Circuito equivalente (Boost)
Respuesta promedio ( )22ddd
LTvi gA += 22
ddL
Tvi gC −=
Definiendo los parámetros G =T
2L 2
2
ddd
vv
Mg
+==
12
−−=
MGdvi gC
¿Desaparece L del modelo?
+<v >g - <v >g
C RL
<i >A
+
-
<v>
<i >C
MISSCO
2Ld (d +d 2)T d 2G
M-1
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
42/68
Orden reducido (V)
Circuito equivalentegeneralizado
LTvd
i2
132
1 =
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -
23
213
2
2 2 vLTvd
i −=
dvv
d23
132 −=
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
43/68
Orden completo (I)
0=dtid L
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -
2312 vvdtdiL L += 0<t<dT: S en ON, D en OFF
23vdtdiL L = dT<t<(d+d2)T: S en OFF, D en ON
0=Li (d+d2)T<t<T: S en OFF, D en OFF
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
44/68
Orden completo (II)
0=dtid L
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -
dTL
vvddiL23122
2++
=
¡Este modelo considera <vL>=0 y que la tensión media de salida dentro de cada periodo no varía!
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
45/68
Orden completo (III)
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -
dTL
vvddi DL
−+= 122
2
¡misma expresión que en orden reducido!
23vvv DL +=
Dvv −=23
dv
vvd
vv
dD
D−=−= 12
23
132
Se introduce un nuevo parámetro, ciclo de trabajo equivalente, m, que relaciona la tensión en los semiconductores.
12vv
m D=
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
46/68
Orden completo (IV)
D2 se calcula con <vL>=0 pero <iL> lo calculamos introduciendo m.Supone una mejora con respecto al orden reducido.
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −= 11
2 12
2
mv
LTdiL
Lvvm
dtid L 1312)1( −−
=
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -
( )RCv
Cim
dtvd L 1212 1 −
−−
−=
Aparece L en el modelo, permite que iL cambie en sucesivos periodos, pero no dentro de cada periodo, la tensión de salida no cambia dentro de cada periodo.
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
47/68
Orden completo (V)
Modelo de resistencia sin pérdidas (ejemplo Boost, pero el resultado es generalizado)
( )221 1 ddvdvv g −−+=
LTdv
i g
2
2
1 =
( )( )22 1 ddvvdvv g −−−+=
LTddv
i g
22
2 =
g
g
vv
vdd
−=2
gvv =1
gvvv −=2
LTd
vv
vi
g
g
2
22
2 −=
Re p1v1
+
-
i1+
-
v2
i21
1’
2
2’
TdLRe 2
2=
1
v1
d
i1 i2
v2
+ +
- -1’
2
2’
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
48/68
Orden completo (VI)
Modelo de resistencia sin pérdidas
11 iRv e=TdLRe 2
2=
μμ−
=112 vv
μμ−
=112 iRv e
21
2
viRv
e +=μ
2
2
1
2
2d
viLfd
s +=μ
mm−
=1
μ
<v2> <i1><v1>
++
--
<i1>+
-
<v2>
1
1’
2
2’
μ1-μ
1−μμ
<i2>
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
49/68
U2 CCM-DCM1
L = 100UFS = 1E5
1
2
3
45
********************************************************************************************************************* MODEL: CCM-DCM1* Application: two-switch PWM converters, CCM or DCM* Limitations: ideal switches, no transformer*********************************************************** Parameters:* L=equivalent inductance for DCM* fs=switching frequency*********************************************************** Nodes:* 1: transistor positive (drain of an n-channel MOS)* 2: transistor negative (source of an n-channel MOS)* 3: diode cathode* 4: diode anode* 5: duty cycle control input**********************************************************.subckt CCM-DCM1 1 2 3 4 5+ params: L=100u fs=1E5Et 1 2 value={(1-v(u))*v(3,4)/v(u)}Gd 4 3 value={(1-v(u))*i(Et)/v(u)}* Ga 0 a value={MAX(i(Et),0)}Ga 0 a value={i(Et)}Va a bRa b 0 10kEu u 0 table {MAX(v(5),+ v(5)*v(5)/(v(5)*v(5)+2*L*fs*i(Va)/v(3,4)))} (0 0) (1 1).ends
Orden completo (VII)
Tomado de ref. 8:R.W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of Power Electronics 2nd edition. Kluwer Academic Publishers. 2001
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
50/68
1:NU3 CCM-DCM2
L = 100UFS = 1E5
N = 1
1
2
3
45
********************************************************************************************************************* MODEL: CCM-DCM2* Application: two-switch PWM converters, CCM or DCM* with (possibly) transformer* Limitations: ideal switches*********************************************************** Parameters:* L=equivalent inductance for DCM, * referred to primary* fs=switching frequency* n=transformer turns ratio 1:n (primary:secondary)*********************************************************** Nodes:* 1: transistor positive (drain of an n-channel MOS)* 2: transistor negative (source of an n-channel MOS)* 3: diode cathode* 4: diode anode* 5: duty cycle control input**********************************************************.subckt CCM-DCM2 1 2 3 4 5+params: L=100u fs=1E5 n=1Et 1 2 value={(1-v(u))*v(3,4)/v(u)/n}Gd 4 3 value={(1-v(u))*i(Et)/v(u)/n}* Ga 0 a value={MAX(i(Et),0)}Ga 0 a value={i(Et)}Va a bRa b 0 10KEu u 0 table {MAX(v(5),+ v(5)*v(5)/(v(5)*v(5)+2*L*n*fs*i(Va)/v(3,4)))}(0 0) (1 1).ends
Orden completo (VIII)
Tomado de ref. 8:R.W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of Power Electronics 2nd edition. Kluwer Academic Publishers. 2001
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
51/68
Modelo continuo (I)
Se trata de obtener d2 sin que intervenga <vo>, de esta forma vo puede variar dentro del periodo.
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -dtid
LdvdvvL3
22313 =+=
231 dd
dii+
=
2
232 dd
dii+
=
dvv
d23
132 −= d
dTvLi
d −=13
32
2
<i3> se obtiene integrando <vL>
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
52/68
Modelo continuo (II)
L
D1 2
3
Si1 i2
i3v13
v23
v12+
+ +
- -
-
vL
+
-
vD+ -
Circuito equivalente
+-
<vL>
L
rL
<i3>
<i1> <i2>
<i3>
1 2
3
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
53/68
Simulación
RLoad{RLoad}<BiasValue Power>
a
VDon
{VDon}<BiasValue Power>
+
-
Resr{Resr}<BiasValue Power>
0
Gb
V(Don)*I(Lmain)/(V(Don)+V(Doff))
GVALUE
<BiasValue Power>
OUT+OUT-
IN+IN-
EL
(V(Don)*V(a,b)+V(Doff)*V(a,c))
EVALUE
<BiasValue Power>OUT+OUT-
IN+IN-
EDoff
min(2*I(Lmain)*Lmain/(Ts*v(a,b)*V(Don))-V(Don),1-V(Don))
etable
<BiasValue Power>OUT+OUT-
IN+IN-
Gc
V(Doff)*I(Lmain)/(V(Don)+V(Doff))
GVALUE
<BiasValue Power>
OUT+OUT-
IN+IN-
Dbreak
Dmain<BiasValue Power>
0
PARAMETERS:FS = 100kTS = {1/fs}
Rsw{Rsw}<BiasValue Power>
Cout{Cout}
outVin_pulse<BiasValue Power>
+-Lmain
{Lmain}<BiasValue Power>
Don
Boost.sch
Doff
b
Vin_DC
{Vin_DC}<BiasValue Power>+
- PARAMETERS:LMAIN = 75uCOUT = 220uRLOAD = 10
SIM-Model under CCM & DCM for PWM Boost converter
PARAMETERS:VIN_DC = 10vVDON = 0.5
PARAMETERS:RESR = 0.07RINDUCTOR = 0.1RSW = 0.1
c
1
Ga
I(Lmain)GVALUE
<BiasValue Power>
OUT+OUT-
IN+IN-
Vexcitation
1V
<BiasValue Power>
+-
Rinductor
{Rinductor}
<BiasValue Power>
Tomado de Ref. 9:S. Ben Yaakov "Computer aided design of power factor correction systems" Professional education seminars workbook. Vol. III. Seminar 11. APEC`03
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
54/68
Reguladores lineales (I)
-
+
R
C
Vo
ViRb
Vref
ωc
ω
ωc
ω
0o
-90o
-180o
0-20dB/dec
( )RCs
sGc1
= ωc =1
RC
Tipo 1
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
55/68
Reguladores lineales (II)
Tipo 2
-
+Vo
ViRb
Vref
R1
C1R2
C2
ωz
ω
ωc
ω
0o
-90o
-180o
ΔV -20dB/dec
ωp
-20dB/dec0dB/dec
( ) ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
++
=1
11
21
221
21
121
CCRCCss
RsCRCC
sGc
ωz =1
R2C1ωp =
1R2
C1 + C2
C1C2ΔV =
C1R2
C1 + C2( )R1
C2 << C1En este regulador y para ello , por lo que ωz < ω pωp ≅
1R2C2
ΔV ≅R2
R1
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
56/68
Reguladores lineales (III)
Tipo 3
-
+Vo
ViRb
Vref
R1
C1R2
C2
C3 R3
ωz1
ω
ω
+90o
0o
-90o
ΔV1
-20dB/dec-20dB/dec+20dB/dec
ΔV2
ωz2 ωp1 ωp2
( ) ( )( ) ( )[ ]
( ) ( )11
111
3321
221
31321
121 +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
+
++++
=RsC
CCRCCss
RRsCRsCRCC
sGc
ωz1 =1
R2C1ωz2 =
1R1 + R3( )C3
ωp1 =1
R3C3
ωp 2 =1
R2
C1 + C2
C1C2
;
;
;ΔV1 =
C1R2
C1 + C2( )R1
( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]12133
313212 RCCRC
RRCRCV
++
=Δ
ωz < ω p C2 << C1ωp 2 ≅
1R2C2
ΔV1 ≅R2
R1ΔV2 ≅
R2 R1 + R3( )R1R3
R3 << R1ΔV2 ≅
R2
R3si entonces
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
57/68
Cálculo del regulador en función del factor kLa frecuencia de corte a la que la ganancia global G(s)Gc(s) deberá tener ganancia unidad es ωco. Para obtener el máximo margen de fase .Tomando en el regulador de tipo 3 ωz1=ωz2=ωz y ωp1=ωp2=ωp, se define tanto para el regulador tipo 2 como para el tipo 3
Regulador tipo 2El adelanto de fase provocado por el cero en ωco es . El retraso de fase provocado por el polo en ωco es .El retraso total de la función Gc(s) es .
Conocido el retraso debido a la etapa de potencia y filtro G(s), y adoptando un valor para el margen de fase, MF se obtiene el valor del factor k de:El MF aumenta si se elige un valor de k superior. El factor k sitúa las frecuencias ωz y ωp y por tanto los valores de los componentes del regulador. La ganancia de H(s) tiene que ser tal que a ωco G(s)Gc(s)H(s)=0dB
Regulador tipo 3El adelanto de fase provocado por el cero doble en ωco es . El retraso de fase provocado por el polo doble en ωco es . El retraso total de la función Gc(s) es .El MF aumenta si se elige un valor de k superior. El factor k sitúa las frecuencias ωz y ωp y por tanto los valores de los componentes del regulador. La ganancia de Gc(s) tiene que ser tal que a ωco G(s)Gc(s)H(s)=0dB
Reguladores lineales (IV)
ωco = ω zω p
ωco
ωz=
ωp
ωco= k
θld = tan−1 kθ lag = tan −1 1
k⎛ ⎝
⎞ ⎠
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−= −−
kko
sGc
1tantan90 11θ
( ) ( )o
sGsG MFc
180≤++θθ
θld = 2 tan−1 k
θ lag = 2 tan−1 1k
⎛ ⎝
⎞ ⎠
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+−= −−
kko
sGc
1tan2tan290 11θ ( ) ( )o
sGsG MFc
180≤++θθ
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
58/68
+
vg(t)
-
iC
R
L
iR+
v(t)
-
M
iM
C
iD
iL
-+
vref
Gc(s)PWMDriver
δ(t) vc(t) ε(t)
Ejemplo de diseño (I)
( )divftv Rg ,,)( =)(tvg
)(tiR
)(tdPWM
H(s)
)(tv
Convertidor
Gc(s))(tve )(tvcrefv
+-
perturbaciones
control
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
59/68
Ejemplo de diseño (II)
Modelo en pequeña señal
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )siZsvsGsdsGsv acoutgvgvd argˆˆˆˆ −+=
( ) ( )( )
0ˆ0ˆ
arg
ˆˆ
==
=
ac
giv
vd sdsvsG ( ) ( )
( )0ˆ
0ˆ
arg
ˆˆ
==
=
acidg
vg svsvsG ( ) ( )
( )0ˆ
0ˆargˆ
ˆ
==
−=
gvdac
out sisvsZ
)(ˆ svg
)(ˆ)( sdse)(:1 DM
+
-
- +
C)(ˆ)( sdsj
eL
R )(ˆarg si ac
+
-
)(ˆ sv
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
60/68
Ejemplo de diseño (III)
)(ˆ svg
)(ˆ)( sdse)(:1 DM
+
-
- +
C)(ˆ)( sdsj
eL
R )(ˆarg si ac
+
-
)(ˆ sv
-+ Gc(s) PWM1/VM
H(s)
Sensor
)(ˆ)( svsH
)(ˆ sve)(ˆ svref )(ˆ svc
)(ˆ sd
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
61/68
Ejemplo de diseño (IV)
-+ Gc(s) PWM1/VM
H(s)
Sensor
)(ˆ)( svsH
)(ˆ sve)(ˆ svref )(ˆ svc )(ˆ sd
Gvd(s)
Gvg(s)
Zout(s)
)(ˆ svg
-
+
+
)(ˆarg si ac
)(ˆ sv
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mvdc
outac
Mvdc
vgg
Mvdc
Mvdcref VsGsGsH
ZiVsGsGsH
Gv
VsGsGsHVsGsGsvsv
+−
++
+=
1ˆ
1ˆ
1ˆˆ arg
Convertidor
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )sTZi
sTG
vsT
sTsH
svsv outac
vggref +
−+
++
=1
ˆ1
ˆ1
1ˆˆ arg
( ) ( ) ( ) ( ) Mvdc VsGsGsHsT = Ganancia del bucle
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
62/68
+
vg(t) = 28V
-
iC
R=3Ω
L = 50μH
iR+
v(t)
-
M
iM
C=500μF
iD
iL
-+
Vref=5V
Gc(s)PWMDriver
δ(t) vc(t) ε(t)VM=4V
fs=100kHz
H(s) Sensor
En régimen permanenteVg=28VV=15V, IR=5AD=15/28=0,536Vref=5VVc=DVM=2,14VH=Vref/V=5/15=1/3
Ejemplo de diseño (V)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
63/68
Ejemplo de diseño (VI)
)(ˆ svg
)(ˆ2 sd
DV
D:1
+
-
- +
C)(ˆ sd
RV
L
R )(ˆarg si ac
+
-
)(ˆ sv
-+ Gc(s) PWM
Sensor
)(ˆ)( svsH
)(ˆ sve0)(ˆ =svref)(ˆ svc
)(ˆ sd
411
=MV
31)( =sH
)(sT
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
64/68
V10Vac0Vdc
0
1:N
U1 IDEALTRAN
N = 0.536
12
34
L1
50u
1 2
C1500u
R13
-+
+-
E1
E
GAIN = 0.33
0
V31Vac0Vdc
0
- ++-
E2E
GAIN = 52.24
d
0
d +-
G1
G
GAIN = 5
d
V
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(E1:3))
-180d
-90d
0d
SEL>>
DB(V(E1:3))-80
-40
0
40
Ejemplo de diseño (VII)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
65/68
-+
+-
E3
E
GAIN = 0.25
1+9.25e-5*s1 + 1.1e-5*s
V41Vac0Vdc
0
3.7
0
1+3.18e-4*s3.18e-4*s
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(E1:3)) P(V(E3:3))
-180d
-90d
0d
90d
P(V(E3:3))
DB(V(E1:3)) DB(V(E3:3))-80
-40
0
40
SEL>>
Frequency
10Hz 30Hz 100Hz 300Hz 1.0KHz 3.0KHz 10KHz 30KHz 100KHzP(V(E1:3))
-180d
-90d
0d
SEL>>
(5.1855K,-132.371)
DB(V(E1:3))
-40
0
40
(5.1855K,41.954m)
Polo en el origen + ceroAlta ganancia a baja frecuencia
Cero + poloMargen de fase
Ganancia0dB a ωco
Ejemplo de diseño (VIII)
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
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Conclusiones comentarios finales1.- Los convertidores conmutados son procesadores digitales de energía2.- Para tratarlos como sistemas LTI se debe trabajar con un ancho de banda suficientemente inferior a la frecuencia de conmutación.3.- El modelado promedio permite tratar un sistema conmutado como un sistema continuo, pero hace perder información sobre distorsión y desfase.4.- Para obtener una buena regulación se requiere analizar la función de transferencia de todo el lazo de regulación, T(s), para:
Obtener la más alta frecuencia de corte, compatible con el punto 2.Margen de fase de al menos 50º para evitar respuestas oscilatoriasAlta ganancia de T(s) a baja frecuencia, para reducir el error y el efecto de las perturbaciones
5.- Una buena regulación requiere una buena referencia, inmune a ruido, temperatura, etc…6.- Además de regular en modo tensión, es habitual utilizar la regulación en modo corriente y un doble bucle; modo corriente interno y modo tensión externo que puede dotar al sistema de mayor robustez con reguladores sencillos.7.- En determinados sistemas es interesante plantear un control en modo potencia.8.- Se puede obtener un ancho de banda de mayor frecuencia utilizando reguladores no lineales, p.e. One cyclecontrol.9.- Para realizar reguladores digitales sin mayores prestaciones que los analógicos, cabe traducir la función de transferencia del modelo promediado del dominio s al dominio z diseñar el regulador correspondiente considerando el retraso de fase del tiempo de actualización de dato.10.- Para obtener mayores prestaciones cabe tratar directamente la fuente conmutada como un sistema digital y diseñar reguladores digitales no lineales.
Comportamiento en pequeña señal de las fuentes conmutadasJulio 2007
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Referencias (I)
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2. Sam Ben – Yaakov, Dov Wulich, William M. Polivka. Resolution of an Averaging Paradox in the Analysis ofSwitched –Mode DC-DC Converters. IEEE Trans on Aerospace and Electronics Systems. Vol. 30 No. 2 pp.626-632. April 1994
3. Billy Y. Lau and R.D. Middlebrook. Small-Signal Frequency Response Theory for Piecewise-Constant Two-switched-network DC-to-DC Converter Systems IEEE PESC 1986. pp. 186-200.
4. R.D. Middlebrook. Small-Signal Modeling of Pulse-Width Modulated Switched-Mode Power Converters. Proc. Of the IEEE, Vol. 76, No.4 April 1988. Pp.343-354.
5. Dragan Maksimovic and Slobodan Cuk. A Unified Analysis of PWM Converters in Discontinuous Modes. IEEE Trans. on Power Electronics Vol.6 No.3 July 1991. pp.476-490
6. Dragan Maksimovic. Computer-Aided Small-Signal Analysis Based on Impulse Response of DC/DC Switching Power Converters. IEEE Trans. on Power Electronics Vol.15 No.6 Nov. 2000. pp.1183-1191
7. Yim-Shu Lee. Computer-Aided Analysis and Design of Switch-Mode Power Supplies. Marcel Dekker 1993.
8. R.W. Erickson, D. Maksimovic. Fundamentals of Power Electronics 2nd edition. Kluwer AcademicPublishers. 2001
9. S. Ben Yaakov "Computer aided design of power factor correction systems" Professional education seminars workbook. Vol. III. Seminar 11. APEC`03
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Referencias (II)
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12. Rashid, M.H. Power Electronics. Circuits, Devices and Applications . Prentice Hall. 1993, 2ª Edición.
13. Francisco J. Azcondo, Christian Brañas, Rosario Casanueva, Dragan Maksimovic. Approaches to Modeling Converters with Current Programmed Control. Proc. of the 1st Power Electronics Education Workshop, PEEW 2005-PESC05. pp. 98- 104. ISBN: 0-7803-9002-4.
14. P. T. Krein, Elements of Power Electronics. New York and Oxford: Oxford University Press, 1998
15. The Student Edition of MATLAB V.4. The Math Works. Prentice Hall, 1995
16. The Student Edition of SIMULINK. The Math Works. Prentice Hall, 1996