Post on 29-May-2020
Modelización de Sistemas Biológicos (por computadora)
Parte I Modelos de Transmisión de enfermedades infecciosas
FIUNER
Enfermedades Infecciosas
Tasa de Infección
Modelo SIR S: Individuos susceptibles a enfermar
I: Individuos infectados
R: Individuos Removidos o Recuperados de la enfermedad o muertos (No se pueden volver a infectar)
Relaciona la tasa de infección con el numero de casos.
Modelo SIR: enfoque compartimental/poblacional
• Los brotes epidémicos suelen ser mucho más rápidos que la dinámica vital de la población se desprecian nacimientos y muertes naturales se mantiene la cantidad total de individuos
• Población fija de tamaño N= S + I + R
Modelo SIR: enfoque compartimental/poblacional
• Las enfermedades infecciosas se transmiten por contacto entre individuos enfermos y sanos (competencia interespcífica) β*S*I
• v depende de la durac. promedio de la infección
Modelo de Kermack-McKendrick (1927)
• β tasa de transmisión o contacto o contagio
• v tasa de recuperación
R(t)=N-S(t)-I(t) Se puede eliminar la última ecuación diferencial del sistema
Duración de la enfermedad
• El termino de curación o recuperación ν*I representa una perdida exponencial en el numero de casos
• El promedio de la duración de la enfermedad o período promedio de infección es : 1/ν
vteItIvIdt
dI )0()(
Número básico de reproducción R0
Si y
• 1/R0 es un umbral para S por encima del cual la cantidad de infectados crece
decrece infectados de cantidad la 01
si
crece infectados de cantidad la 01
o 1 si
0
0
0
dt
dI
RS
dt
dI
RSRS
Número básico de reproducción R0
• 1/R0 es un umbral para S por encima del cual la cantidad de infectados crece
• Al comienzo S es grandeS e I ; cuando S=1/R0 I también comienza a decrecer
1/R0
S/I/R
t
Otra definición de R0
¿Cuándo un enfermo desencadenará una epidemia?
• Cuando R0 por la cantidad inicial de susceptibles sea mayor que uno cuando la cantidad inicial de susceptibles sea mayor
que
Si N es grande S(0)≈N
00
1)0( o 1)0(
)0(0
0)0(1)0(
RSSR
vSvIISdt
dI
dt
dII
NR /10 0/1 R
763 ;4404.0 ;00218.0
N
vIdt
dR
vISIdt
dI
SIdt
dS
I
Modelo SIR con nacimientos, muertes y “población constante”
0
dt
dR
dt
dI
dt
dSNRIS
Modelo SIR con nacimientos y muertes
RvIdt
dR
IvISN
I
dt
dI
SSN
IN
dt
dS
Sistema sobreamortiguado que tiende a un equilibrio estable No condice con la realidad
• Agregar aleatoriedad a los parámetros acerca a la solución real
• Agregar estacionariedad acerca a la solución real
tt 2cos1)( 0
I
Modelo Físico DiagramáticoEcuaciones
Una vez que se cuenta con el modelo físico diagramático,
es sencillo generar el modelo matemático
Modelos SIS
• En algunas enfermedades el individuo no desarrolla inmunidad:
– Se pueden contemplar nacimientos y muertes
IIISdt
dI
SIISNdt
dS
IISdt
dI
IISdt
dS
Modelos SIRS (con pérdida de inmunidad)
Tasa de pérdida de inmunidad
RRIdt
dR
IIISdt
dI
RSISNdt
dS
Modelo SEIS
Modelo SEIR
• El compartimento E le brinda el fenómeno de “latencia” al modelo
1/σ es el Período de Latencia
σ
Modelo SEIRS con nacimientos y muertes
RRIdt
dR
IIEdt
dI
EEISdt
dE
RSISNdt
dS
Modelo SEIR con muertes por enfermedad
Ifdt
dN
IEdt
dI
EISdt
dE
ISdt
dS
1
fϒ
(1-f)ϒ
EISNR
Enfermedades mediadas por Vector
• El vector es un organismo, que transmite un agente infeccioso desde los individuos afectados a otros que aún no portan ese agente.
• Malaria, Dengue, Chagas, Chukunguña y otras son ejemplos de enfermedades transmitidas principalmente por insectos hematófagos como los mosquitos, vinchucas, etc..
• Los agentes patógenos que transmiten los vectores son diversos virus y protistas.
Enfermedades mediadas por Vector
• Modelo general
S I
Vector Agente
E R A
I
Enfermedades mediadas por Vector
• Modelo simplificado de Malaria (paludismo): – enfermedad provocada por el parásito Plasmodium
– Transmitida por el mosquito Anopheles hembra
• Para simplificar se trabaja con proporciones, siendo i=I/N y s=S/N s=(1-i) y a=A/M y v=V/N v=(1-a)
s
v a
i ah
im
Enfermedades mediadas por Vector
• Modelo simplificado de Malaria
aiadt
da
iaidt
di
mm
hh
)1(
)1(
s
v a
i ah
im
h
m
Modelo simplificado de Malaria
• Análisis de puntos de equilibrio
• i*1=0, a*1=0 es equilibrio inestable
• es equilibrio estable para valores coherentes de los parámetros
aiadt
da
iaidt
di
mm
hh
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)1(s
v a
i ah
im
h
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2*
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hmmhi
Bibliografía
• Mathematical Epidemiology. Brauer, F.; Van den Driessche, P.; Wu, J., Mathematical Biosciences Subseries, Springer, Berlin, 2008.
• Modeling Biological Systems. J.W. Haefner, Springer, NY, 2005
• Mathematical Biology I: An Introduction. JD Murray, Third Edition, Springer, 2002
• Mathematical and Statistical Estimation Approaches in Epidemiology. Gerardo Chowell, James M. Hayman, Luis M. A. Bettencourt, Carlos Castillo-Chave
• Matemáticas para Biólogos. Hadeler • VIH/SIDA y Salud Publica: Manual para Personal de Salud.
Carlos Magis Rodriguez, Hermelinda Barrientos Barcenas.