UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS

SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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O 25Tercer Examen Parcial de Algebra Lineal (25%)

Apellidos Nombres Seccion

Cedula Profesor Fecha

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE

TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE

1. Consideremos el subespacio de R4

W = {(x, y, z, w) ∈ R4 : x = z; y = w}.

a) Determine una base ortonormal para W. (2 ptos.)

b) Determine W⊥ y una base para W

⊥. (4 ptos.)

c) Exprese el vector v = (1, 0, 0, 1) como v = w + p donde w ∈ W y p ∈ W⊥.

(2 ptos.)

2. En P2 consideremos la base β = {4x − 1; 2x2 − x; 3x2 + 3} y la base canonicaβc = {1, x, x2}.

a) Hallar la matriz de transicion de βc a β. (3 ptos.)

b) Si p(x) = a0 + a1x + a2x2, exprese p en terminos de la base β. (2 ptos.)

3. Sea β = {v1, v2, . . . , vn} una base ortonormal de un espacio vectorial con producto

interno V. Pruebe que cada v ∈ V se puede expresar de la forma v =n∑

i=1

〈v, vi〉vi.

(4 ptos.)

4. Sea β una base de un espacio vectorial V de dimension n y sean v1, v2, . . . , vn ∈ V.Si A una matriz real invertible de orden n tal que [vi]β es la columna i-esima de A

para cada i ∈ {1, . . . , n}, pruebe que {v1, v2, . . . , vn} es tambien una base de V.

(4 ptos.)

5. Fijemos n ∈ Z+ y a, b ∈ R con a < b. Para cualesquiera p, q ∈ Pn definamos

la funcion 〈p, q〉 =∫ b

ap(x)q(x)dx, pruebe que esta funcion es un producto interno

sobre Pn. (4 ptos.)

¡Exito!

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UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS

SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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O 25Tercer Examen Parcial de Algebra Lineal - Rezagado (25%)

Apellidos y Nombres Seccion

Profesor Cedula Fecha

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE

TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA EN FORMA CLARA Y LEGIBLE

1. En M2×2(R) consideremos el subespacio

W =

{[

x y

z w

]

∈ M2×2(R) : x + 2y + 3z − w = 0

}

a) Hallar una base ortonormal para W. (4 ptos.)

b) Encuentre W⊥ y una base ortonormal para W

⊥. (2 ptos.)

c) Dada A =

[

1 12 3

]

, halle B ∈ W y C ∈ W⊥ tales que A = B + C. (2 ptos.)

2. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Pruebe que:

a) Para cualesquiera u, v ∈ V se tiene que |〈u, v〉| ≤ ‖u‖‖v‖. (5 ptos.)

b) Si {u1, u2, . . . , un} es una base ortonormal de V, entonces para cada v ∈ V se

tiene que ‖v‖2 = |〈v, u1〉|2 + |〈v, u2〉|

2 + · · · + |〈v, un〉|2. (4 ptos.)

3. En P2 considere las bases

β1 = {−3x2 − 3, 2x− 3 − x2, 1 − x2 − 6x}

yβ2 = {−6 − 6x,−6x − 2 + 4x2,−2 + 7x2 − 3x}

a) Hallar la matriz de transicion de β1 a β2. (4 ptos.)

b) Encuentre la matriz de coordenadas de p(x) = −5− 5x2 + 8 respecto a la baseβ1. (2 ptos.)

c) Use la matriz de transicion de β1 a β2 para expresar p(x) en terminos de loselementos de la base β2. (2 ptos.)

¡EXITO!

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VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS

SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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O 25Tercer Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25%)

Apellidos y Nombres Seccion

Profesor Cedula Fecha: 29/03/2007

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE

TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE

1. Sea β una base de un espacio vectorial V de dimension n. Sean v1, . . . , vn ∈ V yA ∈ Mn×n(R) una matriz invertible tal que [vi]β es la columna i-esima de A paracada i ∈ {1, . . . , n}. Pruebe que {v1, . . . , vn} es tambien una base de V. (4 ptos.)

2. En P2 consideremos la base β = {4x − 1, 2x2 − x, 3x2 + 3} y la base canonicaβc = {1, x, x2}. Hallar

a) La matriz de cambio de base de βc a β. (3 ptos.)

b) La matriz de coordenadas de a + bx + cx2 en la base β. (2 ptos.)

3. En P2 considere el producto interno 〈p(x), q(x)〉 =

2∑

i=0

p(i)q(i). Sea W el subespacio

de P2 con base {x, x2}.

a) Encuentre una base ortonormal para W. (4 ptos.)

b) Encuentre W⊥. (3 ptos.)

c) Exprese el polinomio u(x) = 1 + x como u(x) = p(x) + w(x) con w(x) ∈ W yp(x) ∈ W

⊥. (2 ptos.)

4. Sea W un subespacio de dimension finita de un espacio vectorial con productointerno V. Pruebe que para cada v ∈ V existe un unico par de vectores w ∈ W yu ∈ W

⊥ tales que v = w + u. (5 ptos.)

5. Sea V un espacio con producto interno. Pruebe que para cualesquiera u, v ∈ V secumple que ‖u − v‖2 = ‖u‖2 − 2〈u, v〉+ ‖v‖2. (2 ptos.)

¡EXITO!

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