Método de Jacobi

Juan Manuel Rodríguez Prieto

Método de Jacobi

Objetivos resolver un sistema de ecuaciones de la forma

en qué situaciones los métodos iterativos son másconvenientes a los métodos directos

x A b

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

La solución del sistema usando la regla de Cramer

En la siguiente diapositiva introduciremos el método iterativo de Jacobi

1 2 5 1

0 4 1 04 2 1 1,

5 2 5 222 11 22 22

1 4 1 4

x y

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:1) Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las

ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i.

2) Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por xo y yo

3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:1) Primero se determina la ecuación de recurrencia. Para ello se ordenan las

ecuaciones y las incógnitas. De la ecuación i se despeja la incógnita i.De la primera ecuación despejamos x y de la segunda despejamos y

5 2 1

4 0

x y

x y

1 2

5 5

4

x y

xy

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:2) Se toma una aproximación para las soluciones y a esta se le designa por xo=1 y yo=2

5 2 1

4 0

x y

x y

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximación

5 2 1

4 0

x y

x y

1

1

1 2

5 5

4

n n

nn

x y

xy

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximaciónPrimera iteración

5 2 1

4 0

x y

x y

1 0

01

1 2 1 2 3*2

5 5 5 5 5

1

4 4

x y

xy

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximaciónSegunda iteración

5 2 1

4 0

x y

x y

2 1

12

1 2 1 1 2 1 1

5 5 5 10 10 10

3

4 20

x y

xy

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximaciónTercera iteración

5 2 1

4 0

x y

x y

3 2

23

1 2 1 2 3 1 3 10 3 13

5 5 5 5 20 5 50 50 50

1

4 40

x y

xy

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Por simplicidad escribiremos las ecuaciones en términos de la incognitas x y y.

La pasos del método de Jacobi son los siguientes:3) Se itera en el ciclo que cambia la aproximaciónCuarta iteración

5 2 1

4 0

x y

x y

4 3

34

1 2 1 2 1 1 1 20 1 19

5 5 5 5 40 5 100 100 100

13

4 200

x y

xy

Método de Jacobi

5 2 1

1 4 0

x

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Realizando el proceso repetitivo en Excel obtenemos los siguiente:

Método de Jacobi

12 3 2

4 11 3 3

2 3 12 2

x y z

x y z

x y z

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Realizando el proceso repetitivo en Excel obtenemos los siguiente:

Método de Jacobi

3 12 2

11 4 3 3

3 2 12 2

x y z

x y z

x y z

Suponga que queremos resolver el siguiente sistema lineal

Realizando el proceso repetitivo en Excel obtenemos los siguiente:

Diverge

Método de Jacobi

Que condiciones debe cumplir la matriz A, para que el esquema iterativo de Jacobi converja?

Método de Jacobi

Que condiciones debe cumplir la matriz A, para que el esquema iterativo de Jacobi converja?

Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto delelemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes delmismo renglón.