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Capítulo
Números racionales y Razonamiento proporcional
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• se usa para comparar cantidades• sirve para transmitir una idea que no se puede
expresar con un solo número.– Ejemplo: Un automóvil viaja a una razón de 110
millas por cada dos horas.
• se lee (“a es a b”) y se escribe a:b ó . • se usa para representar la comparación entre
parte-a-parte, parte-a-entero, ó entero-a-parte.
RazonesUna razón
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Ejemplos
Tres de cada cinco dentistasprefieren la pasta de dientes Sincaries.
Un automóvil nuevo tiene un rendimiento de 40 millas por galón.
Por cada 8 mujeres que se depilan las cejas, hay 3 hombres que lo hacen.
Ejemplo“Por cada 8 mujeres que se depilan las cejas, hay 3 hombres que lo hacen”
a. Expresar el número de hombres a mujeres que se depilan como una razón parte-a-parte.
b. Expresar el número de mujeres que se depilan a el número total de personas que se depilan como una razón parte-a-entero.
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Ejemplo
“Treinta de cincuenta dentistas entrevistados prefieren la pasta de dientes Sincaries”.
Indicar la razón de dentistas que prefieren la pasta de dientes sincaries como una relación de parte-a-entero.
=30 350 5
Razón unitariaEjemplo: Juan paga $5.00 por un saco de 25 chinas. ¿Cuántas chinas puede comprar con un dólar?Solución: La razón de cantidad de chinas con respecto al precio en dólares se escribe.
O sea, con un dólar se compran 5 chinas.
Ejercicios1.Expresa la razón por unidad en su forma más simple:
a. 120 palabras en 3 minutos b. 20 libras por $5
2.Una caja contiene 12 rojas y 15 verdes. ¿Cuál es la razón de canicas rojas al total de canicas?
3.Un equipo de baloncesto perdió 11 juegos de un total de 30 juegos:a. ¿Cuál es la razón de juegos ganados al total? b. ¿Cuál es la razón de juegos ganados a juegos perdidos?
4. Carolina gana $56 por 8 horas de trabajo. Determina la razón unitaria de dólares por hora.
Proporciones
=a cb d
ProporciónEjemplo: Determinar si las razones forman una proporción.a.
Esto NO representa una proporción ya que (5)(7) = 35 no es igual a (12)(3)=36.
b.
Esto ES una proporción ya que (16)(3) = (8)(6) = 48.
73,
125
38,
616
Proporciones
=a cb d
Razonamiento proporcionalEstablecer y resolver proporciones requiere desarrollar el razonamiento multiplicativo.
Durante los primeros años de escuela elemental, los estudiantes tienen más experiencia con el razonamiento aditivo.
Para desarrollar el razonamiento proporcional debemos saber distinguir entre ambos.
Aditivo versus multiplicativoAlicia y Bernardo escriben a la misma velocidad. Alicia empezó a escribir antes que Bernardo. Cuando Alicia había escrito 8 páginas, Bernardo había escrito 4. Cuando Bernardo haya escrito 10 páginas, ¿cuántas habrá escrito Alicia?
Esto es un ejemplo de una relación aditiva.
Razonamiento: como los dos escriben a la misma velocidad, cuando Bernardo haya escrito 6 páginasadicionales, Alicia, también, debe haber escrito 6 páginas adicionales. Por lo tanto, habrá escrito 8 + 6 o sea 14 páginas.
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Aditivo versus multiplicativoCarlos puede escribir 8 páginas por cada 4 páginas que puede escribir Daniel. Si Daniel ha escrito 12 páginas, ¿cuántas páginas ha escrito Carlos?
Esto es un ejemplo de una relación multiplicativo.
Razonamiento: Como Carlos escribe el doble de rápido que Daniel va a escribir dos veces más páginas que Daniel. Por lo tanto, cuando Daniel haya escrito 12 páginas, Carlos habrá escrito 24.
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Pensamiento multiplicativo vs Pensamiento aditivo
En un zoológico, se alimentan las anguilas E, F, G y H conforme a su largo.
Si el anguila E recibe 10 g de comida de peces, ¿cuánta comida recibirá F y G ?
Pensamiento multiplicativo vs Pensamiento aditivo
En un zoológico, se alimentan las anguilas E, F, G y H conforme a su largo.
Si el anguila E recibe 10 g de comida de peces, ¿cuánta comida recibirán F y G ?
Pensamiento aditivo: Como el anguila F mide 5 cm más que E y anguila G mide 10 cm más, F recibirá 5 g más de comida de peces o sea 15 g y G recibirá 10 g más, o sea 20.
Pensamiento multiplicativo: Como el anguila F mide 2 veces más que E y anguila G mide 3 veces más, F recibirá 2 veces la cantidad de comida, o sea 20 g y G recibirá 3 veces más, o sea 30 g.
Definition
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por que 12.5 ÷ 2.5 = 5 y 45 ÷ 9 = 5.
Describir con proporcionesEjemplo: Describir una situación representada por la proporción que se muestra:
Solución: Leemos la proporción: 2 es a 3 como x es a 12.
Podríamos decir que “Una receta de bizcocho requiere 2 huevos por cada 3 tazas de harina. Si se desea hacer un bizcocho de 12 tazas de harina, ¿cuántos huevos debemos usar?
12x
32=
.
Proporciones
En problemas de aplicaciones con proporciones,
se deben conocer tres de las cuatro partes de la proporción para poder completar o resolver la proporción.
=a cb d
Completar una proporción –fracciones equivalentes
Si hay 3 autos por cada 8 alumnos de una escuela secundaria, ¿que cantidad de autos habrán por 1600 estudiantes?
Habrán 600 carros.
La proporción se acomoda tal que las unidades son iguales horizontalmente.
Completar una proporción –producto cruzado
5132 x=
5134
32=
. 5132 x=
Completar una proporción –producto cruzado
Ejemplo: Completar la proporción
Solución: (continuación)
. 5132 x=
Note que:
Por lo tanto, x = 34.
Completar la proporciónEjemplo: Completar la proporción
1232
x8
−=
Solución:
Como:
Completar la proporciónEjemplo: Completar la proporción
x24
27
2121
=Solución:
AplicaciónUna vela mide 30 pulgadas de largo. Luego de quemar durante 12 min., la vela mide 25 pulgadas. Si la vela continúa gastándose a esta razón, ¿cuánto tardará en gastarse completamente?Solución:Notamos que la vela se redujo en 5 pulgadas en 12 min. Si la vela se reduce 5 pulgadas cada 12 min, ¿cuánto tardará en reducir 30 pulgadas?
in30minx
in5min12
= ( )( ) x53012 = x5360=5x5
5360
= x72=
La vela tardará 72 min en gastarse completamente.