Números Mágicos

grupo de inteligencia artificial aplicada

Números Mágicos

José Manuel Molina Lópezhttp://www.giaa.inf.uc3m.es/molina@ia.uc3m.es

I. Los Números Mágicos

II. PI

III. e

IV. PHI

INDICE

I. Los números Mágicos

NUMEROLOGÍA

Gematría (Judía), Khisab al Juaml (musulmán), Isopsephi (griego)

Es lo que suma en hebreo Nerón Cesar

El emperador Diocleciano

= DIOCLES AVGVSTVS -> DICLV (500 + 1 + 100 + 50 + 5)

Significados ocultos para los números puesto que representan algo abstracto

Buscar una semántica más allá del significado abstracto del número

Utilizar los números cómo base de construcciones, dibujos, etc..

Intentar explicar las relaciones entre los números

Los humanos tienen dos ojos, manos, fosas nasales, orejas, etc.., hay dos géneros, El Sol y la Luna

Nuestro tiempo subjetivo se divide en tres: presente, pasado y futuro

Tenemos cuatro estaciones

………………………..

PITAGÓRICOS

1 El generador de todos los números, no es un número. Representación el punto generador de todas las dimensiones. La razón, lo único.

2 El primer número femenino, la polaridad. El número de la opinión y de la división, del ying y del yang, del doblez, de la hipocresía. Su representación es la línea.

3 El primer número masculino, la armónía. El número de la armonía porque une el 1 y el 2. Es el primer número porque tiene principio, medio y final. Su representación es el triángulo

PITAGÓRICOS

4 El número de la justicia y el orden. El espacio y la materia. Los 4 puntos cardinales, las tres dimensiones, y junto con el 1, el 2 y el 3 suman 10 que es el numero de todas las dimensiones y que unifica lo único, la polaridad, la armonía y el espacio y la materia

5 La unión del 2 y el 3, del matrimonio y del amor. El pentagrama, PHI

6 El primer número perfecto (número que puede escribirse como la suma de todos los números por los que se puede dividir, el siguiente es el 28=1+2+4+7+14). La suma de 1+2+3, el número de la creación, Filo Judás de Alejandría Dios creó el mundo en 6 días porque 6 es perfecto, San Agustín también lo indica en su obra “La ciudad de Dios”.

PITAGÓRICOS

El pentágono es la base para construir el cuerpo sólido perfecto, el dodecaedro. Platón en el Timeo afirma que el dodecaedro es la materia de la que está hecha el elemento perfecto, el éter, y simboliza además la perfección del Universo.

PITAGÓRICOS

6 y 28. Los primeros comentaristas del Antiguo Testamento, tanto judíos como cristianos, quedaron muy impresionados por la perfección de esos dos números. ¿Acaso no fue el Mundo creado en seis días? ¿No tarda veintiocho días la Luna en su circunvalación en torno a la Tierra? En La Ciudad de Dios, libro 11, capítulo 30, San Agustín argumenta que, no obstante poder Dios haber creado el Mundo en un instante, El prefirió emplear seis días, porque la perfección del número 6 significa la perfección del Universo. (Parecidos puntos de vista habían sido expresados anteriormente por un filósofo judaico del siglo I, Philo Judaeus, en el tercer capítulo de su Creación del Mundo) «Por consiguiente», concluye San Agustín, «no debemos despreciar la ciencia de los números, la cual, en muchos pasajes de la Sagrada Escritura, demuestra ser de servicio eminente al intérprete cuidadoso».

La introducción de la notación e se debe a Leonhard Euler (1707-1783).

El número e es irracional y trascendente y sus primeras cifras son:

2, 71828...

Pero los logaritmos neperianos ¿no son de antes?

El cálculo logarítmico se desarrolló de manera simultánea, a finales del sigloXVI, en varios lugares de Europa. En Escocia, John Napier (1550-1617), contemporáneo de Cervantes y Shakespeare, además de construir la clase de logaritmos que lleva su nombre —Neper es una forma latinizada del apellido del escocés—, fue el primero en utilizar un punto para separar la parte entera de la mantisa en la representación de los números no enteros. En Suiza, Jost Bürgi (1552-1632) fue un relojero que descubrió una variante del cálculo con logaritmos, al parecer anteriores a los naturales. El otro fundador de la teoría fue el inglés Henry Briggs (1561-1631), creador de los logaritmos decimales o vulgares, quien fue capaz de calcular los logaritmos de más de 30.000 números con 14 decimales, desde luego sin calculadoras de ningún tipo.

Cómo d es un valor arbitrario podemos hacer de manera natural que d = c

III. PI

El papiro de Rihn

III. PI

Arquímedes

III. PI

Arquímedes

III. PI

Ptolomeo

III. PILa India

III. PIChina

III. PIÁrabes

III. PIFibonacci

III. PIXVI y XVII

III. PI

La era del cálculo de Newton y Leibniz

III. PI

La era del cálculo de Newton y Leibniz XVIII

III. PI

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_%CF%80

La cuadratura del círculo es imposible porque PI es irracional trascendente

IV. PHI LIBRO VI. Definición 3. Se dice que una recta ha

sido cortada en extrema y media razón

cuando la recta entera es al segmento mayor

como el segmento mayor es al segmento menor

IV. PHI

A este número inconmensurable se le llama número de oro ó razón áurea, se representa por el símbolo y su valor es aproximadamente 1,61803...

El símbolo para la relación áurea fue propuesto por el matemático americano Mark Barr. La letra fue elegida en honor al escultor griego Phidias (s.V a. C) que solía usar la relación áurea en sus esculturas.

IV. PHI

...61803,12

La estrella pentagonal era el símbolo de la escuela pitagórica y servía a los pitagóricos para reconocerse entre sí.

Tome un pentágono con cinco lados iguales y conecte todos sus puntos para formar una estrella de cinco puntas. Las razones de la longitud de los segmentos de línea resultantes están todos basados en phi.En la imagen inferior notamos que A:B como B:C como C:D =0.618033 (el inverso de phi)

IV. PHI

LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) 1170-1240.

IV. PHI

FIBONACCI

Leonardo de Pisa, mejor conocido por su apodo Fibonacci (que significa hijo de Bonacci) nació en la ciudad italiana de Pisa y vivió de 1170 a 1250.

Era hijo de Guilielmo Bonacci quien trabajaba como representante de la casa comercial italiana más importante de la época, en el norte de África.

Es en medio de esta actividad comercial es que Leonardo de Pisa comienza a formarse como mercader y matemático en la ciudad de Bugia, hoy Bejaia un puerto al noreste de Argelia. Se conoce muy poco sobre su vida; sin embargo, en el prefacio de uno de sus libros más importantes, el Liber Abaci, Leonardo comenta que fue su padre quien le enseñó Aritmética y lo animó a estudiar matemáticas. En Bugia Leonardo recibió este tipo de enseñanza de maestros árabes. Muy pronto se convenció de que el sistema hindo-arábigo era superior a cualquiera de los que se usaban en los distintos países que había visitado.

Es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional. Fibonacci, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.

LEONARDO DE PISA (FIBONACCI) 1170-1240.

IV. PHI

De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, su principal obra el Liber Abaci (o Libro acerca del Ábaco) de la cual actualmente sólo se conserva la versión de 1228 (segunda versión). En ella Fibonacci exponía entre otras cosas, la importancia del sistema de numeración indoarábigo: las nueve cifras hindúes y el signo del cero. Nos brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado. Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números: 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....

IV. PHI

grupo de inteligencia artificial aplicada PARA QUE UTILIZO LA SUCESIÓN?

"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?.”

IV. PHI

La sucesión empieza con dos unos.

Cualquier término de la sucesión se obtiene de sumar los dos anteriores.

Por ejemplo, el noveno término de la sucesión se construye sumando el séptimo y el octavo.

La sucesión es infinita.

Así la sucesión de Fibonacci es:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229,...

IV. PHI

f1 = f2 = 1 fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3

f 1 = 1

f 2 = 1

f 3 = f 2 + f 1 = 2

f 4 = f 3 + f 2 = 3

f 5 = f 4 + f 3 = 5

f 6 = f 5 + f 4 = 8

f 7 = f 6 + f 5 = 13

IV. PHI

grupo de inteligencia artificial aplicada PROPIEDADES

Suma de n términosSuma de n términos

f 1 + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n = f n + 2 - 1

Suma de términos imparesSuma de términos impares

f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + ... + f 2n - 1 = f 2n

Suma de términos paresSuma de términos pares

f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + ... + f 2n = f 2n + 1 - 1

IV. PHI

Suma de los cuadrados de n términosSuma de los cuadrados de n términos

f 12 + f 2

2 + f 32 + f 4

2 + ... + f n2 = f n f n + 1

Diferencia de cuadrados:Diferencia de cuadrados: La diferencia de cuadrados de dos números de Fibonacci cuyos índices difieren en dos unidades es otro número de Fibonacci:

f n + 12 - f n - 1

2 = f 2n

IV. PHI

La divisibilidad y los números de Fibonacci.La divisibilidad y los números de Fibonacci.

Números de Fibonacci consecutivos son primos entre si Si designamos por (a,b) el máximo común divisor de a y b, entonces:

(f m , f n) = f (m, n) Si f 8 = 21 y f 12 = 144, entonces m = 8, n = 12, por lo que (m, n) = (8, 12) = 4 y (f 8 , f 12) = (21, 144) = 3 = f 4

Si n es divisible entre m, entonces f n es divisible entre f m

f 10 = 55; f 5 = 5 entonces f 10 / f 5 = 55 / 5 = 11

f n es par si y sólo si n es múltiplo de 3. f 3 = 2; f 6 = 8; f 9 = 34; f 12 = 144...

IV. PHI

PERO QUE TIENE QUE VER LA PROPORCIÓN ÁUREA CON LA SUCESION DE FIBONACCI?

La sucesión tiene una propiedad muy interesante relacionada con la proporción.

Si dividimos cada número de la sucesión entre su vecino inmediato de la derecha se obtiene la sucesión de fracciones llamadas cocientes de Fibonacci (1/1, 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13,...). A medida que avanzan los cocientes de Fibonacci tienden al número áureo (1.618033989...).

IV. PHI

Diferencia en valor absoluto

f 2 / f 1 = 1 0, 61 80 33 98 ...

f 3 / f 2 = 2 / 1 = 2 0, 38 19 66 01 ...

f 4 / f 3 = 3 / 2 = 1, 5 0, 11 80 33 98 ...

f 5 / f 4 = 5 / 3 = 1, 66 66 66 66 ... 0, 04 86 32 67 ...

f 6 / f 5 = 8 / 5 = 1, 6 0, 01 80 33 98 ...

f 7 / f 6 = 13 / 8 = 1, 62 5 0, 00 69 66 01 ...

f 8 / f 7 = 21 / 13 = 1, 61 53 84 61 ... 0, 00 26 49 37 ...

f 9 / f 8 = 34 / 21 = 1, 61 90 47 76 ... 0, 00 10 13 63 ...

f 10 / f 9 = 55 / 34 = 1, 61 76 47 05 ... 0, 00 03 86 92 ...

IV. PHI

por lo que

f n = f n - 2 + f n - 1

IV. PHI

Reiterando este procedimiento llegamos a obtener

Puesto que el número áureo tiene el mismo desarrollo en forma continua queda justificada la convergencia indicada.

IV. PHI

Puedes computar un numero n de la serie Fibonacci (fn) usando phi y la raíz de 5

Fn = 1/raizde5 (PHIn – (-1/PHI)n)

IV. PHI

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