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Motivación El modelo de la gota líquida Modelo de gas de Fermi Modelo de capas A news to relax before practice Práctica Modelos Nucleares Rodolfo M. Id Betan 1,2 1 Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina 2 Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina Curso: Física Nuclear 22/04/2014
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Motivación El modelo de la gota líquida Modelo de gas de Fermi Modelo de capas A news to relax before practice Práctica
Modelos Nucleares
Rodolfo M. Id Betan1,2
1Instituto de Física Rosario - Conicet. Argentina2Facultad de Ciencias Exactas - Universidad Nacional de Rosario. Argentina
Curso: Física Nuclear
22/04/2014
Motivación El modelo de la gota líquida Modelo de gas de Fermi Modelo de capas A news to relax before practice Práctica
Outline
1 Motivación
2 El modelo de la gota líquida
3 Modelo de gas de Fermi
4 Modelo de capas
5 A news to relax before practice
6 Práctica
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1 Motivación
2 El modelo de la gota líquida
3 Modelo de gas de Fermi
4 Modelo de capas
5 A news to relax before practice
6 Práctica
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Modelos nucleares
Un modelo es un sistema físico sencillo que es resoluble que imita
algunas de las propiedades del sistema (núcleo) real.
La expectativa es que exista un rango de fenómenos que el modelopueda describir a pesar de las características omitidas.
Los modelos contienen parámetros que deben ser determinados a
partir del experimento.
Un modelo es útil cuando los parámetros varían levemente en un
rango apropiado de condiciones experimentales.
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Ejemplo: Modelo colectivo
Modelo colectivo: suponiendo que el núcleo tiene un forma de cigarro
se obtiene el siguiente espectro: E(J) = 12I
J(J + 1):
Crédito: A. deShalit and H. Feshbach. Theoretical Nuclear Physics. Vol. I: Nuclear Structure. 1974.
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Modelos nucleares: Deformaciones
Deformaciones multipolares del núcleo:
Crédito: P. Ring and P. Schuck. The Nuclear Many-Body Problem. 2004.
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Modelos nucleares: Modelo de capas
En 1930 fue descubierto que núcleos con cierto número de
neutrones o protones (números mágicos 8 y 20) mostrabanpropiedades de capas cerradas.
Tomando el orden de las órbitas generado por un pozo de potencialse explicaban estos números mágicos.
Otros resultados experimentales parecían indicar la existencia de losnúmeros mágicos 50 y 82 que no podían explicarse con el pozo de
potencial.
La explicación de estos números mágicos fue dada por
Goepper-Mayer, e independientementr por Haxel, Jensen y Suess en
1947.
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Modelos nucleares: Modelo de capas
El modelo de capas explicaba porqué el momento angular de los
núcleos pares es cero y explicaba el momento angular y la paridadde los núcleos impares.
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1 Motivación
2 El modelo de la gota líquida
3 Modelo de gas de Fermi
4 Modelo de capas
5 A news to relax before practice
6 Práctica
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El modelo de la gota líquida
El modelo de la gota líquida fue el primer modelo nuclear propuesto
para explicar las diferentes propiedades de los núcleos.
La idea viene de las propiedades de saturación y del hecho que elnúcleo tienes una compresibilidad muy baja y una superficie bien
definida.
La comparación con la gota líquida no es exacta, por ejemplo, ladistancia promedio de dos partículas en un líquido es dada
aproximadamente por el valor donde la fuerza entre ellas es mínima.Para el caso del núcleo eso sería ∼ 0.7 fm. Sin embago los
nucleones dentro del núcleo están separados en promedio una
distancia ∼ 2.4 fm (del orden de la dimensión del núcleo).
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El modelo de la gota líquida: Energía de ligadura
De acuerdo al modelo de la gota líquida, la energía de ligaduradebería crecer con el número de nucleones, de modo que la energía
de ligadura por partícula permanezca aproximadamente constante.
B(N,Z )
A
∣
∣
∣
∣
A>12
≃ 8.5 MeV/nucleon
La ecuación semi-empíca B(N,Z ) de Bethe y Weizsäcker (ver clase
anterior) describe el comportamiento experimental deB(N,Z )
A.
La propiedad de saturación explica cualitativamente porqué ladensidad de nucleones ρ(r) dentro del núcleo es aproximadamente
constante (R = r0A1/3) y la brusca superficie nuclear (pequeno a).
ρ(r) =ρ0
1 + er−R
a
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El modelo de la gota líquida: Deformaciones
El modelo puede describir oscilaciones de la superficie del núcleo
parametrizando el radio R de la siguiente manera
R(θ, φ) = R0
(
1 +∑
λ>1
∑
µ
α∗
λµ Yλµ(θ, φ)
)
(λ = 1 describe la traslación del sistema como un todo.)
Crédito: P. Ring and P. Schuck. The Nuclear Many-Body Problem. 2004.
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El modelo de la gota líquida: Fisión
La repulsión coulombiana quiere deformar la gota de modo que las
partículas, en promedio, están más separadas. Por el contrario, laenergía superficial quiere mantener al núcleo con la forma esférica.
El balance/desbalance entre estos dos efectos indicará si se producela fisión o no.
R = R0
(
1 +
18∑
l=1
αl Pl(cosθ)
)
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El modelo de la gota líquida: Fisión
Parámetros para describir la fisión:
c : describe la longitud del semi-eje mayor.
h : describe el espesor del cuello entro los dos fragmentos.
αc : mide cuánto se desvía (línea a trazos) la distribución de masa
de la configuración de simetría.
Crédito: P. Ring and P. Schuck. The Nuclear Many-Body Problem. 2004.
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1 Motivación
2 El modelo de la gota líquida
3 Modelo de gas de Fermi
4 Modelo de capas
5 A news to relax before practice
6 Práctica
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El modelo de gas de Fermi
El modelo de gas de Fermi considera que el núcleo es una colección
de fermiones que no interaccionan, cuya densidad es fijada en formaexterna al modelo.
Consideremos un sistema de neutrones y protones en una cajacúbica de lado a, cada partícula satisface la ecuación de
Schrödinger:
−~
2
2M∇2ψ = Eψ
La densidad externa se obtiene ajustando la dimensión de la caja.
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El modelo de gas de Fermi
Con la codición de contorno ψ(x , y , z) = 0:
ψ(x , y , z) = A sen(kx x) sen(kyy) sen(kzz)
con: kx a = nx π, ky a = ny π, kz a = nz π.
La energía (cuantizada) del sistema es:
E(nx , ny , nz) =~
2
2M(k2
x + k2y + k2
z )
Cada estado E(nx , ny , nz) puede estar ocupado por cuatronucleones.
El estado de menor enegía del núcleo se obtiene ocupando los
estados de más baja energía.
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El modelo de gas de Fermi
El número de estados dn(k) con k = (kx , ky , kz) entre k y k + dk es:
dn(k) =1
84πk2dk
1
(π/a)3
Crédito: A. deShalit and H. Feshbach. Theoretical Nuclear Physics. Vol. I: Nuclear Structure. 1974.
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El modelo de gas de Fermi
Número total de estados permitidos:
n(k) =4π
3
k3
8(π/a)3
Siendo que cada estado k puede acomodar dos protones y dos
neutrones, el número de onda más grande kF ocurrirá para:
A
4=
4π
3
k3F
8(π/a)3
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El modelo de gas de Fermi
Definiendo Ω = a3 y ρ = A/Ω
ρ =2
3π2k3
F
Lo cual define la distribución de Fermi:
Crédito: A. deShalit and H. Feshbach. Theoretical Nuclear Physics. Vol. I: Nuclear Structure. 1974.
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El modelo de gas de Fermi
Tomando la densidad experimental ρ = 1.72 × 1038 nucleones/cm3
(A & 12) obtenemos la energía de Fermi εF :
kF = 1.36 fm−1
εF = 38 MeV
Energía cinética promedio resulta
〈T 〉 =1
A/4
∫ εF
0
εdn
dεdε =
3
5εF = 23 MeV
Definiendo el radio nuclear a través 43πR3ρ = A implica R = r0 A1/3
con r0 = 1.12 fm y kF r0 = 1.52.
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El modelo de gas de Fermi
El modelo de gas de Fermi no tiene en cuenta ninguna interacción
entre los fermiones pero sí considera el principio de exclusión dePauli.
Propuesta de estudio:Los parámetros en la ecuación de la enegía de ligadura pueden
estimarse usando el modelo de gas de Fermi.
La funciones de onda pueden utilizarce para calcular la densidad departículas simple y de dos partículas para determinar la densidad de
equilibrio y el radio de repulsión.
En general, el modelo de gas de Fermi da sólo una descripción
cualitativa de algunas de las propiedades de los núcleos .
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1 Motivación
2 El modelo de la gota líquida
3 Modelo de gas de Fermi
4 Modelo de capas
5 A news to relax before practice
6 Práctica
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El modelo de capas
La descripción de un sistema interactuante en término de partículas
independientes en un potencial central es llamado modelo de capas.
El modelo de capas supone que los nucleones se mueven en unpotencial promedio U(i) generado por todos los otros nucleones.
Además supone la existencia de una fuerza residual V (i, j)(desconocida) que no contiene el carozo repulsivo.
La interacción residual es débil en el sentido que puede ser tratadacomo una perturbación.
La función de onda antisimétrica de A-fermiones NO se separa
(excepto para el oscilador harmónico) en un producto de dos
funciones de ondas: una describiendo el movimiento del centro demasa y el otro el movimiento interno del sistema.
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El modelo de capas
La función de onda de partícula simple generada por el potencial
promedio es el elemento básico para construir la función de onda delsistema de muchas partículas que constituye un núcleo.
Hamiltoniano:
H =1
2mp2 + U(r)
H = −~
2
2m
[
1
r2
∂
∂r
(
r2 ∂
∂r
)
−1
r2l2]
+ U(r)
con l momento angular orbital (en unidad de ~), M = r × p = ~l,
l2 = −
[
1
senθ
∂
∂θ
(
senθ∂
∂θ
)
+1
sen2θ
∂2
∂φ2
]
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El modelo de capas
Buscamos las autofunciones de los operadores l2 y lz :
l2Yl,ml(θ, φ) = l(l + 1)Yl,ml
(θ, φ)
lzYl,ml(θ, φ) = ml Yl,ml
(θ, φ)
con l entero y ml = −l, . . . , l.
y de los operadores s2 y sz
s2χ(s,ms) = s(s + 1)χ(s,ms) =3
4χ(s,ms)
szχ(s,ms) = msχ(s,ms)
con s = 12
y ms = − 12, 1
2.
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El modelo de capas
Una interacción U(r) que no cambie las projecciones del momento
orbital angular o del spin, tendrá por autofunción (sin considerartodavía la parte radial de la autofunción)
ψ(s, l,ms ,ml) = Yl,ml(θ, φ)χ(s,ms)
Momento angular total:
j = l + s
con
[j2, l2] = [j2, s2] = 0
[jz , l2] = [jz , s
2] = 0
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El modelo de capas
Autofunción simultánea de j2, l2, s2, y jz :
ψ(s, l, j,m) =∑
ms ml
〈lml sms|jm〉Yl,ml(θ, φ)χ(s,ms)
con j = (l + 12, l − 1
2), m = −j, . . . , j y m = ml + ms.
j2ψ(s, l, j,m) = j(j + 1)ψ(s, l, j,m)
jzψ(s, l, j,m) = mψ(s, l, j,m)
l2ψ(s, l, j,m) = l(l + 1)ψ(s, l, j,m)
s2ψ(s, l, j,m) =3
4ψ(s, l, j,m)
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El modelo de capas
La parte angular ψ(s, l, j,m) de la función de onda de una partícula
moviéndose en un potencial central es independiente de la forma delpotencial.
Parte radial de la función de onda:
ψnlm(r , θ, φ) =1
rRnl(r)Ylm(θ, φ)
~2
2M
d2Rnl(r)
dr2+
[
Enl − U(r)−~
2
2M
l(l + 1)
r2
]
Rnl(r) = 0
l= 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . s, p, d, f, ,g ,h . . .
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El modelo de capas
Incluyendo el número cuántico principal que cuenta los nodos (sin
contar el del cero pero contando el del infinito):1s, 2s, 3s, . . . 1p, 2p, 3p, . . .
Crédito: A. deShalit and I. Talmi. Nuclear Shell Theory. 1963.
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El modelo de capas
Interacción spin-orbit: Vs = Us(r)(l · s)
La energía cambiará en la siguiente cantidad:
δEs = 〈ψnlm|Us(r)(l · s)|ψnlm〉 =1
2
[
j(j + 1)− l(l + 1)−3
4
]
ζnl
con ζnl = 〈ψnlm|Us(r)|ψnlm〉
δEs(j = l +1
2) =
l
2ζnl
δEs(j = l −1
2) = −
l + 1
2ζnl
El signo de Vs es elegido de modo que el estado j = l + 12
sea el más
ligado.
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El modelo de capas
Parte radial de la función de onda con interacción spin-orbil:
ψnlm(r , θ, φ) =1
rRnlj(r)Yljm(θ, φ)
recordemos:
Yljm(θ, φ) =∑
ms ml
〈lml sms|jm〉Yl,ml(θ, φ)χ(s,ms)
~2
2M
d2Rnlj(r)
dr2+
[
Enlj − U(r) − λl,jUs(r)−~
2
2M
l(l + 1)
r2
]
Rnlj(r) = 0
con λl,j=l+1/2 = l y λl,j=l−1/2 = −(l + 1)
Agregando el número cuántico j a la denominación de los estadosresulta:
1s1/2, 1p3/2, 1p1/2, 1d5/2, 1d3/2, 2s1/2, . . .
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El modelo de capas: Números mágicos:
Crédito: A. deShalit and H. Feshbach. Theoretical Nuclear Physics. Vol. I: Nuclear Structure. 1974.
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El modelo de capas
Ejemplos de núcleos con capas completas o parcialmente completas
construídas siguiendo el esque de la figura anterior:
Doble capas cerradas: 42He2, 16
8 O8, 4020Ca20.
Una sola capa cerrada (Vanadium): 179 V8.
Núcleo con un neutrón extra: 178 O9.
Núcleo con un protón extra: 179 F8.
Núcleo con una partícula y un agujero (Potasio): 4019K21.
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A news to relax before practice: Searching for dark energy with neutrons
With neutrons, scientists can now look for dark energy in the lab
(Crédito: SienceDaily).(internal file: news_searchingDarkMatterWithNeutron.pdf)
Fuente:http://www.sciencedaily.com/releases/2014/04/140416133334.htm?
utm_source=feedburner&utm_medium=email&utm_campaign=
Feed%3A+sciencedaily%2Ftop_news%2Ftop_science+%28ScienceDaily%3A+Top+Science+News%29
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4 Modelo de capas
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6 Práctica
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Práctica: Estados del Oxígeno 17 y 18
Sn = B(Z ,N)− B(Z ,N − 1)
Energía del estado fundamental (ground state):
εgs = −Sn
From: http://www.nndc.bnl.gov/chart (ver archivos:binding_energy_16O.pdf y binding_energy_17O.pdf)
B(17O)
17= 7.7510 MeV
B(16O)
16= 7.9762 MeV
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Práctica: Estado fundamental del 17O
Sn(17O) = 4.4143 MeV
εgs(17O) = −4.4143 MeV
From: http://www.nndc.bnl.gov/chart (ver archivo:
list_of_levels_17O.pdf)
Momento angular y paridad del estado fundamental: Jπ = 5/2+ (verdiagrama de niveles)
Estado fundamental según el modelo de capas:
1d5/2 ⇒ j = 5/2, l = 2 ⇒ J = j = 5/2, π = (−)l=2 = +
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Práctica: Primer estado excitado del 17O
Momento angular y paridad del primer estado excitado. Ver
http://www.nndc.bnl.gov/chart (archivos: list_of_levels_17O.pdf ydiagrama_del_17O_from_tunl.pdf)
Jπ = 1/2+
Primer estado excitado según el modelo de capas (ver diagrama de
niveles)
2s1/2 ⇒ j = 1/2, l = 0 ⇒ J = j = 1/2, π = (−)l=0 = +
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Práctica: Estado fundamental del 18O
Energía experimental del estado fundamental del 18O.
http://www.nndc.bnl.gov/chart (ver archivo: S2n_18O.pdf)
S2n(18O) = 12.188 MeV
εgs(18O) = −12.188 MeV
Energía del estado fundamental del 18O en el modelo de partículaindependiente:
εgs(18O) = 2εgs(
17O) = −8.296 MeV !!!!
continuará...
