Post on 10-Aug-2015
Universidad Fermín Toro.
Cabudare-LaraElectricidad
Alumno:Kendrys Méndez19454323
Operaciones de
Conjuntos
Conjunto es una colección de objetos o entidades distinguibles y bien definidas. Los objetos (números, letras, puntos, etc.) que constituyen un conjunto se les llama miembros o elementos del conjunto
DEFINICION DE CONJUNTO
Teoría de Conjuntos Normalmente se utilizan letras mayúsculas A, B, X, Y …. Para
denotar Conjuntos
Y para denotar a los elementos se utilizan letras minúsculas a,b,c,…, números, símbolos o variables.
CONJUNTO UNIVERSALRe
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
Si se habla de un conjunto de números es útil establecer una población general de números denominado CONJUNTO UNIVERSO o CONJUNTO REFERENCIA
Cuyos elementos son los posibles candidatos para formar los conjuntos que intervienen en una discusión determinada.
El conjunto Universal se denomina : U
CONJUNTO UNIVERSAL Re
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
Ejemplo
Si U=N, el conjunto de los números naturales
A = { 1, 2, 3, 4, 5 }B={ x/x es un numero primo }C = { x/x es un numero natural par }
A, B y C son subconjuntos propios de U
DIAGRAMA DE VENN
Los Diagramas de Venn son una manera esquemática de representar los conjuntos y los conceptos de la teoría de conjuntos.
Constituyen un auxiliar didáctico valioso para visualizar las relaciones de: Pertenencia, Inclusión y las Operaciones con conjuntos.
U
A B
C
El Rectángulo representa conjunto Universal
Los círculos se han utilizado para representar a cada uno de los conjuntos.
EXTENSION escribiendo cada uno de los elementos que componen el conjunto dentro de llaves o separados por una coma.
DEFINICION DE CONJUNTO EXTENSION
1.- Sea A el conjunto de las vocales
A= { a, e, i, o, u } 2.- Sea B el conjunto de los día
B= { lunes , martes, miércoles, jueves, viernes}
COMPRESION escribiendo dentro de las llaves las características de los elementos que pertenecen al conjunto , como sigue
DEFINICION DE CONJUNTO COMPRESION
Sea A es el conjunto de las vocales
Se escribe A= {x/x es una vocal}Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es una vocal Sea D el conjunto de los números pares
Se escribe D= {x/x es un numero natural par }Y se lee El conjunto de todas las x tales que x es un
numero natural par”
RELACIÓN DE INCLUSION
Decimos que esta incluido un conjunto cuando todos los elementos de uno de ellos están en el otro.
Diremos que:
un conjunto A está contenido en un conjunto B, si todos los elementos del conjunto A están en el conjunto B.
Se representa simbólicamente por:A Ì B o bien B Ì A.Sinónimos de la frase “estar contenido en” son: “estar incluido en”, “ser subconjunto de”
La expresión B Ì A s e lee también como: “B contiene a A”, “B incluye a A” o bien “B es un super conjunto de A”.
CONJUNTO VACIO
Un conjunto VACIO es el que carece de elementos, se simboliza { } o por Ø .
Ejemplo de conjunto Vacio:
El conjunto cuyos miembros son los hombres que viven actualmente con mas 500 años de edad.
CONJUNTO POTENCIA
Dado un conjunto A, el conjunto de partes de A, denominado por Ã(A),
Es el conjunto cuyos elementos son todos los subconjuntos de A
En la lista de subconjuntos de A hay que tener en cuenta dos subconjuntos especiales el mismo A, ya que A Î A, y el conjunto vacio
Ø
CONJUNTO POTENCIA
EjemploSi A = { a, b, c } entonces
Ã(A)={ {a}, {b}, {c}, { a, b }, { a, c }, { b, c }, { a, b, c, }, {Ø} }
•Los elementos del Conjunto Ã(A) son a su vez conjunto•Un conjunto cuyos miembros son conjuntos se llama Familia de Conjuntos•Ã(A) es un ejemplo de una familia de conjuntos
NOTA: Si un conjunto M tienes n elementos Ã(M) constara de 2n elementos
2n = 23 = 2 x 2 x 2 = 8
Decimos que dos conjuntos A y B son iguales (A = B ) si todos los elementos de A pertenecen a B
IGUALDAD DE CONJUNTOSRe
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
A= { x, y } B= { y, x }
Esto es:A=B,
entonces x î A, implica que x î B y
Que y î B, implica que y î A.
Ejemplo de Igualdad de Conjuntos……………
IGUALDAD DE CONJUNTOSRe
laci
ones
Ent
re C
onju
ntos
Si
M= { 1, 3, 5, 7, 9 } y
L= {x/x es impar ^ 1 ≥ x ≤ 9 }
Esto significa que
M=L
UNION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
La unión de dos conjuntos A y B, denominada por A U B que se lee A unión B, es el nuevo de Conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o B o a ambos conjuntos.
A U B ={x Î U/ x Î A v x Î B}
U
A B
En el diagrama de Venn, la región sombreada corresponde al conjunto A U B
UNION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Ejemplo
A U B ={ a, b, c, d, e, f}
U
A B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }Entonces:
INTERSECCION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
A | B ={x î U/ x Î A ^ x Î B }
U
A B
La intersección de dos conjuntos A y B, denotada A | B, que se lee A intersección B.
Es el nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y a B, es decir, por los elementos comunes a ambos conjuntos
En este diagrama de Venn la región
sombreada corresponde al conjunto A |B
INTERSECCION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
A U B También se llama suma lógica de los conjuntos A y BA | B Se denomina también el producto lógico de los conjuntos Ay B
Si A={ a, b, c, d } B= { c, d, e, f }
Observe que los elementos c y d pertenecen simultáneamente a los conjuntos A y B
A | B = { c, d }
Ejemplo:
DIFERENCIA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
A - B ={ x Î U/ x Î A ^ x Î B }
La Diferencia de dos conjuntos A y B, denotada A – B, que se lee A menos B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B
Simbólicamente:
UA
B
UA B
DIFERENCIA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Ejemplo 1:
Si A={ a, b, c } B= { c, d} A-B={ a, b }
Ejemplo 2:
Si A={ 3, 4, 5, 6 } B= { 4, 5 } A-B={ 3, 6}
Ejemplo 3:
Si A={ 1, 2, 3 } B= { 6, 7 } A-B={1, 2, 3 }
DIFERENCIA SIMÉTRICA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Simbólicamente:
La Diferencia Simétrica de dos conjuntos A y B, denotada A B, que se lee A diferencia B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B pero no pertenecen simultáneamente a ambos conjuntos
A B ={x Î U / x Î A v xÎ B , ^ x Î A | B}
A diferencia simétrica de B es igual ax Tal que x pertenece a A o x pertenece a B, y x pertenece
a A intersección B
DIFERENCIA SIMETRICA DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Ejemplo:
UA B
En el siguiente grafico se muestra A B
Observe que las regiones a la izquierda y a la derecha corresponden a los
conjuntos A-B y B-A
Por eso también
A B={ A – B } U { B- A }
A B={ A U B } - { B Î A }
A={ 1, 2, 3, 4 } B= { 4, 5 } A B = { 1, 2, 3, 5 }
COMPLEMENTEOS DE UN CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
El complemento de un conjunto A con respecto al conjunto U, denota
A΄, es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A
Simbólicamente: A΄={x Î U/ x Ï A }
UA
A΄= U – A Ejemplo:
A = { X/X es un numero natural par}
Sea U = N (el conjunto de los números naturales)
A΄ = { X/X es un numero natural impar}=U -A
ALGEBRA CONJUNTOS O
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación
PRODUCTO CARTESIANOO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
Es el conjunto dando entre la operación de dos productos, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.
Ejemplo
Si el conjunto A está formado por los elementos 3, 5, 7 y 9, mientras que el conjunto B alberga los elementos m y r, el producto cartesiano de ambos conjuntos es el siguiente:
A x B = {(3,m), (3,r), (5, m), (5,r), (7,m), (7,r), (9,r), (9,r)}
PARTICION DE CONJUNTOSO
pera
cion
es c
on C
onju
ntos
El concepto de partición es equivalente al de relación de equivalencia toda relación de equivalencia sobre un conjunto A define una partición de A, y viceversa. Cada elemento de la partición corresponde a una clase de equivalencia de la relación.
•El conjunto {1, 2, 3} tiene exactamente 5 particiones:
• { {1}, {2}, {3} } •{ {1, 2}, {3} } •{ {1, 3}, {2} } •{ {1}, {2, 3} } •{ {1, 2, 3} }
Ejemplo: