Transformacion adjunta

a una transformacion lineal

Objetivos. Estudiar la construccion y las propiedades basicas de la transformacion linealadjunta.

Requisitos. Transformacion lineal, producto interno, representacion de funcionales linea-les en un espacio vectorial con producto interno.

En estos apuntos se supone que el producto interno es lineal con respecto al segundoargumento.

1. Proposicion (criterio del vector cero en un espacio con producto interno,repaso). Sea V un espacio vectorial complejo con producto interno y sea a V . Entonceslas siguientes tres condiciones son equivalentes:

a = 0 a a a V.

Demostracion. Si a = 0, entonces para todo b V tenemos que a, b = 0, lo que significaque a V .

Si a V , entonces para todo b V tenemos que a, b = 0, en particular a a.Si a a, entonces por la definicion del producto interno a = 0.

2. Proposicion (criterio para que dos transformaciones lineales en espacios conproductos internos sean iguales). Sean V,W espacios vectoriales con producto internoy sean T, U L(V,W ). Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:

(a) T = U .

(b) v V w W Tv, wW = Uv,wW .(c) v V w W w, TvW = w,UvW .

Demostracion. Demostremos que (b) implica (a). Aplicando propiedades linales escribi-mos la condicion (b) de la siguiente manera:

v V w W (T U)v, wW = 0.

Esto significa que (TU)v W y por lo tanto (TU)v = 0W . Como v V es arbitrario,T U = 0.

Transformacion adjunta a una transformacion lineal, pagina 1 de 6

3. Definicion (transformacion adjunta a una transformacion lineal en espacioscon producto interno). Sean V,W espacios vectoriales (ambos reales o ambos comple-jos) con producto interno y sea T L(V,W ). Una transformacion lineal S L(W,V ) sele llama adjunta a T si

v V w W w, TvW = Sw, vV . (1)

4. Ejercicio. Demuestre que la condicion (1) es equivalente a la siguiente:

v V w W Tv, wW = v, SwV .

5. Teorema (existencia y unicidad de la transformacion adjunta). Sean V,Wespacios vectoriales (ambos reales o ambos complejos) con producto interno, dim(V )