MATEMATICA IIMATEMATICA II

Prof. NORMA ACOSTA TAFURProf. NORMA ACOSTA TAFUR

Licenciada en Matemática PuraLicenciada en Matemática PuraMaestrMaestríía en Docencia Universitariaa en Docencia Universitaria

Doctorado en EducaciónDoctorado en Educación

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EVALUACIÓN3 Prácticas Calificadas (Lunes)Examen Parcial y Final (Domingo)Evaluación Continua (Mensual)

PuntualidadTareasTalleresEvaluación IndividualParticipación en clase

4

MATRICES

MATEMÁTICA II

5

MATRIZ

4

1

2

0

5

3

A

Ejemplo:

Es una matriz de 3 filas y 2 columnas

Por definición es un arreglo de números ordenados en filas y columnas.

COLUMNASCOLUMNAS

FILASFILAS

Orden de una matriz Esta dado por el número de

filas y columnas.

4

1

2

0

5

3

A

3x2

1 3/2 2

3/2 2 5/2

B

2x3

En general:

nxmmnmm

n

n

a...aa.

.

.

.a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

A = [ aij ]m x n

672

014

523

C

3x3

7

Construcción de una Matriz

Construir la siguiente matriz:

A = [ aij ]2x3 tal que:

jiSi,ji

jiSi,jiaij

2

2

232221

131211

aaa

aaaA

a11 = ,a12 =

a13 = ,a21 =

a22 = ,a23 =

Solución:

1 3/2

2 3/2

2 5/2

1 3/2 2

3/2 2 5/2

A

8

IGUALDAD DE MATRICES

54

31

52

1

y

x 23 yx

2340

31

52

x

A

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

Definición.- Si A es de orden m x n , entonces AT es de orden n x m

( la transpuesta cambia filas por columnas).

32435

012

x

TA

PROPIEDAD: (AT)T = A

Ejemplo:

Ejemplo:

Dos matrices son iguales si y solo si, tienen el mismo orden y los mismos elementos

9

Matriz fila

B = [ 3 -2 5 6 1 ]1 x 5

Matriz columna

131

0

2

x

C

CLASES DE MATRICES

Matrices EspecialesMatrices Especiales

Matriz NulaMatriz Nula Matriz CuadradaMatriz Cuadrada

Matriz DiagonalMatriz Diagonal Matriz identidadMatriz identidadMatriz EscalarMatriz Escalar

430000

0000

0000

x

O

500

010

002

A

700

070

007

B

33672

014

523

x

A

Diagonal principal

33100

010

001

x

I

11

Matriz Triangular superior.-

300

150

941

A

Matriz Triangular inferior.-

7863

0129

0057

0003

B

TAA

bc

caA

cfe

fbd

eda

A

Matriz Simétrica

La Diagonal principal toma cualquier valorExtremos iguales

TAA

0

0

c

cA

0

0

0

fe

fd

ed

A

Matriz Antisimétrica

La Diagonal principal son cerosExtremos iguales con

signo diferente

OPERACIONES CON MATRICES

MATEMÁTICA II

Norma Flor Acosta Tafur

SUMA DE MATRICES

Definición.-

y

Ejemplos:

2x32x312

52

87

810

50

32

2x3712

02

55

2322 89

31

92

43

15

xx

No existe la suma ya que las matrices son de diferente orden

mxnmxnmxn CBA ijijij bac

RESTA DE MATRICES

Definición.-

y

Ejemplos:

232312

52

87

810

50

32

xx 2398

102

119

x

2223

43

15

89

31

92

xx

No existe la resta ya que las matrices son de diferente orden

mxnmxnmxn NBA ijijij ban

PROPIEDADES DE LA SUMA DE MATRICES

1. A + B = B + A (propiedad conmutativa)

2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa)

3. A + O = O + A = A (propiedad del neutro aditivo)

4. (A + B)T = AT + BT

Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces:

MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

• Ejm:

704

1532

mxnijkakA ][

)7)(2()0)(2()4)(2(

)1)(2()5)(2()3)(2(

1408

2106

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN POR UN ESCALAR

1. k(A + B) = kA + kB

2. (k1 + k2)A = k1A + k2A

3. k1(k2A) = (k1k2)A

4. 0A = O

5. kO = O

6. (kA)T= kAT

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Ejemplo:

1274

9532

0123

035

4124332 .BA xx

42x

C

C14 =

C12 =

C13 =

C21 =2(3) + (1)(2)+4(4) =

C22 =

C23 =

C24 =

C11 =

2(2) + (1)(3) + 4(7) =

2(1) + (1)(5) + 4(2) =

2(0) + (1)(9) + 4(1) =

5(3) + (3)(2) + 0(4) =

5(2) + (3)(3) + 0(7) =

5(1) + (3)(5) + 0(2) =

5(0) + (3)(9) + 0(1) =

29

11

5

9

19

20

27

mxpnxpmxn CBA .

8

C11 C12 C13 C14

C21 C22 C23 C24

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

1. Propiedad asociativa: A(BC) = (AB)C

2. Propiedad distributiva: A(B+C) = AB + BC

3. Transpuesta de un producto: (AB)T = BTAT

4. AI = IA = A

OJO

1. El producto de dos matrices no siempre es conmutativo

Ejemplo:

81

30

20

31B , A

191

60

162

273BA , AB

Luego: AB BA

2 - 4 2 2 - 4 2

0 1 -30 1 -3M =M =

2 1 2 1

0 4 0 4

2 2 2 2 N =N =

22 3 43 4 A =A = 77

55

11 11

QQ = =

Hallar el producto de matricesHallar el producto de matrices

POTENCIA DE UNA MATRIZ

Si A es una matriz cuadrada y “k” un entero positivo, entonces la k-ésima

potencia de A denotada Ak es el producto de k factores de A

Ak = A.A.A . . . A

K factores

Ejemplo: 3 Acalcular , ASi

21

01

Solución:

43

01

21

01

21

012A

87

01

21

01

43

01AAA 23

APLICACIÓN

La empresa distribuidora de auto Toyota Mitsui de San Borja presenta las ventas del mes de Diciembre, de los autos Toyota modelo Yaris y Corolla mediante la matriz:

Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por

a) ¿Cuál es el modelo y color más vendido en cada local?

302025

504030A

Negro

Yaris

Corolla

Rojo Plata

352030

405025B

Negro

Yaris

Corolla

Rojo Plata

b) ¿Cómo podría representar la venta total de ambos locales?

c) ¿Cuál es el modelo y color del auto menos vendido en el mes de diciembre?

a) Más Vendido por local:En San Borja Yaris color PlataEn la Av. La Marina Yaris color Rojo

b)

Venta Total=

654055

909055BA

Negro Rojo Plata

Yaris Corolla

c) Menos Vendido en el mes de Diciembre:

Corolla color Rojo

8.Un agente de bolsa vendió a un cliente 150 acciones del tipo A, 250 del tipo B, 120 del

tipo C y 300 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 15; $25, $ 50 y $ 70 por acción

respectivamente, determine el valor total de la transacción comercial en forma matricial.

Solución:

150 250150 250 120 300 120 300

A B C D1515

2525

5050

7070

A

B

C

D

= 35,500

Rpta._ el valor total de la transacción es de $ 35,500