Captulo 1

Matrices. Sistemas de ecuaciones

lineales. Determinantes

1. Comprobar queAB = 0 siendo:A =

1 0 1

2 0 2

, B =

0

@

0 2 1 0

1 3 0 1

0 2 1 0

1

A

2. Es cierto que A C = B C ) A = B. Si lo es demustralo y si no busca un

contrajemplo.

3. Analiza bajo que condiciones se verican o no las siguientes igualdades matri-

ciales:

a) (A+B)

2

= A

2

+ 2A B +B

2

b) (A+B) (AB) = A

2

B

2

4. Encuentra el valor de m en la matriz A =

1 2

3 m

para que existan matrices

B no nulas tales que A B = 0. Sol: m = 6.

5. Sea la matriz A =

0 0

2 1

. Halla las matrices B tales que

a) conmutan con A.

b) A B = 0.

c) A B = B A = 0.

Sol:

a 0

2d 2a d

,

a b : : : n

2a 2b : : : 2n

,

a 0

2a 0

1

2 CAPTULO 1. MATRICES. SISTEMAS. DETERMINANTES

6. Calcula la potencia n-sima de las matrices siguientes:

A =

a 1

0 a

, B =

0

@

1 0 1

0 0 0

1 0 1

1

A

, C =

0

@

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

A

, D =

0

@

1

3

0 0

0 0

1

3

0

1

3

0

1

A

Sol: A

n

=

a

n

na

n1

0 a

n

, B

n

= 2

n1

B, C

n

= 3

n1

C,

D

n

=

(

1

3

n

I si n es par

1

3

n1

D si n es impar

7. Calcula los nmeros reales a, b y c para que la matriz

0

@

1 2 5

0 1 3

0 0 1

1

A

sea la inversa de A+B siendo

A =

0

@

1 1 b+ 2

0 1 c+ 2

5 0 3

1

A

B =

0

@

0 a+ 1 2

0 0 2

5 0 2

1

A

Calcular despus la inversa de (A+B)

t

.

Sol: a = 2, b = 1, c = 3

((A+B)

t

)

1

=

0

@

1 0 0

2 1 0

5 3 1

1

A

8. Calculam y n sabiendo que la matriz A =

2 1

1 2

verica A

2

+mA+nI = 0.

Calcula A

1

, si existe.

Sol: m = 4, n = 5; A

1

=

2

5

1

5

1

5

2

5

9. Calcula la matriz X que verique que:

0

@

1 2 0

1 0 2

1 0 0

1

A

= 3X

0

@

0 1 0 1

2 1 1 0

3 0 1 2

1

A

0

B

B

@

0 1 0

1 0 2

0 1 1

0 1 1

1

C

C

A

Sol: X =

1

6

0

@

3 5 4

1 3 4

3 1 0

1

A

310. Mediante operaciones elementales sobre las calcula la inversa, (Mtodo de

Gauss), de las siguientes matrices:

A =

0

@

1 2 4

1 1 5

2 7 3

1

A

B =

0

@

1 3 4

1 5 1

3 13 6

1

A

Sol: A

1

=

0

@

16 11 3

7

2

5

2

1

2

5

2

3

2

1

2

1

A

, B

1

no existe.

11. Calcula la inversa, por el mtodo de Gauss-Jordan, de las siguientes matrices:

A =

0

B

B

@

1 1 1 1

0 1 1 1

0 0 1 1

0 0 0 1

1

C

C

A

B =

0

B

B

@

1 2 1 0

0 1 1 1

1 3 1 2

1 4 2 4

1

C

C

A

Sol: A

1

=

0

B

B

@

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

1

C

C

A

B

1

=

0

B

B

@

10 20 4 7

3 6 1 2

5 8 2 3

2 3 1 1

1

C

C

A

12. Estudia y resuelve, cuando sea posible, por el mtodo de Gauss los siguientes

sistemas:

a)

8

>

>

:

x + 2y + 3z t = 0

x y + z + 2t = 4

x + 5y + 5z + 2t = 4

x + 8y + 7z 7t = 8

Sol: a) Compatible determinado: x = 1; y = 0; z = 1.

b) Compatible indeterminado x = 8 + 9z; y = 5 6z; z = z.

c) Incompatible.

d) Compatible indeterminado x = 1514y; y = y; z = 17+19y; u = 3+2y.

e) Compatible determinado x = y = z = 0.

f ) Compatible indeterminado x = 6 +

5

2

y; y = y; z = 2

3

2

y; t = 0.

4 CAPTULO 1. MATRICES. SISTEMAS. DETERMINANTES

13. Estudia y resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales:

a)

8