Teoria y Problemas de Matrices y Determinantes Ccesa007

8/21/2019 Teoria y Problemas de Matrices y Determinantes Ccesa007

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INTRODUCCION L S

M TEM TIC S

SUPERIORES

M TRICES Y DETERMIN NTES

Demetrio cesa Rayme


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“Matrices y Determinantes”

INDICE

Introducción.

Definición de matriz notación científica y orden.

Operaciones con matrices.

Clasificación de las matrices.

Transformaciones elementales por renglón.

Escalonamiento de una matriz, rango de una matriz.

Calculo de inversa de una matriz.

Definición de determinantes de un matriz.

Propiedades de las determinantes.

Inversa de una matriz cuadrada a través de la adjunta.

Aplicaciones de matrices y determinantes.

Aplicación de matrices y determinantes.

Conclusión.

Bibliografía.


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INTRODUCCIÓN

La Teoría de Matrices es una herramienta fundamental en las matemáticas puras

y aplicadas, y cada vez más importantes en las Ingenierías, las ciencias físicas,

biológicas y sociales para sus aplicaciones en las diferentes circunstancias que se

presente.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los

lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los

ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas

Identificaras que las matrices se clasifican en triangular superior, triangular inferior,

diagonal, escalar, identidad, potencia, periódica, nilpotente, idempotente,

involutiva, transpuesta, simétrica, antisimétrica, compleja, conjugada, hermitiana,

antihermítiana, ortogonal.

Las Matrices constituyen el lenguaje de las Nuevas Tecnologías y su uso es

frecuente en las múltiples aplicaciones de las Matemáticas Contemporáneas.


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2.1 Definic ión de matriz, no tación y orden .

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J.

Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en

1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una formaabreviada de escribir un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas.

Se l lama matr iz de orden "m × n" a un conjun to rectangular de

elementos a i j dispuestos en m f i las y en n columnas. El orden de una

matriz también se denom ina dimens ión o tamaño, sien do m y n números

natura les .

Para poder expresar una matriz y diferenciarla tenemos que saber su notación.

Definición:

Una matriz es una tabla rectangular de números. Una de las principales

aplicaciones de las matrices es la representación de sistemas de ecuaciones de

primer grado con varias incógnitas. Cada fila de la matriz representa una ecuación,

siendo los valores de una fila los coeficientes de las distintas variables de la

ecuación, en determinado orden.

Notación:

Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C, ... y los elementos de las

mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,

Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij .

Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la

matriz : A = (aij)

Cuando nos referimos indistintamente a filas o columnas hablamos de líneas.

El número total de elementos de una matriz Am×n es m·n


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En matemáticas, tanto las l istas como las tablas reciben el nombre genérico de

matrices.

Generalmente, una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus elementos, una

vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con corchetes o con

paréntesis, así:

a2a1a

aaa

aaa

= A

mnmm

n2221

n1211

2

1

; O así:

a2a1a

aaa

aaa

= A

mnmm

2n2221

1n1211

Orden de una matriz El orden de una matriz es el número de filas y de columnas que tiene esa matriz.

Si el número de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar

Amxn, leyéndose "matriz A de orden m por n".

Elemento genérico El símbolo "aij", llamado elemento genérico de una matriz, se usa para indicar que el

elemento por él designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna

" j".

En consecuencia, una anotación del tipo "a23" debe interpretarse que se trata del

elemento "a", que ocupa el lugar correspondiente a la fila 2 y a la columna 3.

Otra notación de una matriz Para el caso de una matriz A con m filas y n columnas, se debe entender que i varíadesde 1 hasta m y que j varía desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjuntode los números naturales).

Por ello, otra forma de anotar una matriz A , de m filas y n columnas, que tiene como

elemento genérico a a ij , es:Amxn = (a ij ) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n)


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Así, la matriz

aaa

aaa

aaa

aaa

= A

434241

333231

232221

131211

Puede anotarse de esta forma:

A 4x3 = (a ij ) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3)

2.2. Operaciones con matr ices

Suma Dadas las matrices m-por-n A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada

sumando los elementos correspondiente .. , = , ,. Esdecir, sumar cada uno de los elementos homólogos de las matrices a sumar. Por

ejemplo:

1 3 21 0 01 2 2 1 0 57 5 02 1 1 =

1 1 3 0 2 51 7 0 5 0 01 2 2 1 2 1 = 2 3 78 5 03 3 3

Propiedades Asociativas Dadas las matrices × , = Conmutativa Dadas

las matrices × =

Existência de matriz cero o matriz nula

= = Existência de matriz opuesta

= ,


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= Producto p or un escalar

Dada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el

escalar por cada elemento d A

.. , =,

Ejemplo

2 1 8 34 2 5 =2 × 1 2 × 8 2 × 32 × 4 2 × 2 2 × 5 = 2 16 68 4 10Propiedades sean A Y B matrices y c y d escalares

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entones cA es matriz.

Asociatividad:( cd ) A = c(d A )

Elemento neutro: 1 ∙A= A Distributividad :

De escalar : = De matriz: =

Producto

Diagrama esquemático que ilustra El producto de dos matrices A and B dando

como resultado la matriz AB

El producto de dos matrices AB. se puede definir sólo si el número de columnas de

la matriz izquierda es el mismo que el número de las de la matriz derecha. Si A es

una matriz ∙ es una matriz × ,entonces su producto matricial AB es lamatriz × , dada por:

, = , 11, , 22, ⋯ , , Para cada par .Por ejemplo

1 0 21 3 1 × 3 12 11 0 =

1 × 3 0 × 2 2 × 1 1 × 1 0 × 1 2 × 01 × 3 3 × 2 1 × 1 1 × 1 3 × 1 1 × 0 =5 14 2


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Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el.

Producto, el producto de matrices tiene las siguientes propiedades:

Propiedad asociativa:

= .

Propiedad distributiva por la derecha: = . Propiedad distributiva por la izquierda = El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, ≠ .La división entre matrices, es decir, la operación que podría producir el cociente ⁄ . No se encuentra definida. Sin embargo, existe el concepto de matriz inversa,solo aplicable a las matrices cuadradas.

2.3 Clasif icac ión de las matrices

La transformación de la ampliada de una matriz mediante operaciones

elementales ha dado origen al concepto de matrices elementales. Una matriz

elemental se define como una matriz cuadrada que puede obtenerse a partir de la

matriz identidad con una única operación elemental realizada sobre sus filas.

Algunas matrices presentan características particulares en la posición o en lanaturaleza de sus elementos. Muchas de ellas son tan importantes en la teoría y

en las aplicaciones, que han recibido denominaciones específicas.

Triangularsuper iorTriangularinfer iorDiagonalEscalar

Ident idadPotenciaPeriódicaNilpotenteIdempotente

Involut ivaTranspuestaSimétr icaAn ti s imétr ic aComplejaConjugada

Hermit ianaAn tih ermítian aOrtogonal


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Algunos t ipos de matrices

Hay algunas matrices que aparecen frecuentemente y que según su forma, sus

elementos, reciben nombres diferentes:

Tipo de matriz Definición Ejemplo

FILA

Aquella matriz que

tiene una sola fila,

siendo su

orden 1×n

COLUMNA

Aquella matriz que

tiene una sola

columna, siendo

su orden m×1

RECTANGULA

R

Aquella matriz que

tiene distinto

número de filas

que de columnas,

siendo su

orden m×n ,

TRANSPUESTA

Dada una

matriz A, se llamatraspuesta de A ala matriz que se

obtiene

cambiando

ordenadamente

las filas por las

columnas.

Se representa

por At ó AT


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OPUESTA

La matriz opuesta

de una dada es la

que resulta de

sustituir cada

elemento por suopuesto. La

opuesta

de A es -A.

NULA

Si todos sus

elementos son

cero. También se

denomina matriz

cero y se denota

por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que

tiene igual número

de filas que de

columnas, m = n,

diciéndose que la

matriz es de orden

n.

Diagonal principal: son loselementos a11 ,

a22 , ..., ann

Diagonalsecundaria : sonlos elementos aij

con i+j = n+1Traza de unamatriz cuadrada :

es la suma de loselementos de la

diagonal principal

trA.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :


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SIMÉTRICA

Es una matriz

cuadrada que es

igual a su

traspuesta.

A = At

, aij = a ji

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz

cuadrada que es

igual a la opuesta

de su traspuesta.

A = -At , aij = -a jiNecesariamente a

ii = 0

DIAGONAL

Es una matriz

cuadrada que

tiene todos sus

elementos nulos

excepto los de la

diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz

cuadrada que

tiene todos suselementos nulos

excepto los de la

diagonal principal

que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz

cuadrada que

tiene todos sus

elementos nulos

excepto los de ladiagonal principal

que son iguales a

1. También sedenomina matriz

unidad.


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TRIANGULAR

Es una matriz

cuadrada que

tiene todos los

elementos por

encima (pordebajo) de la

diagonal principal

nulos.

ORTOGONAL

Una matriz

ortogonal es

necesariamente

cuadrada e

invertible: A-1 = AT

La inversa de unamatriz ortogonales una matrizortogonal.El producto de dosmatricesortogonales esuna matrizortogonal.El determinante deuna matrizortogonal vale +1ó -1.

NORMAL

Una matriz es

normal si conmuta

con su traspuesta.

Las matrices

simétricas, anti

simétricas uortogonales son

necesariamente

normales.


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INVERSA

Decimos que una

matriz

cuadrada A tieneinversa, A-1, si se

verifica que : A·A-1 = A-1·A = I

Tipos de matr ices

Cuando el número de filas es igual al de columnas (n = m) la matriz se

llama matriz cuadrada.

Cuando n = 1 la matriz se llama matriz fila.

Cuando m = 1 la matriz se llama matriz columna.

Las matrices fila y columna se llaman habitualmente vectores.

Cuando en una matriz cuadrada son ceros todos los elementos que no

están en la diagonal principal (la que va desde el ángulo superior izquierdo

al ángulo inferior derecho) la matriz se llama matriz diagonal.

Si todos los términos de una matriz son cero, a la matriz se le llama matriz

nula. y se representa por O.

Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales se

llama matriz escalar.

Si una matriz diagonal tiene todos los términos de la diagonal iguales a 1 sellama matriz unidad.

Dada una matriz, su traspuesta es la formada al disponer la fila 1 como

columna 1, la fila 2 como columna 2... la fila n como columna n. La

traspuesta de la matriz A se designa por t A (a veces se utiliza At o A').

Las matrices cuadradas en las que aij = 0 siempre que i > j o bien aij = 0

siempre que i < j se llaman matrices triangulares (superior o inferior, según

el caso).

Una matriz se llama regular si tiene inversa. Si no tiene inversa se llama

singular.

Una matriz es simétrica si es igual a su traspuesta. Una matriz A es antisimétrica (o hemisimétrica) si su traspuesta es igual a -

A

Una matriz A es hermítica si coincide con la matriz traspuesta conjugada

(se refiere a los números complejos conjugados). Es antihermítica si es

opuesta con la matriz traspuesta conjugada.


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Una matriz es periódica si existe algún p tal que Ap = A. Si p = 2 la matriz se

llama idempotente.

Una matriz es nilpotente si existe algún p tal que Ap = O (matriz cero).

Una matriz es involutiva si A2 = I (matriz identidad).

Una matriz es ortogonal si t A = A-1.

Clasif icacion de las matrices por s u or den Por su orden (o dimensión), las matrices se clasifican en:

a) rectangulares

b) cuadradas.

Sea Amxn;

Si m n, la matriz se dice rectangular ;

Si m = n, la matriz se dice cuadrada.

aaa

aaa

aaa

aaa

434241

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

333231

232221

131211

Matriz rectangu lar Matriz cuad rada

Matrices especiales

Matriz fila: es la matriz que tiene una sola fila.

Ejemplo:

3)2,1,= )(jb( =bbb= B 1j131211

Matriz columna: es la matriz que tiene una sola columna.

Ejemplo:


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3)2,1,=(i )c( =

c

c

c

=C i1

31

21

11

Caracterización de las region es de una matriz cuadrada

Por el comportamiento de los subíndices i y j de un elemento del tipo aij de una

matriz cuadrada cualquiera, es posible caracterizar tres regiones en ella:

1) los elementos aij tales que i=j, forman la diagonal principal

2) los elementos aij tales que ij, forman el triángulo inferior.

Matrices triangulares

Si en una matriz cuadrada es:

Aij = 0, ij

Se dice que la matriz es triangular inferior .

La que sigue es una matriz triangular inferior de orden 4:


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a000

aa00

aaa0

aaaa

= B

44

3433

242322

14131211

Matriz diagonal

Se llama matriz diagonal a toda matriz que es simultáneamente triangular superior y

triangular inferior.

Es inmediato que, en una matriz diagonal, es

Ai j = 0, i j .

El siguiente es un ejemplo de matriz diagonal:

d 000

0d 00

00d 0

000d

= D

44

33

22

11

Matriz escalar

Se llama matriz escalar a toda matriz diagonal en la que:

d11=d22=d33= ... = dii= k , siendo k un escalar.

Este es un ejemplo de matriz escalar:


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k 000

0k 00

00k 0

000k

= E

Matriz identidad

Se llama matriz identidad a la matriz escalar en la que k=1.

La matriz identidad de orden n se anota In.

Ejemplo:

1000

0100

0010

0001

= I 4

El elemento generador de una matriz identidad recibe el nombre de "Delta deKrocneker ", se simboliza con δij y se define así:

ji si0

j=i si1 =ij

De modo que In = (δij ) ; i,j = 1, 2, ..., n.

2.4 Transformacio nes elementales por renglón. Escalon amiento

de un a matr iz. Rango d e una m atr iz.

Transformaciones elementales por renglón.


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Una matriz es un arreglo rectangular de números. Estos números pueden ser los

coeficientes de las variables de un sistema de ecuaciones, con lo que la matriz se

llamará matriz de coeficientes del sistema. Una matriz con m renglones y n

columnas se llama una matriz de m x n. Si en una matriz se vacía, además de los

coeficientes de las ecuaciones, el lado derecho de éstas, entonces la matriz se

denomina matriz aumentada.

Operaciones elementales con renglones .1. Multiplicar (o dividir) un renglón por un número diferente de cero.

2. Sumar un múltiplo de un renglón a otro renglón, .

3. Intercambiar renglones.

Con estas operaciones se obtiene un nuevo renglón que resulta ser una

combinación lineal del primero o bien, lo que se traduciría en una nueva ecuación

equivalente.

Escalonamiento de u na matr iz.

Una matriz se encuentra en la forma escalonada por renglones si se cumplen las

siguientes condiciones:

1. Todos los renglones (si los hay) cuyos elementos son todos cero aparecen

en la parte inferior de la matriz.

2. En el primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en

cualquier renglón cuyos elementos no todos son cero es 1.

3. Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el

primer 1 en el renglón de abajo está más hacia la derecha que el primer 1en el renglón de arriba.

. Ejemplos de matrices en la forma escalonada por renglones

a) 1 2 30 1 50 0 1

b)

1 1 6 40 1 2 80 0 0 1

c) 1 0 2 50 0 1 2 d) 1 20 1


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e) 1 3 2 50 1 3 60 0 0 0 Por lo general, la forma escalonada por renglones de una matriz no es única. Es

decir, una matriz puede ser equivalente, en sus renglones, a más de una matriz enforma escalonada por renglones.

Por ejemplo

= 1 3 2 50 1 3 60 0 0 1ó ó = = 1 2 1 10 1 3 60 0 0 1

Al realizar la operación indicada, restar el renglón 1 del renglón 2, se obtiene la

matriz B. (1-0=1, 3-1=2, 2-3=-1, 5-6=-1). Ambas matrices se encuentran en la

forma escalonada por renglones y son equivalentes por renglones. Así, cualquier

matriz para la que A es una forma escalonada por renglones. También acepta a Bcomo forma escalonada por renglones.

Existe también la forma escalonada reducida por renglones, en la cual los

números arriba y abajo del primer 1 de un renglón son cero, como se observa en

la siguiente matriz: = 1 0 0 40 1 0 20 0 1 3 Siempre se puede reducir una matriz a la forma escalonada reducida por

renglones o a la forma escalonada por renglones realizando operacioneselementales con renglones.

Rango de una matriz.

Es el número máximo de columnas (filas respectivamente) que son linealmente

independientes. Si el rango fila y la columna son iguales, éste número es llamado

simplemente rango de A.

El número de columnas independientes de una matriz A de m x n es igual a la

dimensión del espacio columna de dicha matriz A. también la dimensión del

espacio fila determina el rango. El rango de A será, por tanto, mayor o igual que

uno o menor o igual que el mínimo entre m y n.

Ejemplo.

Dada la matriz = 1 2 3 114 1 1 42 1 3 10, realice lo que se le pide:a) Multiplique por 4 el renglón 1 y réstele el renglón 2.


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b) Multiplique por 2 el renglón 1 y réstele el renglón 3.

c) Divida el renglón 2 entre (-4).

d) Multiplique el renglón 2 por 3 y súmele el renglón 3.

e) Multiplique el renglón 3 por (-3) y divídalo entre 4.

f) ¿Alcanzó ya la forma escalonada?

2.5 Calculo de la inversa de una matriz

El algebra de matrices proporciona herramientas para manipular ecuaciones

matriciales y crear diversas formulas útiles en formas similares a la ejecución

ordinaria del álgebra con números reales. En esta sección el análogo matricial del

reciproco, o inverso multiplicativo, de un numero diferente de cero.

Recuerde que el inverso multiplicativo de un número como 5 es 1/5 o 5 -1. Este

inverso satisface la ecuación:

5−. 5 = 1 5 . 5− = 1 L a generalización matricial requiere ambas ecuaciones y evita la notación con

diagonales (para indicar una división) debido a que la multiplicación de matrices no

es conmutativa. Más aun, una generalización completa solo es posible si las

matrices involucradas son cuadradas.

PROPIEDADES:


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Se dice que una matriz de es invertible si existe otra matriz de talque:

= = Donde = , la matriz identidad . En este caso, es un inverso de . Dehecho, esta determinado únicamente por , porque si fuera otro inverso de ,entonces = = = = = . Este inverso único se denotamediante −, de manera que,

− = − = Una matriz que no es invertible algunas veces se denomina matriz singular, y unamatriz invertible se denomina matriz no singular. Entre matrices NO existe laoperación de división, la matriz inversa realiza funciones análogas.

EJEMPLO Si = 2 53 7 = 7 53 2 , entonces = 2 53 7 7 53 2 = 1 00 1

= 7 53 2 2 53 7 = 1 00 1 Así que

= −.

A continuación se presenta una formula sencilla para el inverso de una matriz de

2x2, junto con una prueba para saber si existe el inverso.

TEOREMA 4

Sea = . Si ≠ 0, entonces es invertible y − = 1

Si = 0, entonces A no es invertible.La demostración sencilla del teorema 4 se describe en términos generales en los

ejercicios 25 y 26. La cantidad se llama determinante de A y se escribedet =


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El teorema 4 establece que una matriz A de 2x2 es invertible si, y solo si

det ≠ 0.EJEMPLO Encuentre el inverso de

= 3 45 6

.

Solución Como det = 36 45 = 2 ≠ 0 , es invertible, y − = 12 6 45 3 = 6/2 4/25/2 3/2 = 3 25/2 3/2

Las matrices invertibles son indispensables en el algebra lineal ---- principalmente

para cálculos algebraicos y deducciones de formulas. Como en el teorema

siguiente. En ocasiones una matriz inversa permite entender mejor un modelo

matemático de alguna situación de la vida real, como en el ejemplo 3 que se

presenta más adelante.

TEOREMA 5

Si es una matriz invertible entonces, para cada b en ´´, la ecuación Ax=btiene la solución única x= −b.Demostración: tome cualquier b en ´´. Existe una solución porque cuando sesustituye −b por x. se tiene = − = − = b =b. Así que −b esuna solución. Para probar que la solución es única, se muestra que si u escualquier solución, entonces u debe ser, de hecho, −b. en efecto, si = ,pueden multiplicarse ambos miembros por − y obtener

− = − = − . = − Ejemplo

Una viga elástica horizontal tiene soporte en cada extremo y si está sometida a

fuerzas en los puntos 1, 2, 3, como indica la figura 1. Sea f en tal que enlistelas fuerzas en estos puntos, y sea y en

tal que incluya las magnitudes de la

deflexión (esto es, movimiento) de la viga en los tres puntos. Al aplicar la ley de

Hooke de la física, se puede demostrar que

= Donde es una matriz de flexibilidad. Su inversa se denomina matriz de rigidez.Describa el significado físico de las columnas de −.


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Solución: escriba = y observa que = =

Interpreta el vertor =1,0,0 como fuerza unitaria aplicada hacia abajo en elpunto (con fuerza cero en los otros dos puntos). Entonces la primera columna de,, enlista las deflexiones debidas a una fuerza unitaria en el punto .Interpretaciones similares son validas para la segunda y tercera columna de .Para estudiar la matriz de rigidez −, observe que la ecuación = − calculaun vector de fuerza f cuando se da un vector de deflexión y. escriba

− = − = − − − Ahora interprete como un vector de deflexión. Entonces − enlista lasfuerzas que crean la deflexión. Esto es, la primera columna de − enlista lasfuerzas que deben aplicarse en los tres puntos para producir una deflexión unitaria

en el punto 1 y cero deflexión en los otros puntos. De manera similar, las

columnas 2 y 3 de − enlistas las fuerzas requeridas para producir deflexionesunitarias en los puntos 2 y 3, respectivamente. En cada columna, una o dos de las

fuerzas deben ser negativas (apuntar hacia arriba) para producir una deflexión

unitaria en el punto deseado y cero deflexión en los otros dos puntos. Si la

flexibilidad se mide, por ejemplo, en pulgadas de deflexión por libra de carga,

entonces las entradas de la matriz de rigidez están dadas en libras de carga porpulgada de deflexión.

El interés principal de la matriz de adjuntos es que permite calcular la inversa deuna matriz, ya que se cumple la relación:

Solución analítica:

Inversión de matrices 2x2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo, se puede

hacer de la siguiente manera:


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− = − = − Esto es posible siempre y cuando el determinante de la matriz, no seacero.

Inversión de matrices de órdenes superiores:

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

− = 1| | Donde |A| es el determinante de A y es la matriz de adjuntos de A.

2.6 Definic ión de determ inante de una MatrizEn matemáticas se define el determinante como una forma n-lineal alterna de un

cuerpo n esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y

generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en números campos.

Aunque el origen del determinante o de volumen orientado fue introducido para

estudiar el numero de soluciones de los sistemas lineales de ecuaciones.

Los determinantes fueron introducidos en occidente a partir del siglo XVI, esto es,

antes que las matrices, que no aparecieron hasta el siglo XIV. Conviene recordar

que Los chinos (Hui, Liu. iuzhang suanshu o los 9 capítulos del arte matemático.)fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que,

desde el siglo XIX, se conoce con el nombre de eliminación gaussiana.

Definición:

Para n 2, el determinante de una matriz A de n x n = [aij] es la suma de los n

términos de la forma a1j det A1j , con los signos más o manos alternándose,

donde las entradas a11 , a12,…, a1n son de la primera fila de A. En forma simbólica,

det A = a11 det A11 - a12 det 12 + + (-1)1+2 a1n det A1n

= (-1)1+j a1j det A11j


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El caso de matrices de orden inferior (orden 2 o 3) es tan sencillo que su

determinante se calcula con sencillas reglas conocidas dichas reglas son también.

2.7 Propiedades de las determinantes

En matemáticas se define las determinantes como una forma -lineal alterna de uncuerpo .Esta definición indica una serie de propiedades y generalización delconcepto de determinantes haciéndolo aplicable a numerosos campos. Aun que

el origen del determinante o del volumen orientado fue introducido para estudiar el

numero de disoluciones Delos sistemas lineales de ecuaciones.

Las matrices y los determinantes son herramientas del ´algebra que facilitan el

ordenamiento de

Datos, así como su manejo.

Los conceptos de matriz y todos los relacionados fueron desarrolladosbásicamente en el siglo XIX

Por matemáticos como los ingleses J.J. Sylvester y Arthur Cayley y el irlandés

William Hamilton.

Las matrices se encuentran en aquellos ámbitos en los que se trabaja con datos

regularmente

Ordenados y aparecen en situaciones propias de las Ciencias Sociales,

Económicas y Biológicas.

Teorema operaciones por fila

sea A una matiz cuadrada

a. Si un múltiplo de una fila de A se suma a otra fila para producir una matriz

B, entonces det B=det A.

b. Si dos filas A se intercambian para producir B ,entonces det B= -det A.

c. SI UNA FILA DE A SE multiplica por k para producir B, entonces det B=det

k *det A. EJEMPLO:


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Calcule det A, donde A = 1 4 22 8 91 7 0 Solución: la estrategia es reducir A ala forma escalonada y utilizar luego el hechode que la determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas

diagonales.

Det A = 1 4 22 8 91 7 0 =1 4 20 0 51 7 0 =

1 4 20 0 50 3 2 Un intercambio de la filas 2 y 3 invierte el signo del determinante, así que

det A= -1 4 20 3 20 0 5= -(1)(3)(-5)=15

2.8 Inv ersa de una mat riz cu adrada a través de la adju nta

Dada una matriz cuadrada , su matriz adjunta o ES LA resultante de sustituircada término de por sus adjuntos respectivos El adjunto de un termino de A porsus adjuntos respectivos.

El adjunto de un termino de la matriz resulta del determinante de lasubmatriz que se obtiene de eliminar de la matriz A, la fila y la columna a la que

pertenece el termino , multiplicado por 1 el interés principal de lamatriz de adjuntos es que permite calcular la inversa de una matriz ya que se

cumple la relación : 1 =− 1

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes , este tipo de cálculo resulta

más costosos , términos de operaciones . que otros métodos como el método de

eliminación de guaus

Definición y formulas de calculo

Dada una matriz A su matriz de adjuntos es la única matriz B tal que:


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= = Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjunto por lo que

comúnmente define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente formula

explicita .dadas las componentes explicitas de la matriz de orden

, = ∈×para como la matriz de orden 1 obtenida a partir de ELIMINANDO LA FILA . y se define la cantidad

=1+ , Y se tiene que esta son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos

ya que es decir,adj(A ×

Dada una matriz de 2 × 2 = ( )

SU MATRIZ DE ADJUNTOS VIENE DADA POR:

= ( )

× 3 × 3

SU MATRIZ DE ADJUNTOS VIENE DADA POR:


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=

=

2.9 Apl icaciones de las matr ices y determ inantes

Aplicaciones de las matrices y determinantes

ejemplo1: calcule el determinante de

A= [ 1 5 02 4 10 2 0 ]Solución: calcule det A = a11 det A11 – a12 det A12 + a13 det A13 :

det A= 1 det [4 12 0 ] -5. det [2 10 0 ] + 0. det [2 40 2 ]

=1( 0 – 2 ) – 5 ( 0 – 0 ) + ( - 4 – 0 )= - 2

Otra notación común para el determinante de una matriz usa un par de líneas

verticales en lugar de los corchetes. Así, el cálculo del ejemplo 1 se puede escribir

como

det A= 1 I4 12 0 I -5 I2 10 0 I +0 I2 40 2I = = - 2


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Para enunciar el teorema siguiente resulta oportuno escribir la definición det A en

una forma un poco diferente. Dada A = [aij], el cofactor (i,j) de A es el numero Cij

dado por

Cij = (- 1 )i+j

det Aij (4)

Entonces

Det A = a11 C11 + a12 C12 ++ a1n C1n

Esta forma se llama desarrollo por cofactores a lo largo de la primera fila de A.

Se omite la demostración del teorema fundamental siguiente pera evitar una larga

Interrupción.

Teorema 2: Si A es una matriz triangular , entonces A es el producto de las

entradas sobre la diagonal principal de A .

Teorema 1

El determinante de una matriz Α de nxn puede calcularse mediante un desarrollo

por cofactores a lo largo de cualquier fila o descendiendo por cualquier columna –

El desarrollo a lo largo de la i- esima fila usando los cofactores en (4) es

: det A =ai1ci1+ai2+…..+ain cin

El desarrollo por cofactores bajando por la j-esima columna es

: det A =aijcij+a2jc2j+…..+anj cnj

Los mas o menos del cofactor (i,j)dependen de la posición de aij en la matriz , sin

importar el signo de aij en si mismo el factor (-1)i+j determina la tabla siguiente para

el patrón de signos

[

]

Ejemplo : use un desarrollo por cofactores a lo largo de la tercera fila para calcular

det A, donde:

A = [1 5 02 4 10 2 0 ]


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Solución calcule:

det A = a31 C31 + a32 C32 + a33 C33

= (- 1)3+1 a31 det A31 + (- 1)3+2 a32 det A32 + (- 1)3+3 a33 det A33

= 0 I5 04 1I – (- 2) I1 02 1I +0 I1 52 4I= 0 + 2 (- 1) + 0 = -2

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirvenpara clasificar: valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Ejemplo: Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa(F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden alprecio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y

3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño

concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los

datos numéricos del problema en cuestión.


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Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos

elementos están o no relacionados entre si. En general, la existencia de relación

se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación de expresa con

un 0.

Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un

grafo y expresarla numéricamente.

Los determinantes también proporcionan una forma sencilla de calcular el rango

de una matriz

Cualquiera. Una definición alternativa de rango de una matriz es:

El Rango de una matriz A es el tamaño del mayor menor complementario no nulo

que esté incluido dentro de la matriz.

Aplicando este criterio, calculemos el rango de las matrices siguientes:

Sólo hay un menor de orden 2, que es:

Como es nulo, el rango de la matriz NO es 2. Menores de orden 1 hay 4, por

ejemplo |1| = 1, que es no nulo, luego el rango de la matriz es Rg(A)=1 (el tamañode dicho menor complementario).

b) Sólo hay un menor de orden 2, que es:

Como no es nulo, el rango de la matriz es Rg (B)=2 (el tamaño de dicho menor

complementario).c) Sólo hay un menor de orden 3, que es:


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Como es nulo, podemos asegurar que el rango NO es 3.Menores de orden 2 hay 9. Calculando alguno:

Resulta que es no nulo, luego el rango es Rg(C)=2 (el tamaño de dicho menorcomplementario).d) El menor más grande que podemos formar es de orden 2. Hay 3 de ellos:

Son todos nulos, luego el rango NO es 2. Menores de orden 1 hay 6, y por ejemplo|6| = 6 _= 0, es no nulo, luego el rango es Rg (D)=1.


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Conclusión General:

Lo importante de estos temas es saber que es una matriz y para qué sirve y su

utilidad en las matemáticas así como sus definiciones.

Se llama MATRIZ a todo cuadro de números distribuidos en filas y columnas. Las

matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de

ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.

Además de su utilidad para el estudio de sistemas de ecuaciones lineales, las

matrices aparecen de forma natural en ingeniería, estadística, economía,

informática, física, etc.

Su notación es muy simple una matriz se nombra por una letra mayúscula y sus

elementos, una vez distribuidos en las filas y columnas respectivas, se encierran con

corchetes o con paréntesis

Una de las principales aplicaciones de las matrices es la representación de

sistemas de ecuaciones de primer grado con varias incógnitas. Estas operaciones

con matrices con lleva varias operaciones escalares de A y B que llevan a la

Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entones cA es matriz.

Asociatividad: ( cd ) A = c(dA)

Elemento neutro: 1 ∙A= A Distributividad :

De escalar : = De matriz: =


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Biografía Virtual

http://ocw.upm.es/algebra/algebra-y-geometria/contenidos/examenes/ex-sistemas.pdf

http://fpatorrevieja.edu.gva.es/deptcien/Acc25Mat/03_Algebra_de_matrices.pdf

http://www2.eco.uva.es/lmeneses/Guia_de_Trabajo/Esquemas_teoricos/tema3.pdf

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0289-02/ed99-0289-02.html

http://campusvirtual.unex.es/ebooks/files/file/MME.pdf
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Teoria y Problemas de Matrices y Determinantes Ccesa007

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