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Osc. Ondas y Termodinámica
OSCILACIONES, ONDAS Y TERMODINÁMICA
MÓDULO 1: OSCILACIONES
Figuras cedidas en parte por W.H. Freeman/Worth, que pertenecen al libro “Física, 4a. Ed.”, P.A. Tipler, Ed. Reverté
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado.
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando sobre un oscilador actúa una fuerza periódica Muchas veces interesa forzar la oscilación (sino se detendría)
Lección 3: Movimiento armónico forzado
http://www.youtube.com/watch?v=17tqXgvCN0E
http://www.youtube.com/watch?v=6fMYqAmVGzU
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
Fel =− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
Fosc = F0 cos t
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k x
Fosc = F0 cos t
v
• Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω
0
2 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
3.1 Ec. diferencial de las oscilaciones forzadas.
Supongamos ahora un cuerpo sometido a tres fuerzas; una fuerza elástica, un rozamiento viscoso y una fuerza oscilante:
F r =− b v
Fel =− k xLa 2da ley de Newton queda:
∑ F =− k x − b x F0 cos t = m x
x bm
x km
x =F0
mcos t
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Es una ecuación diferencialde segundo orden, lineal, a coeficientes constantes y no homogénea.
Donde: β = b/2m es el parámetro de amortig.. ω
0
2 =k/m es la frecuencia angular natural
del oscilador al cuadrado. ω : es la frecuencia angular de la fuerza oscilante
Ec. diferencial de lasoscilaciones forzadas
Fosc = F0 cos t • Es una expresión sencilla• Se puede generar fácilmente
v
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
x t =A e−t cos1 t
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
x t =A e−t cos1 t
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
x t = A cos t−
Probaremos con:
x t =A e−t cos1 t
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
x t = A cos t−
Probaremos con:
x t =A e−t cos1 t
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
x t = A cos t−
Probaremos con:
x t =A e−t cos1 t
+
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Busquemos la solución de la Ec. diferencial:
De la teoría de ecuaciones diferenciales sabemos:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x 2 x 02 x = 0
x t = A cos t−
Probaremos con:
x t =A e−t cos1 t
Estado transitorio
Estado estacionario
+
Solución de laec. diferencialhomogénea
Solución particularde la ec. diferencialno homogenea
Solución generalde la ec. diferencialno homogénea
= +
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Estado transitorio
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Estado transitorio
Estado estacionario
x t = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Estado transitorio
Estado estacionario
x t = A cos t−
• El estado transitorio es muy complejo.
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Estado transitorio
Estado estacionario
x t = A cos t−
• El estado transitorio es muy complejo.
• Transcurrido un tiempo el estado transitorio desaparece y queda sólo el MAS estacionario.
t ≈ 5
Osc. Ondas y Termodinámica
Estado transitorio y estado estacionario.
3.2 Solución de la ecuación diferencial
+
Estado transitorio
Estado estacionario
x t = A cos t−
• El estado transitorio es muy complejo.
• Transcurrido un tiempo el estado transitorio desaparece y queda sólo el MAS estacionario.
• La frecuencia del MAS estacionario es la misma que la de la fuerza oscilante.
t ≈ 5
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x t = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=
F0
mcos t
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=
F0
mcos t
cos t−=cos t cos sin t sin
sin t−=sin t cos−cos t sin
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=
F0
mcos t
usando: cos t−=cos t cos sin t sin
sin t−=sin t cos−cos t sin se llega a:
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
sin t A {02−2sin −2cos } cos t {A 0
2−2cos2 A sin −F0
m }= 0
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=
F0
mcos t
usando: cos t−=cos t cos sin t sin
sin t−=sin t cos−cos t sin se llega a:
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Para poder cumplir esta ecuaciónen todo tiempo, lo que apareceentre corchetes debe ser nulo
sin t A {02−2sin −2cos } cos t {A 0
2−2cos2 A sin −F0
m }= 0
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=
F0
mcos t
usando: cos t−=cos t cos sin t sin
sin t−=sin t cos−cos t sin se llega a:
tan =2
02−
2
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Para poder cumplir esta ecuaciónen todo tiempo, lo que apareceentre corchetes debe ser nuloFase inicial del mov.
es el desfase entre F y x
sin t A {02−2sin −2cos } cos t {A 0
2−2cos2 A sin −F0
m }= 0
Osc. Ondas y Termodinámica
La solución estacionaria del movimiento es:
3.2 Solución de la ecuación diferencial
x 2 x 02 x =
F0
mcos t
x t = A cos t−
x = A cos t−
x =−A sin t−
x =−A ² cos t−
x =−A ² cos t− 2[−A sin t−] 02 [A cos t−]=
F0
mcos t
usando: cos t−=cos t cos sin t sin
sin t−=sin t cos−cos t sin se llega a:
tan =2
02−
2 A=F0 /m
02−22422
Encontramos A y δ sustituyendo en la ec. diferencial.
Para poder cumplir esta ecuaciónen todo tiempo, lo que apareceentre corchetes debe ser nuloFase inicial del mov.
es el desfase entre F y x Amplitud del mov.
sin t A {02−2sin −2cos } cos t {A 0
2−2cos2 A sin −F0
m }= 0
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU− b v
− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU− b v
− k x
F = md²dt²
x x '
2da ley de Newton
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
F = md²dt²
x x '
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
2da ley de Newton
F = m x md²dt²
acos t
− b v
− k x
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Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
F = md²dt²
x x '
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
2da ley de Newton
F = m x md²dt²
acos t F = m x − m a2 cos t Fuerza de la máquina sobre m
− b v
− k x
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Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
F = md²dt²
x x '
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
Por la 3ra ley de Newton, sobre Mm actúa una fuerza:
2da ley de Newton
F = m x md²dt²
acos t F = m x − m a2 cos t Fuerza de la máquina sobre m
−F =− m x m a2 cos t Fuerza de m sobre Mm
− b v
− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
F = md²dt²
x x '
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
Por la 3ra ley de Newton, sobre Mm actúa una fuerza:
2da ley de Newton
F = m x md²dt²
acos t F = m x − m a2 cos t Fuerza de la máquina sobre m
Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de Mm es:
∑ F =− k x − b x [− m x m a2 cos t ] = M−m x
−F =− m x m a2 cos t Fuerza de m sobre Mm
− b v
− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
F = md²dt²
x x '
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
Por la 3ra ley de Newton, sobre Mm actúa una fuerza:
2da ley de Newton
F = m x md²dt²
acos t F = m x − m a2 cos t Fuerza de la máquina sobre m
Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de Mm es:
∑ F =− k x − b x [− m x m a2 cos t ] = M−m x
−F =− m x m a2 cos t Fuerza de m sobre Mm
− b v
− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
Ocurre cuando en una máquina hay algún elemento que gira y no está equlibrado (un motor, ruedas del coche, ... ).
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
F = md²dt²
x x '
La máquina, de masa total M, realiza una fuerza F sobre m:
Es equivalente a una masa m que realiza un MCU
Por la 3ra ley de Newton, sobre Mm actúa una fuerza:
2da ley de Newton
F = m x md²dt²
acos t F = m x − m a2 cos t Fuerza de la máquina sobre m
Y finalmente, la ec. diferencial del movimiento de Mm es:
∑ F =− k x − b x [− m x m a2 cos t ] = M−m x
−F =− m x m a2 cos t
x bM
x kM
x =m a2
Mcos t
Fuerza de m sobre Mm
• Es una oscilación forzada con
• M es la masa total de la máquina• m es la masa del rotor descentrado
F0 = m a2
− b v
− k x
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ejercicio (prob. 27): después de colocar un motor eléctrico de masa m=18kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona un Δx=6mm. Determinar:
a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el sistema no entre en resonancia.
b) Si el rotor del motor tiene una masa M=8kg y está descentrado una distancia a=0.5cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω
0)
Solución:
= 386 rpm A = 1.03 cm
Osc. Ondas y Termodinámica
3.3 Ejemplo: 'Máquinas giratorias'
Ejercicio (prob. 27): después de colocar un motor eléctrico de masa m=18kg sobre una viga horizontal, ésta se flexiona un Δx=6mm. Determinar:
a) Velocidad angular (en rpm) que debemos evitar para que el sistema no entre en resonancia.
b) Si el rotor del motor tiene una masa M=8kg y está descentrado una distancia a=0.5cm, ¿qué amplitud tendrán las oscilaciones de la viga cuando el motor gire a 350 rpm? (suponer β << ω
0)
Solución:
= 386 rpm A = 1.03 cm
F0 = m a2
A=F0 /m
02−22422
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia absorbida por el oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero∞
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
∞
0
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo
∞
0
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
∞
0
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
F 0
k
∞
0
A
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
F 0
k
∞
0
A
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
D2 = 02−22 4 22
F 0
k
∞
0
A
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
D2 = 02−22 4 22
d D2
d=−20
2−
22 82
= 0
F 0
k
∞
0
A
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
D2 = 02−22 4 22
d D2
d=−20
2−
22 82
= 0
−02−2 22 = 0
F 0
k
∞
0
A
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
D2 = 02−22 4 22
d D2
d=−20
2−
22 82
= 0
−02−2 22 = 0
max = 02 − 22
F 0
k
∞
0
A
Osc. Ondas y Termodinámica
Analicemos la ecuación que nos da la amplitud del movimiento
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
A=F0 /m
02−22422
• Para tiende a cero• Para tiende a F
0 /mω
02=F
0/k
• Tiene que existir un máximo cuando el denominador (o su cuadrado) se hace mínimo• Si β disminuye, el máximo debe crecer
Buscamos la ω que hace máxima A:
D2 = 02−22 4 22
d D2
d=−20
2−
22 82
= 0
−02−2 22 = 0
max = 02 − 22
F 0
k
∞
0
A
• Frecuencia para la que A es máxima. (resonancia en amplitud)• Si ≪0 max≈0
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
є
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
= −
2
siendo є
v t = A cos t−
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
= −
2
siendo є
• є es el desfase entre F y vv t = A cos t−
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
Ver que además se cumple:
tan = tan −
2
= −
2
siendo є
• є es el desfase entre F y vv t = A cos t−
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
Ver que además se cumple:
tan = tan −2 =−
1tan
= −
2
siendo є
• є es el desfase entre F y vv t = A cos t−
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
Ver que además se cumple:
tan =2
02−2
tan = tan −2 =−
1tan
tan =
2−0
2
2
= −
2• є es el desfase entre F y v
siendo є
v t = A cos t−
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
Ver que además se cumple:
tan =2
02−2
tan = tan −2 =−
1tan
tan =
2−0
2
2
= −
2• є es el desfase entre F y v
siendo є
v t = A cos t−
Velocidad del MAF
Osc. Ondas y Termodinámica
Para la velocidad del MAF tenemos:
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
x t = A cos t−
v t =dxdt
=− A sin t−
v t = A cos t−
−sin a =cos a/2
−sin t− =cos t − −/2
Ver que además se cumple:
tan =2
02−2
tan = tan −2 =−
1tan
tan =
2−0
2
2
= −
2• є es el desfase entre F y v• є es cero si ω = ω
0Velocidad del MAF
siendo є
Osc. Ondas y Termodinámica
v t = A cos t−
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
Z = m 02−
22
42
Definimos: Impedancia del oscilador
v0
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
Z = m 02−
22
42 Z = m
2−
k
2
b2
ejercicio: 02=
km
, 2=bm
Definimos: Impedancia del oscilador
v0
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
Z = m 02−
22
42 Z = m
2−
k
2
b2
ejercicio: 02=
km
, 2=bm
v0 =F0
Z
Definimos: Impedancia del oscilador
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
Z = m 02−
22
42 Z = m
2−
k
2
b2
ejercicio: 02=
km
, 2=bm
v0 =F0
Z
Definimos: Impedancia del oscilador
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
Z = m 02−
22
42 Z = m
2−
k
2
b2
ejercicio: 02=
km
, 2=bm
v0 =F0
Z
Definimos: Impedancia del oscilador
Z Tiene un mínimo para ω=ω
0 (Z
min= b)
Además se cumple:
ejercicio
v t = A cos t−v0
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
E =12
m v02
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
v t = A cos t−
La energía del MAF se puede analizar a partir de la v2max
(v20)
v0 = A=F0
m02−
2
242
2
v0 =F0
m 02−
22
42
v02≈
1
Z2E
Z = m 02−
22
42 Z = m
2−
k
2
b2
ejercicio: 02=
km
, 2=bm
v0 =F0
Z
Definimos: Impedancia del oscilador
E =12
m v02
v0 es máximo
cuando =0v0
Z Tiene un mínimo para ω=ω
0 (Z
min= b)
Además se cumple:
ejercicio
v t = A cos t−v0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
= 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
v =F 0
Zcos t−
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
A=F0 /m
02−
2
24 2
2
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos 0 t−
2
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos 0 t−
2 F = F0 cos0 t
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos 0 t−
2 F = F0 cos0 t F
Representación fasorial
Resonancia
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos 0 t−
2 F = F0 cos0 t
v
F
Representación fasorial
Resonancia
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos 0 t−
2 F = F0 cos0 t
v
xF
Representación fasorial
Resonancia
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos0 t−
2 F = F0 cos0 t
F
Representación fasorial
Noresonancia
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos0 t−
2 F = F0 cos0 t
x
F
Representación fasorial
Noresonancia
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
3.4 Resonancia en amplitud y energía.
Resonancia (en energía)
Z = m 02−22
42 = 0
En resonancia se cumple:
Decimos que un oscilador armónico forzadoestá en resonancia si oscila a la frecuenciapara la que éste tiene la máxima energía
ω de la fuerza impulsora = ω0
Z = m2= b
tan =2
02−
2 =∞=
2 = −
2 = 0
v =F 0
Zcos t− v =
F0
bcos0 t
x = A cos t−
A=F0 /m
02−
2
24 2
2A=
F0
m20
=F0
b0
x =F0
b0
cos0 t−
2 F = F0 cos0 t
v
x
F
Representación fasorial
2−=−
Noresonancia
v02≈
1
Z2E
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio: un objeto de masa m=2kg oscila sujeto a un muelle de constante k=800 N/m y con un parámetro de amortiguamiento β=0.1 s-1. Si aplicamos al sistema una fuerza oscilante F(t)=25cos(10t) (en unidades SI.), calcular:
La amplitud, velocidad máxima, frecuencia de resonancia y desfase entre x y F:
Solución: A=0.042m v
0=0.42 m/s
ωRES
= 20 rad/s
δ=6.67 · 10 -3 rad
Z = m 02−
22
42
tan =2
02−
2
= −
2
x = A cos t−
A=F0 /m
02−22422
Z = m2−
k
2
b2
v0 = A =F0
Z
F = F 0 cos t
= 2 =0
Q
⟨Ps⟩ =F 0
2 b
2Z2
v = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
Módulo 1: Oscilaciones
Lección 1. Movimiento Armónico Simple (MAS o MHS)
1.1 Cinemática del MAS.1.2 Fuerza elástica. Dinámica del MAS.1.3 Ejemplos de MAS.
(masa-muelle, péndulos, sistemas de muelles, ...)
1.4 Energía potencial elástica.1.5 Oscilaciones alrededor de un mínimo
de energía potencial.1.6 Método de la conservación de E.
Lección 2. Oscilaciones amortiguadas
2.1 Fuerza de fricción viscosa.2.2 Ec. diferencial de las osc. amort.2.3 Oscilaciones débilmente amortiguadas.2.4 Energía de las oscilaciones
amortiguadas. Factor de calidad.2.5 Amortiguamiento crítico y
sobreamortiguamiento.
Lección 3. Movimiento Armónico Forzado
3.1 Oscilaciones forzadas. Ec. diferencial.3.2 Solución de la ecuación diferencial.
Estados transitorio y estacionario. 3.3 Ejemplo: máquinas giratorias.
3.4 Resonancia en amplitud y energía. Impedancia del oscilador.
3.5 Potencia suministrada al oscilador.3.6 Factor de calidad y anchura
de la resonancia.
Lección 4. Superposición de varios MAS
4.1 Principio de superposición. Representación fasorial.
4.2 Superposición de dos MAS: Igual dirección y frecuencia.
4.3 Superposición de dos MAS: Igual dirección diferente frecuencia.
4.4 Superposición de dos MAS de direcciones perpendiculares.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia suministrada al oscilador:
Ps = F⋅v
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F0 cos t ⋅F0
Zcos t−
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F0 cos t ⋅F0
Zcos t−
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
P s =F0
2
Zcos cos2
t sin cos t sin t
cosa−b = cos acosb sin asin b
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F0 cos t ⋅F0
Zcos t−
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
P s =F0
2
Zcos cos2
t sin cos t sin t
P s =F0
2
Z cos1cos2 t
2 sin
12
sin 2 t
cosa−b = cos acosb sin asin b
cos2a=1cos2a
2
sin 2a =2 sin a cosa
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F0 cos t ⋅F0
Zcos t−
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
P s =F0
2
Zcos cos2
t sin cos t sin t
P s =F0
2
Z cos1cos2 t
2 sin
12
sin 2 t P s =
F02
2 Zcos cos cos2 t sin sin 2 t
cosa−b = cos acosb sin asin b
cos2a=1cos2a
2
sin 2a =2 sin a cosa
Osc. Ondas y Termodinámica
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia suministrada al oscilador:
P s = F⋅v = F0 cos t ⋅F0
Zcos t−
• En el estado estacionario la energía del oscilador es cte.
• La Froz
disipa toda la potencia de la fuerza impulsora
P s =F0
2
Zcos cos2
t sin cos t sin t
P s =F0
2
Z cos1cos2 t
2 sin
12
sin 2 t P s =
F02
2 Zcos cos cos2 t sin sin 2 t
P s =F0
2
2 Zcos cos 2 t−
cosa−b = cos acosb sin asin b
cos2a=1cos2a
2
sin 2a =2 sin a cosa
Potencia suministrada aloscilador por unidad de tiempo
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
⟨Ps⟩ =
2
F02
2 Z [∫0
2/
cos dt ∫0
2/
cos2 t− dt ]
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
⟨Ps⟩ =
2
F02
2 Z [∫0
2/
cos dt ∫0
2/
cos2 t− dt ]
⟨Ps⟩ =
2
F02 cos
2 Z∫0
2/
dt
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
⟨Ps⟩ =
2
F02
2 Z [∫0
2/
cos dt ∫0
2/
cos2 t− dt ]
⟨Ps⟩ =
2
F02 cos
2 Z∫0
2/
dt
⟨Ps⟩ =F0
2 cos
2 Z
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
⟨Ps⟩ =
2
F02
2 Z [∫0
2/
cos dt ∫0
2/
cos2 t− dt ]
⟨Ps⟩ =
2
F02 cos
2 Z∫0
2/
dt
⟨Ps⟩ =F0
2 cos
2 Z
⟨Ps⟩ =F0
2 b
2Z2
cos = b /Z
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia promedio
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
⟨Ps⟩ =
2
F02
2 Z [∫0
2/
cos dt ∫0
2/
cos2 t− dt ]
⟨Ps⟩ =
2
F02 cos
2 Z∫0
2/
dt
⟨Ps⟩ =F0
2 cos
2 Z
⟨Ps⟩
El comportamiento de <Ps>
es similar al de la E
⟨Ps⟩ =F0
2 b
2Z2
cos = b /Z
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
Potencia promedio
Osc. Ondas y Termodinámica
La magnitud realmente interesante es la Potencia promedio suministrada al oscilador:
⟨Ps⟩ =1T∫0
2/ F02
2 Zcos cos 2 t− dt
⟨Ps⟩ =
2
F02
2 Z [∫0
2/
cos dt ∫0
2/
cos2 t− dt ]
⟨Ps⟩ =
2
F02 cos
2 Z∫0
2/
dt
⟨Ps⟩ =F0
2 cos
2 Z
Z = b , =0
⟨Ps⟩ =12
F02
b
⟨Ps⟩
El comportamiento de <Ps>
es similar al de la E
⟨Ps⟩ =F0
2 b
2Z2
cos = b /Z
3.5 Potencia suministrada al oscilador.
En resonancia es máxima⟨Ps⟩
Potencia promedio
Osc. Ondas y Termodinámica
Podemos representar normalizada.
3.6 Anchura de la resonancia.
⟨Ps⟩
es máxima
⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
estará normalizada
Osc. Ondas y Termodinámica
Podemos representar normalizada.
3.6 Anchura de la resonancia.
⟨Ps⟩
es máxima
⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
estará normalizada
Osc. Ondas y Termodinámica
Podemos representar normalizada.
3.6 Anchura de la resonancia.
⟨Ps⟩
es máxima
⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
estará normalizada
A medida que disminuye β la resonancia se hace más 'estrecha'
Osc. Ondas y Termodinámica
Podemos representar normalizada.
3.6 Anchura de la resonancia.
⟨Ps⟩
es máxima
⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
estará normalizada
A medida que disminuye β la resonancia se hace más 'estrecha'
Anchura de la resonancia
Es la anchura del pico para ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
= 0.5
Osc. Ondas y Termodinámica
Podemos representar normalizada.
3.6 Anchura de la resonancia.
⟨Ps⟩
es máxima
⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
estará normalizada
A medida que disminuye β la resonancia se hace más 'estrecha'
Anchura de la resonancia
Es la anchura del pico para ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
= 0.5
= 2 − 1
21
Osc. Ondas y Termodinámica
Podemos representar normalizada.
3.6 Anchura de la resonancia.
⟨Ps⟩
es máxima
⟨Ps ⟩RES ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
estará normalizada
A medida que disminuye β la resonancia se hace más 'estrecha'
Anchura de la resonancia
Es la anchura del pico para ⟨Ps⟩
⟨Ps⟩RES
= 0.5
= 2 − 1
= 2=0
Q
Donde Q es el factor de calidad del oscilador
Q =0
2Se puede demostrar si β<<ω
0
21
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Ejercicio: un objeto de masa m=2kg oscila sujeto a un muelle de constante k=800 N/m y con un parámetro de amortiguamiento β=0.1 s-1. Si aplicamos al sistema una fuerza oscilante F(t)=25cos(10t) (en unidades SI.), calcular:
La amplitud, velocidad máxima, frecuencia de resonancia, desfase entre x y F, factor de calidad y anchura de la resonancia:
Solución: A=0.042m v
0=0.42 m/s
ωRES
= 20 rad/s
δ=6.67 · 10 -3 rad Q=100 Δω=0.2 rad
Z = m 02−
22
42
tan =2
02−
2
= −
2
x = A cos t−
A=F0 /m
02−22422
Z = m2−
k
2
b2
v0 = A =F0
Z
F = F 0 cos t
= 2 =0
Q
⟨Ps⟩ =F 0
2 b
2Z2
v = A cos t−
Osc. Ondas y Termodinámica
Ejercicios
Solución: F
0=6.55 · 10 -4 N
<Ps>=3.6 · 10 -5 W
Z = m 02−
22
42
tan =2
02−
2
= −
2
v = A cos t−
x = A cos t−
A=F0 /m
02−22422
Z = m2−
k
2
b2
v0 = A =F0
Z
F = F 0 cos t
= 2 =0
Q
⟨Ps⟩ =F 0
2 b
2Z2
Ejercicio: un péndulo simple está formado por una masa m=3kg y un cuerda de longitud l=1m. El sistema está amortiguado siendo β=0.001 s-1. Si queremos mantener el péndulo oscilando con su frecuencia natural y con una amplitud de de 2º, determinar el valor F
0 de la fuerza oscilante que debemos aplicar y la potencia disipada
por el sistema.
Osc. Ondas y Termodinámica
Cuestiones (contesta razonadamente).
1. En régimen estacionario de un oscilador forzado, la energía perdida por el amortiguamiento es igual a la introducida por la fuerza oscilante.
2. La potencia media suministrada a un oscilador forzado decae exponencialmente con el tiempo.
3. El hecho de romper una copa de vidrio por la acción del sonido es un ejemplo de oscilador resonante.
4. Si ω0 < β la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado será mayor
que ω0.
5. Después de un periodo transitorio, la frecuencia de oscilación de un oscilador forzado es
6. Las unidades del factor de calidad de un oscilador son las mismas que la de la frecuencia angular.
7. En el estado estacionario, si ω tiende a ω0 el desfase entre la fuerza
impulsora y la velocidad tiende a cero.
02−2
Osc. Ondas y Termodinámica
Osc. Ondas y Termodinámica
5.1. Conceptos básicos
Vector velocidad
● La velocidad nos indica cómo cambia la posición de la partícula dividido entre en el tiempo empleado
● En una dimensión:
x
y
z
x
r t
r t =x t i y t jz t k
i
j
k