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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
( Universidad del Per´ u, DECANA DE AM ERICA)FACULTAD DE QUIMICA E INGENIERIA QUIMICA
Curso : Geometrıa Anal ıtica y Calculo II Prof.: Teodoro Sulca P.Practica Dirigida #9
1. Sea z = f (x, y) donde x = s4 + r4 , y = 2rs2. Calcula ∂z
∂x(2, 2) y
∂z
∂y(2, 2), siendo
∂z
∂r(1, 1) = −2 y
∂z
∂s(1, 1) = 3.
2. Sea u = x4
y + y2
z3
+ ϕ(x/y), donde x = 1 + rser
, y = rs2
e−t
, z = r2
s sen t . Calcular
∂u
∂s cuandor = 2, s = 1, t = 0, sabiendo que ϕ′(3/2) = −1.
3. Sea z = f (x, y) y consideremos x = u2 + v2 , y = u/v . Calcular las derivadas parciales de z respecto delas nuevas variables u y v en funcion de las derivadas parciales de z respecto de x e y .
4. ¿En que puntos de la superficie −2x2 + 64x− 4y2 + 64y + z2− 768 = 0 no esta definido el plano tangente?
5. Supongamos que la igualdad F (x,y,z) = 0 determina implicitamente funciones diferenciables x = x(y, z) ; y =
y(x, z) ; z = z(x, y). Probar que ∂x
∂y
∂y
∂z
∂z
∂x = −1.
6. Se supone que las igualdades x2 + y2 + z3 = 3 y x2 + 3xy − 2z = 0, definen funciones implicitas y =y(x), z = z(x) tales que y(1) = −1, z (1) = 1. Calcular el limite
lımx→1
y(x) + z(x)
x − 1 .
7. Demostrar que en xy + z + 3xz5 = 4 se puede despejar z en funcion de x e y cerca de (1, 0, 1). Calcular∂z/∂x y ∂z/∂y en (1, 0).
8. Determine los puntos crıticos de f mediante el metodo de multiplicadores de Lagrange (Optimizacion conrestricciones de igualdad). Hallar los valores extremos de f
a ) f (x, y) = x2 + y2 − 3xy ; 2x + 3y = 31
b) f (x, y) = 3x + 2y ; x2 + y2 = 13
c ) f (x, y) = x2 + 12xy + 2y2 ; 4x2 + y2 = 25
d ) f (x, y) = x + y ; x2 + y2 − 2 = 0
e ) f (x,y,z) = x2 + y2 + z2 ; 2x + 3y + 4z = 29
f ) f (x,y,z) = ln(xyz) ; x2 + y2 + z2 = 4
g ) f (x,y,z) = 2−3x2−y2−z2−7y ; 5x−y+z = 8
h ) f (x, y) = x2 + 2y2 − xy; 2x + y = 2
i ) f (x, y) = xy ; x2 + y2 = 1
j ) f (x, y) = ln(xy2); 2x2 + 3y2 = 8
k ) f (x, y) = 2x2 + 4y2 − 3xy − 2x − 23y + 3;x + y = 15
9. Una companıa planea gastar $ 1000 en publicidad. Un minuto de publicidad en la T.V. cuesta $300 y unminuto de publicidad en la radio cuesta $100 . Si la empresa compra x minutos de TV e y minutos en laradio, estima que su ingreso en miles de dolares esta dado por la siguiente funcion f (x, y) = −2x2 − y2 +xy + 8x + 3y ¿Como puede la empresa maximizar su ingreso?
10. Una persona gasta $ 20 en la compra de una hora de trabajo y $ 10 por la compra de una unidad de capital.Si dispone de L horas de trabajo y de K unidades de capital se podran producir L2/3K 1/3 maquinas. Sidispone de $ 1000 para invertir en la compra de trabajo y capital ¿cual es el numero maximo de maquinas
que se podran producir? ¿Cual es la estrategia de costo mınimo para producir 6 maquinas?
11. Hallar la distancia mas corta del punto (0, b) a la parabola x2 − 4y = 0. Resolver este problema por elmetodo de Lagrange y tambien sin usar este metodo.
12. Demostrar que el volumen del mayor paralelepipedo rectangular que se puede inscribir en el elipsoidex2
a2 +
y2
b2 +
z2
c2 = 1 es
8abc
3√
3.
13. Una caja rectangular sin tapa tiene una superficie de 16 m2. Hallar las dimensiones que maximizan suvolumen.
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14. Se va a adornar un espejo rectangular que tiene un area de A cm2, a lo largo de sus bordes. Si los adornosa lo largo de los lados horizontales cuestan p soles por centımetro y los de los lados verticales q soles porcentımetro, hallar las dimensiones que minimizarıan el costo total.
15. Hallar los extremos absolutos de las funciones f dadas en las regiones cerradas y acotadas siguientes
a ) f (x, y) = x3
3 − x2
2 + 2x + y2 − 2y + 1, en la region K = {(x, y) ; x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}
b) f (x, y) = x + y, en la region K = {(x, y) ; −1 ≤ x ≤ 1 , −1 ≤ y ≤ 1}c ) f (x, y) = 3x2 + 5y2, en la region K = {(x, y) ; 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1}d ) f (x, y) = x2 + x + y2 + y, en la region K =
(x, y) ; x2 + y2 ≤ 1
e ) f (x, y) = (x
−1)2 + (y
−1)2 + (z
−1)2, en la region K = (x, y) ; x2 + y2 + z2
≤ 12
16. Calcular las siguientes integrales iteradas
a )
10
2xx
(2 + x2 + y2) dy dx
b)
π/20
1−1
x2y2 dxdy
c )
10
xx2
(1 − xy) dy dx
d )
20
x0
ex+y dydx
e ) π0
sen x0
y dy dx
f )
10
y2+1
y
x2ydxdy
g )
π/20
y0
sen y
y dxdy
h )
π/20
cos y0
x2 sen y dx dy
i )
21
2x0
xy3 dy dx
j ) 10
yy2
yx dxdy
k )
10
3x2x
ex+y dy dx
l )
20
3ex2√ 4−x2
x dy dx
m )
ln 80
ln y0
ex+y dy dx
n ) 10
2xx
xy2 x3 + y3 dy dx
17. Calcular
D f (x, y) dA para cada uno de los siguientes casos
a ) f (x, y) = 2x D es la region limitada por 4y = x2, x − 2y + 4 = 0
b) f (x, y) = x, D =
(x, y) ∈ R2 / 0 ≤ x ≤
4 − y2, 0 ≤ y ≤ 2
c ) f (x, y) = 2y−1
x2−1, D limitado por y = 4 − x2, y = 0.
d ) f (x, y) = 2x − y , D es la region sobre y = |x − 1| y debajo de y = 4 − |x| .18. Calcular las siguientes integrales cambiando el orden de integracion
a ) 2
0 4
2y ex
2
dxdy
b) 10
1y
sen(x2) dxdy
c ) 20
2x
x
1 + y3 dy dx
d ) 20
2x
e−y2
dy dx
e ) 10
1y sen x2 dy dx
f ) 20
4y2
√ x sen x dy dx
g ) 1
0 2
0 dy dx
h )
21
42
dxdy
i )
10
√ 1−y2
−√
1−y2
dxdy
j )
20
1x/2
dy dx
k ) 4
0 2
√ x dy dx
l )
10
3√ yy2
dxdy
m )
2−2
4−y2
0
dxdy
n ) 10
arc cos x
0 esen y dy dx considerar D =
(x, y) / 0 ≤ x ≤ cos y , 0 ≤ y ≤ π
2
19. Calcule el volumen del solido limitado superiormente por el paraboloide z = 4 − x2 − 2y2 e inferiormente
por el plano X Y .
20. Calcule el volumen del solido limitado por la parte del cilindro x2 + y2 = 16 para x ≥ 0, y ≥ 0 los planoscoordenados y el plano 2y + 2z − x = 8 .
21. Hallar el volumen de la region limitada por el cilindro x2 + z = 1 y por los planos x + y = 1, y = 0 yz = 0.
22. Determine el volumen de la region localizada en el primer octante bajo la superficie z = xy y sobre elplano X Y que se encuentra dentro de la circunferencia x2 + y2 = 1 , y a la derecha de la recta x + y = 1 .
23. Mostrar que el volumen V del solido limitado por la grafica de la ecuacion
xa +
yb +
zc = 1 y los
planos coordenados esta dado por V = abc90
.