Matemáticas Discretas

LOGICA PROPOSICIONAL

Matemáticas Discretas

� Estudio de objetos discretos

� Habilidad para razonar y argumentar� Base otras áreas en computación

� Bases de datos� Lenguajes formales� Inteligencia Artificial� Procesamiento Lenguaje natural� Especificación formal de programas� Web semántica..

Lógica

� Base razonamiento matemático

� Argumentación� Reglas para dar significado preciso a enunciados

� Base construcción argumentos válidos� Aplicaciones variadas(diseño circuitos lógicos,

verificación de programas, etc.)

Razonamiento lógico

Todos los matemáticos utilizan sandalias

Cualquier persona que utilice sandalias es algebrista

Por lo tanto, todos los matemáticos son algebristas.

Lógica

� Proposición

� Notación: p,q,r,...

� Constantes proposicionales: v,f

� Valor de verdad (V, F)

� Operadores (conectivos) lógicos

� Fórmulas simples y compuestas

� Precedencia de operadores lógicos

Lógica Proposicional

Ejemplos de proposiciones

Bogotá es la capital de Colombia

Lima es la capital de Perú

2 + 2 = 5

Lógica Proposicional

Ejemplos afirmaciones no proposiciones

¿Qué hora es?

Mañana lloverá

Lógica Proposicional

Indique cuáles de las siguientes expresiones son proposiciones

x + 1 = 7

11 es un número primo

Andrés vivirá 60 años

Sara es inteligente

Lógica Proposicional

Representación: letras del alfabeto

q: Bogotá es la capital de Colombia

r: Lima es la capital de Perú

p: 2 + 2 = 5

Cada proposición tiene un valor de verdad, e indica si ésta es Verdadera (V) o Falsa (F)

Lógica Proposicional

El secreto de la longevidad consiste en evitar el estrés

•Hoy es miércoles y la temperatura es de 21º C

•Si no llueve voy a la clase de MD

•No es cierto que Juan perdió el examen

Proposiciones Simples y Compuestas

Sea p: Bogotá es la capital de Colombia,

¬p indica, , Bogotá NO es la capital de Colombia

Cómo son los valores de verdad de p y de ¬p

Negación

Posibles valores de verdad de proposición p se pueden representar en la siguiente tabla

Negación

VF

FV

¬pp

Tabla de verdad para la negación de una proposición

p: Bogotá es la capital de Colombia

q: Washington es la capital de USA

p ∧∧∧∧ q : Bogotá es la capital de Colombia y

Washington es la capital de USA.

Conjunción

Conjunción

Tabla de verdad para la conjunción

FFF

FVF

FFV

VVV

p ∧∧∧∧ qqp

Tabla de verdad para la conjunción

Los Red Sox ganaron la serie mundial y los Yankees fueron eliminados

Ayer el Dólar bajó 5 pesos y el Euro subió 25

En este salón hay más hombres que mujeres y además tienen un buen promedio de calificaciones

Ejemplos

Los estudiantes quienes han visto cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación

En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada

Disyunción

or - inclusivo

Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación

or - exclusivo

En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada

Disyunción

Los estudiantes quienes han visto Cálculo o ITI pueden ver Algoritmia y Programación

OR-inclusivo

?FF

?VF

?FV

?VV

OR-inclusivo

FFF

VVF

VFV

VVV

pvqqp p∨∨∨∨qqp

Tabla de verdad del OR- inclusivo

En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada

OR-Exclusivo

?FF

?VF

?FV

?VV

(p ⊕ q)

En su plato de entrada puede tomar sopa o ensalada

OR-Exclusivo

FFF

VVF

VFV

FVVp ⊕⊕⊕⊕ qqp

Tabla de verdad del OR- exclusivo

Usted puede hacer el examen parcial o el opcional

Aquellas personas de 20 años o más, pueden entrar al concierto

Carlos fue a jugar Béisbol o fue al cine

Hamlet fue escrito en 1601 o en 1688

Sarah quiere a Oscar o a Juan

Simbolización

Considere la siguiente proposición

Si es un día soleado entonces voy a la playa

¿Qué debe ocurrir para que no se cumpla la proposición?

Condicional

Condicional

VFF

VVF

FFV

VVV

p → qqp

Tabla de verdad del Condicional

Recríproca de p → q es la proposición q → p

p: Hoy es martes

q: Tengo un examen hoy

p →q: Si hoy es martes entonces tengo un examen

q →p: Si tengo un examen entonces es martes

Recíproca

Contrapositiva de p → q es la proposición

¬¬ q → ¬¬ p

p: Hoy es martes

q: Tengo un examen hoy

¬¬ q → ¬¬ p: Si NO tengo un examen entonces NO es martes

Contrapositiva

Sean p y q dos proposiciones, el bicondicional p↔↔q es la proposición que es verdadera cuando p y q tiene el mismo valor de verdad

Bicondicional

VFF

FVF

FFV

VVV

p ↔ qqp

Tabla de verdad del Bicondicional

Precedencia Operadores

Bicondicionalp ↔ qSi y solo si↔

Condicionalp → qSi .. Entonces→

Negación¬ pNo¬

Disyunciónp ∨∨∨∨ qO∨∨∨∨

Conjunciónp ∧∧∧∧ qY∧∧∧∧

Nombre en lógica

Proposición Compuesta

SignificadoConectivo

Formalización

� Evita ambiguedad lenguaje natural� Facilita análisis

� Determinación valor de verdad

FormalizaciónEjemplo

Tienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eresestudiante del PAIS

• Identificar frases componentes

• Asignarles variable proposicional• Utilizar conectivos

FormalizaciónTienes una cuenta de correo electrónico en la EISC si estas matriculado en ITI o si eresestudiante del PAIS

� Identificar frases componentes y Asignarles variables proposicionales

• p: tienes una cuenta de correo electrónico en EISC• q: Estas matriculado en ITI• r: Eres estudiante del PAIS

� Utilizar conectivos

(q∨∨∨∨ r) → p

Formalización : ejercicios

� No puedes conducir si eres menor de edad, a no ser que tengas un seguro especial

� No se puede actualizar campos de un registrode la base de datos a menos que tengas un perfil de administrador

Operaciones con bits: aplicación

� Aplicación de lógica digital: Bits y conectivoslógicos

� Construcción de compuertas lógicas

� Bit: dos valores posibles 0 y 1 (Verdadero (V) es 1 y que Falso (F) es 0).

� Variable Booleana: variable cuyo valor puede ser V o F.

� Operaciones con Bits: conectivo lógicos (AND, OR, NOT, XOR)

Aplicación

Cadenas de Bits: sucesión de cero o más bits

operaciones aplicadas a cadenas de bits01101101101100011101

1110111111 Operador ????01000101001010101011

Asignación de valoresde verdad a las

variables proposicionales

Interpretación

Modelo de una fórmula

Una Interpretación I que

satisface la fórmula ϕ es un

MODELO de ϕ

� Tautología (Válidez)

� Contradicción (Insatisfactiblidad)

� Contingencia (Satisfactibilidad)

Tipos de Proposiciones

Validez, Satisfactibilidad

Fórmula válida: si y solo si es verdadera para

todas las interpretaciones.

Fórmula insatisfactible (o inconsistente): si y solo

si es falsa para todas las interpretaciones.

Fórmula no válida: si y solo si hay al menos una

interpretación que la haga falsa

Fórmula satisfactible: si y solo si al menos una

interpretación la hace verdadera

EjercicioClasificar las siguientes proposiciones como Tautología, Contradicción o Contingencia

(¬p ∧∧∧∧ p)

•¬ ( p ∨∨∨∨ (¬ p ∧∧∧∧ q) )

•(¬ p ∨∨∨∨ q) ↔↔ (p →→→→q)

•(¬p ∧∧∧∧ ¬q)

•¬(p ∨∨∨∨ q)

Dos fórmulas ϕ , δ son lógicamente equivalentes si

para toda interpretacióntoman el mismo valor de

verdad

(ϕ ≡ δ)

Equivalencia Lógica

Dos fórmulas ϕ , δ son lógicamente equivalentes si

y solo si

ϕ ↔ δ es una tautología

Equivalencia Lógica

Equivalencia Lógica

VFFF

FVVF

FVFV

FVVV

¬(p ∨∨∨∨ q)p ∨∨∨∨ qqp

Equivalencia Lógica

V

F

V

F

¬q

VVFF

FVVF

FFFV

FFVV

¬p ∧∧∧∧ ¬q¬ p qp

Equivalencia Lógica

Las proposiciones (¬p ∧∧∧∧ ¬q) y ¬(p ∨∨∨∨ q) son entonces lógicamente equivalentes

Dos proposiciones compuestas p y q son

lógicamente equivalentes si p ↔ q es una tautología

EjercicioIndique si las siguientes proposiciones

compuestas son lógicamente equivalentes

• p→q y ¬p ∨∨∨∨ q

• p ∨∨∨∨ (q ∧∧∧∧ r) y (p ∨∨∨∨ q ) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r)

• ¬(p ⊕ q) y p ↔ q

Equivalencia Lógica

p ∧∧∧∧ ¬ p ⇔⇔⇔⇔ F

(p→ q) ⇔⇔⇔⇔ (¬ p ∨∨∨∨ q)

p ∨∨∨∨ v ⇔⇔⇔⇔ V

p ∧∧∧∧ f ⇔⇔⇔⇔ F

p ∧∧∧∧ v ⇔⇔⇔⇔ p

p ∨∨∨∨ f ⇔⇔⇔⇔ p

Equivalencia

Más Equivalencias Lógicas

Doble Negación : p ≡ ¬¬pIdempotencia : p ∧∧∧∧ p ≡ pIdempotencia : p ∨∨∨∨ p ≡ pLey asociativa : p ∧∧∧∧ (q ∧∧∧∧ r) ≡ (p ∧∧∧∧ q) ∧∧∧∧ rLey asociativa : p ∨∨∨∨ (q ∨∨∨∨ r) ≡ (p ∨∨∨∨ q) ∨∨∨∨ rLey de contrarrecíproca : (p → q) ≡ (¬q → ¬p)Ley conmutativa : p ∧∧∧∧ q ≡ q ∧∧∧∧ pLey conmutativa : p ∨∨∨∨ q ≡ q ∨∨∨∨ pLey distributiva :p ∨∨∨∨ ( q ∧∧∧∧ r ) ≡ (p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ r)Ley distributiva :p ∧∧∧∧ ( q ∨∨∨∨ r ) ≡ (p ∧∧∧∧ q) ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ r)

Más Equivalencias Lógicas

Leyes de DeMorgan: ¬(p ∨∨∨∨ q) ≡ ¬p ∧∧∧∧ ¬q¬(p ∧∧∧∧ q) ≡ ¬p ∨∨∨∨ ¬q

Ley de implicación: p → q ≡ ¬p ∨∨∨∨ qLey de cobertura: p ∨∨∨∨ (p ∧∧∧∧ q) ≡ p

p ∧∧∧∧ (p ∨∨∨∨ q) ≡ pLey de contradicción: ¬p ∧∧∧∧ p ≡ F

¬p ∨∨∨∨ p ≡ V

Equivalencia LógicaMuestre que ¬ ( p ∨ (¬ p ∧ q) ) y ¬p ∧ ¬q son

lógicamente equivalentes

�� MMéétodotodo 1:1: Construir una tabla de verdad

�� MMéétodotodo 2:2: Utilizar las equivalencias lógicas

conocidas, y partiendo desde una de las dos

proposiciones lograr deducir la otra

Ejercicio

Partir de ¬( p v (¬ p ∧∧∧∧ q) ) hasta llegar a la

proposición ¬p ∧∧∧∧ ¬q

¬ ( p v (¬ p ∧∧∧∧ q) ) ⇔ ???

Ejercicio

Muestre que (¬p → ¬q) → q es lógicamente

equivalente con (¬ p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ q

Muestre que ( p ∧∧∧∧ q ) → (p ∨∨∨∨ q) es una tautología

Más EjerciciosMuestre que las siguientes proposicionescompuestas son tautologías

(p ∧∧∧∧ q) → p

p → (p ∨∨∨∨ q)

¬p → (p → q)

(p ∧∧∧∧ q) → (p → q)

Sean A y B dos formulas. Se dice B esconsecuencia lógica de A (A ╞ B) si toda

interpretación que hace verdadera a A haceverdadera a B

Consecuencia Lógica

Teorema 1A ╞ B si y solo si A →B es una tautología

Por Ejemplo(¬p ∨ q) ∧ p╞ q dado que (¬p ∨ q) ∧ p → q es

una tautología

Consecuencia Lógica

Ejercicio

Demuestre que (¬p ∨∨∨∨ q) ∧∧∧∧ p → q es una

tautología

Consecuencia Lógica