Post on 26-Jan-2020
PLACAS Y LÁMINAS
Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuos y Teoría de Estructuras
UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID
TEORIA DE PLACAS
Hipótesis de Kirchhoff: 1.- La rectas perpendiculares al plano medio, antes de que el laminado se deforme, siguen permaneciendo rectas una vez que el laminado se haya deformado.2.- Las rectas perpendiculares al plano medio no experimentan ningún tipo de deformación longitudinal (el laminado no cambia de espesor)3.- Las rectas perpendiculares al plano medio permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere dicho plano una vez que que el laminado flecte.
Por tanto, las secciones planas ortogonales al plano medio del laminado siguen siendo planas y ortogonales a la superficie que adquiera dicho plano una vez que el laminado haya flectado.
Hipótesis:
El comportamiento del material se supone elástico lineal.
Las láminas se encuentran trabajando solidariamente unas a otras
No existen tensiones fuera del plano de cada lámina (σz= τxz= τyz=0): las láminas trabajan en condiciones de tensión plana
Hipótesis (Cont.):
TEORIA DE PLACAS
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
NNN
NVector de cargas (N/m):
x
yz
NxNx
Ny
Ny
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
TEORIA DE PLACAS
{ }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
xy
y
x
MMM
MVector de cargas (Momentos, N.m/m):
x
y z
Mx
Mx
My
My
MxyMxy
Myx
Myx
TEORIA DE PLACAS
MM
Plano mediox
yz
z
Laminado antes de flectar
TEORIA DE PLACAS
z
y
x
ρϕM
M
Laminado después de flectar
Plano medio
z
( ) ( )
curvaturaxy) plano elpor (definido medio plano el desde distancia
anterior figura la en definido ángulo flexión la durante medio plano del curvatura de radio
:donde
====
⋅==−+
=
κ
φρ
κρρϕ
ρϕϕρε
z
zzzzx
DEFORMACIONES POR FLEXIÓN PURA
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )yxwzyxwy
wzzyxvzyxv
xwzzyxuzyxu
,,,
,,,,
,,,,
0
00
00
=∂
∂−=
∂∂
−=
TEORIA DE PLACAS
En definitiva, si se cumplen las tres primeras hipótesis de
Kirchhoff:
TEORIA DE PLACAS
2
2
xwz
xu
xu OO
x ∂∂
∂∂
∂∂
ε −==
2
2
ywz
yv
yv OO
y ∂∂
∂∂
∂∂ε −==
yxwz
xv
yu
xv
yu OOOPP
xy ∂∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂γ
2
2−+=+=
CAMPO DE DEFORMACIONES EN EL LAMINADO:
0=zε
0=xzγ
xκ−
yκ−
xyκ−
0=yzγ
x
y z
Mx
Mx
My
My
MxyMxy
Myx
Myx
TEORIA DE PLACAS
x
yz
NxNx
Ny
Ny
Nyx
Nxy
Nyx
Nxy
TEORÍA CLASICA DE LAMINADOS
TEORIA DE PLACAS
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
κ
ε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧ 0
DB
BA
M
N
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
TEORIA DE PLACAS
y z
H
x
a
bq(x,y)
¡En una placa laminada podemos tener cargas fuera del plano!
( )xN yx− ( )xN y
−
( )xQ y−
( )xM yx−
( )xM y−
( )yN xy−
( )yN x−
( )yQ x− ( )yM xy
−
( )yM x−
TEORIA DE PLACAS
y z
( )yN xy+
( )yN x+
( )yQ x+
( )yM xy+
( )yM x+
( )xN yx+
( )xN y+
( )xQ y+
( )xM yx+
( )xM y+
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )yxwzyxw
yxzzyxvzyxvyxzzyxuzyxu
y
x
,,,
,,,,,,,,,,
0
0
0
=
+=
+=
ϕϕ
OTRAS TEORIAS SOBRE LA FLEXIÓN DE LAMINADOS:
Teoría de primer orden: Se cumplen las dos primeras hipótesis
de Kirchhoff pero no la tercera (Las rectas perpendiculares al plano
medio ya no permanecen perpendiculares a la superficie que adquiere
dicho plano una vez que que el laminado flecte)
TEORIA DE PLACAS
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )yxwzyxw
yxzyxzzyxvzyxv
yxzyxzzyxuzyxu
xx
xx
,,,,,,,,,
,,,,,,
0
20
20
=
++=
++=
ψϕ
ψϕ
•Teoría de segundo orden: Se cumple sólo la segunda hipótesis
de Kirchhoff
TEORIA DE PLACAS
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )yxwzyxwy
wyxh
zyxzzyxvzyxv
xwyx
hzyxzzyxuzyxu
yx
xx
,,,
,,,,,,
,,,,,,
0
0
23
0
0
23
0
34
34
=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−++=
ϕϕ
ϕϕ
•Teoría de tercer orden orden (Teoría de Reddy): Se cumple
sólo la segunda hipótesis de Kirchhoff
TEORIA DE PLACAS
TEORIA DE PLACAS
TEORÍA CLÁSICA
TEORÍA DE PRIMER ORDEN
TEORÍA DE TERCER ORDEN
PLACA SIN DEFORMAR
90º
Sección
y z
H
x
a
bq(x,y)
TEORÍA DE PRIMER ORDEN DE PLACAS LAMINADAS
TEORIA DE PLACAS
TEORIA DE PLACAS
HIPÓTESIS ADICIONALES:
Placa delgada (H << a,b):
Pequeñas deflexiones (w(x,y)max< H/2):
xyyxyzxzz τσσττσ ,,,, <<
100 <<∂
∂∂
∂y
wxw ,
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = +a/2
y z
( )yN xy+
( )yN x+
( )yQ x+
( )yM xy+
( )yM x+
TEORIA DE PLACAS
y z
( )yN xy−
( )yN x−
( )yQ x− ( )yM xy
−
( )yM x−
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN x = -a/2
x
TEORIA DE PLACAS
x
( )xN yx+
( )xN y+
( )xQ y+
( )xM yx+
( )xM y+
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= b/2
z
TEORIA DE PLACAS
x
( )xN yx− ( )xN y
−
( )xQ y−
( )xM yx−
( )xM y−
FUERZAS Y MOMENTOS RESULTANTES EN y= -b/2
zy
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:caras lasen normales Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dzzbxxN
dzzbxxN
dzzyayN
dzzyayN
yy
yy
xx
xx
,,
,,
,,
,,
σ
σ
σ
σ
RESULTANTES:
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:plano) el(en caras lasen les tangenciaFuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dzzbxxN
dzzbxxN
dzzyayN
dzzyayN
yxyx
yxyx
xyxy
xyxy
,,
,,
,,
,,
τ
τ
τ
τ
RESULTANTES:
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:caras lasen flectores Momentos
H
H
H
H
H
H
H
H
zdzzbxxM
zdzzbxxM
zdzzyayM
zdzzyayM
yy
yy
xx
xx
,,
,,
,,
,,
σ
σ
σ
σ
MOMENTOS:
TEORIA DE PLACAS
MOMENTOS:
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:caras lasen torsoresMomentos
H
H
H
H
H
H
H
H
zdzzbxxM
zdzzbxxM
zdzzyayM
zdzzyayM
xyyx
xyyx
xyxy
xyxy
,,
,,
,,
,,
τ
τ
τ
τ
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( ) ∫
∫
∫
∫
−
−
−
+
−
−
−
+
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
:plano) del (fuera caras lasen cortantes Fuerzas
H
H
H
H
H
H
H
H
dzzbxxQ
dzzbxxQ
dzzyayQ
dzzyayQ
yzy
yzy
xzx
xzx
,,
,,
,,
,,
τ
τ
τ
τ
FUERZAS CORTANTES
TEORIA DE PLACAS
EQUILIBIO DE UN ELEMENTO
DE PLACA
TEORIA DE PLACAS
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
FUERA DEL PLANO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
=
=
=
∑∑∑
y
x
z
M
M
F
y z
xdx
dy
( )dxdyyxq ,
( )dyQx
dydxx
QQ xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
( )dxQy
dxdyy
QQ y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )yx,
Fuerzas según el eje z:
TEORIA DE PLACAS
0qy
Qx
Q yx =+∂
∂+
∂∂
EQUILIBRIO SEGÚN EL EJE zTEORIA DE PLACAS
dxdyqdxQdyQ
dxdyy
QQdydx
xQQ
F
yx
yy
xx
z
⋅+−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
=∑ 0
y z
xdx
dy
( )dxdyyxq ,
( )dyQx
dydxx
QQ xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
( )dxQy
dxdyy
QQ y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )yx,
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0qy
Qx
Q yx =+∂
∂+
∂∂
y z
xdx
dy
dxdyy
MM y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxQy
dxdyy
QQ y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )yx,
dydxx
MM xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyM xy
( )dxM y
Momentos según el eje x
TEORIA DE PLACAS
y z
xdx
dy
dxdyy
MM y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxQy
dxdyy
QQ y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )y,x
dydxx
MM xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyMxy
( )dxMy
( ) ( )
( ) 022
0
=⋅+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−+
=∑
dydxQdydxdyy
dxdyy
MMdydx
xM
MdyMdyM
M
yy
y
yy
xyxyyxy
x
EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE x
(pasando por el centro
del elemento)
TEORIA DE PLACAS
yxyy Q
xM
yM
=∂
∂+
∂
∂
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) 022
0
=⋅+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−+
=∑
dydxQdydxdyy
dxdyy
MMdydx
xM
MdyMdyM
M
yy
y
yy
xyxyyxy
x
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE x
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0qy
Qx
Q yx =+∂
∂+
∂∂
yxyy Q
xM
yM
=∂
∂+
∂
∂
y z
xdx
dy
( )dyM x
dydxx
QQ xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
( )y,x
( )dxM xy
dydxx
MM xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
dxdyy
MM xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyQx
Momentos según el eje y:
TEORIA DE PLACAS
EQUILIBRIO ALREDEDOR DEL EJE y
(pasando por el centro
del elemento)
TEORIA DE PLACAS
y z
xdx
dy
( )dyMx
dydxx
QQ xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
( )y,x
( )dxMxy
dydxx
MM xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
dxdyy
MM xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyQx
( ) ( )
( ) 022
0
=⋅−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++−−
=∑
dxdyQdxdydxx
dydxx
MMdxdyy
MMdyMdxM
M
xx
x
xx
xyxyxxy
y
xxyx Q
yM
xM
=∂
∂+
∂∂
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
( ) 022
0
=⋅−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+−
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++−−
=∑
dxdyQdxdydxx
dydxx
MMdxdyy
MMdyMdxM
M
xx
x
xx
xyxyxxy
y
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE y
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
0qy
Qx
Q yx =+∂
∂+
∂∂
yxyy Q
xM
yM
=∂
∂+
∂
∂
xxyx Q
yM
xM
=∂
∂+
∂∂
)(
)(
)(
3
2
10
yM
xMQ
xM
yM
Q
qy
Qx
Q
xyxx
xyyy
yx
∂
∂+
∂∂
=
∂
∂+
∂
∂=
=+∂
∂+
∂∂
RESUMEN DE ECUACIONES DE EQUILIBRIO (Fuera del plano):
TEORIA DE PLACAS
0=+∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
∂+
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
∂q
yx
My
M
xy
Mx
M xyyxyx
Si, en la primera de las ecuaciones anteriores, sustituimos Qx y Qy
por sus expresiones (Ecs. 2 y 3):
02 2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ q
yM
yxM
xM yxyx
TEORIA DE PLACAS
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
02 2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ q
yM
yxM
xM yxyx
EN EL PLANO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS
dydxx
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyN xy
dxdyy
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN xy
dydxx
NN xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
dx
dy
( )y,x
( )dyN x
dxdyy
NN y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN y
TEORIA DE PLACASEQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x
dydxx
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyN xy
dxdyy
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN xy
dydxx
NN xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
dx
dy
( )y,x
( )dyN x
dxdyy
NN y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN y
TEORIA DE PLACASEQUILIBRIO SEGÚN EL EJE x
0
0
=−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
=∑
dxNdyN
dxdyy
NNdydx
xNN
F
xyx
xyxy
xx
x
0y
Nx
N xyx =∂
∂+
∂∂
TEORIA DE PLACAS
0
0
=−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
=∑
dxNdyN
dxdyy
NNdydx
xNN
F
xyx
xyxy
xx
x
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
02 2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ q
yM
yxM
xM yxyx
0=∂
∂+
∂∂
yN
xN xyx
TEORIA DE PLACAS
dydxx
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyN xy
dxdyy
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN xy
dydxx
NN xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
dx
dy
( )y,x
( )dyN x
dxdyy
NN y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN yEQUILIBRIO SEGÚN EL EJE y
0
0
=−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
=∑
dyNdxN
dydxx
NNdxdy
yN
N
F
xyy
xyxy
yy
y
0y
Nx
N yxy =∂
∂+
∂
∂
0
0
=−−
−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
=∑
dyNdxN
dydxx
NNdxdy
yN
N
F
xyy
xyxy
yy
y
TEORIA DE PLACAS
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
02 2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ q
yM
yxM
xM yxyx
0=∂
∂+
∂∂
yN
xN xyx
0=∂
∂+
∂
∂
yN
xN yxy
dydxx
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dyN xy
dxdyy
NN xy
xy ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN xy
dydxx
NN xx ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+
dx
dy
( )y,x
( )dyN x
dxdyy
NN y
y ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
( )dxN y
EQUILIBRIO DE MOMENTOS ALREDEDOR DEL EJE z
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
02
222
0
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−⋅+⋅−
=∑
dxdydxx
NN
dydxdyy
NNdxdyNdydxN
M
xyxy
xyxyxyxy
z
¡Esta ecuación se satisface automáticamente!
TEORIA DE PLACAS
( ) ( )
02
222
0
=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++
+⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−⋅+⋅−
=∑
dxdydxx
NN
dydxdyy
NNdxdyNdydxN
M
xyxy
xyxyxyxy
z
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones de la estática:
0
0
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
∑∑∑∑∑∑
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
02 2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ q
yM
yxM
xM yxyx
0=∂
∂+
∂∂
yN
xN xyx
0=∂
∂+
∂
∂
yN
xN yxy
¡Esta ecuación se satisface automáticamente!
0
0
0
2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂∂
qyM
yxM
xM
yN
xN
yN
xN
yxyx
yxy
xyx
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA
TEORIA DE PLACAS
TEORIA DE PLACAS
Y, entonces, ¿cómo se deducen los esfuerzos cortantes?
)(
)(
)(
3
2
10
yM
xMQ
xM
yM
Q
qy
Qx
Q
xyxx
xyyy
yx
∂
∂+
∂∂
=
∂
∂+
∂
∂=
=+∂
∂+
∂∂
CONDICIONES DE CONTORNO:
x = +a/2x = -a/2y = +b/2y = -b/2
TEORIA DE PLACAS
x = +a/2
xwMM
wy
MQ
yM
xM
vNN
uNN
xx
xyx
xyx
xyxy
xx
∂∂
=
∂
∂+=
∂
∂+
∂∂
=
=
+
++
+
+
0
0
0
0
ó iv.
ó 2 iii.
ó ii.
ó i.
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS
xwMM
wy
MQ
yM
xM
vNN
uNN
xx
xyx
xyx
xyxy
xx
∂∂
=
∂
∂+=
∂
∂+
∂∂
=
=
−
−−
−
−
0
0
0
0
ó iv.
ó 2 iii.
ó ii.
ó i.
x = -a/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS
ywMM
wy
MQ
xM
yM
uNN
vNN
yy
yxy
xyy
yxxy
yy
∂∂
=
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂
=
=
+
++
+
+
0
0
0
0
2
ó iv.
ó iii.
ó ii.
ó i.
y = +b/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS
ywMM
wy
MQ
xM
yM
uNN
vNN
yy
yxy
xyy
yxxy
yy
∂∂
=
∂
∂+=
∂
∂+
∂
∂
=
=
−
−−
−
−
0
0
0
0
ó iv.
ó 2 iii.
ó ii.
ó i.
y = -b/2
Debe fijarse:
TEORIA DE PLACAS
xv
yuyvxu
xy
y
x
∂∂
+∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
000
00
00
γ
ε
ε
DEFORMACIONES EN EL PLANO MEDIO:
TEORIA DE PLACAS
yxw
ywxw
xy
y
x
∂∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
−=
02
20
2
20
2
2κ
κ
κ
CURVATURAS:
TEORIA DE PLACAS
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂∂
qyM
yxM
xM
yN
xN
yN
xN
yxyx
yxy
xyx
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
κκκγεε
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
xy
y
x
xy0
y0
x0
662616662616
262212262212
161211161211
662616662616
262212262212
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
DDDBBBDDDBBBDDDBBBBBBAAABBBAAABBBAAA
MMMNNN
xv
yuyvxu
xy
y
x
∂∂
+∂∂
=
∂∂
=
∂∂
=
000
00
00
γ
ε
ε
yxw
ywxw
xy
y
x
∂∂∂
−=
∂∂
−=
∂∂
−=
02
20
2
20
2
2κ
κ
κ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
+++
++=
yxwB
ywB
xwB
xv
yuA
yvA
xuAN
BBB
AAAN
x
xyyx
xyyxx
02
1620
2
1220
2
11
0016
012
011
161211
016
012
011
2
κκκ
γεε
TEORIA DE PLACAS
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
+++
++=
yxwB
ywB
xwB
xv
yuA
yvA
xuAN
BBB
AAAN
y
xyyx
xyyxy
02
2620
2
2220
2
12
0026
022
012
262212
026
022
012
2
κκκ
γεε
TEORIA DE PLACAS
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
+++
++=
yxwB
ywB
xwB
xv
yuA
yvA
xuAN
BBB
AAAN
xy
xyyx
xyyxxy
02
6620
2
2620
2
16
0066
026
016
662616
066
026
016
2
κκκ
γεε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
+++
++=
yxwD
ywD
xwD
xv
yuB
yvB
xuBM
DDD
BBBM
x
xyyx
xyyxx
02
1620
2
1220
2
11
0016
012
011
161211
016
012
011
2
κκκ
γεε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
+++
++=
yxwD
ywD
xwD
xv
yuB
yvB
xuBM
DDD
BBBM
y
xyyx
xyyxy
02
2620
2
2220
2
12
0026
022
012
262212
026
022
012
2
κκκ
γεε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂−
∂∂
−∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
=
+++
++=
yxwD
ywD
xwD
xv
yuB
yvB
xuBM
DDD
BBBM
xy
xyyx
xyyxxy
02
6620
2
2620
2
16
0066
026
016
662616
066
026
016
2
κκκ
γεε
ECUACIONES BASADAS EN DESPLAZAMIENTOS:
TEORIA DE PLACAS
0
0
0
2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
=∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂∂
qyM
yxM
xM
yN
xN
yN
xN
yxyx
yxy
xyx
ECUACIONES DE EQUILIBRIO DE LA PLACA:
TEORIA DE PLACAS
0=∂
∂+
∂∂
yN
xN xyx
ECUACIONES BASADAS EN CONDICIONES DE EQUILIBRIO:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
yxw
Byw
Bxw
Bxv
yu
Ayv
Axu
AN
yxw
Byw
Bxw
Bxv
yu
Ayv
Axu
AN
xy
x
02
662
02
262
02
16
00
66
0
26
0
16
02
162
02
122
02
11
00
16
0
12
0
11
2
2
TEORIA DE PLACAS
02
2
2
03
663
03
262
03
16
02
2
02
662
02
26
02
16
2
03
162
03
123
03
11
2
0202
16
02
122
02
11
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−
∂
∂−
∂∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
∂−
∂∂
∂−
∂
∂−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
yxw
Byw
Byx
wB
yxv
yu
Ayv
Ayx
uA
yxw
Byx
wB
xw
B
xv
xyu
Axy
vA
xu
A
0=∂
∂+
∂∂
yN
xN xyxSustituyendo las expresiones de Nx y Nxy en:
TEORIA DE PLACAS
( )
( ) 023
2
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
2
02
26
02
66122
02
16
2
02
66
02
162
02
11
=∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
yw
Byx
wBB
yxw
Bxw
B
yv
Ayx
vAA
xv
A
yu
Ayx
uA
xu
A
Reorganizando la última expresión:
TEORIA DE PLACAS
( )
( ) 023
2
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
2
02
26
02
66122
02
16
2
02
66
02
162
02
11
=∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
yw
Byx
wBB
yxw
Bxw
B
yv
Ayx
vAA
xv
A
yu
Ayx
uA
xu
A
0y
Nx
N xyx =∂
∂+
∂∂En definitiva:
Ecuación diferencial 1
TEORIA DE PLACAS
( )
( ) 032
2
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
2
02
22
02
262
02
66
2
02
26
02
66122
02
16
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂
yw
Byx
wB
yxw
BBxw
B
yv
Ayx
vA
xv
A
yu
Ayx
uAA
xu
A
0y
Nx
N yxy =∂
∂+
∂
∂De la misma forma:
Ecuación diferencial 2
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( ) qyv
Byx
vB
yxv
BBxv
B
yu
Byx
uBB
yxu
Bxu
B
yw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
4
04
223
04
26
22
04
66123
04
164
04
11
32
23
4
224
02 2
22
2
2
=+∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂ q
yM
yxM
xM yxyx
Ecuación diferencial 3
TEORIA DE PLACAS
En definitiva, hemos llegado a plantear tres ecuaciones
diferenciales (Ecuaciones 1, 2 y 3) en las que aparecen,
como incógnitas, u0, v0 y w0 que, una vez resueltas y
verificando las condiciones de contorno, nos permitirían
calcular el campo de desplazamientos dentro del laminado.
de este último, podríamos determinar las deformaciones en
cada punto del laminado y, de este último, el campo tensional.
TEORIA DE PLACAS
0B ij =
LAMINADOS SIMÉTRICOS:
TEORIA DE PLACAS
( )
( ) 023
2
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
2
02
26
02
66122
02
162
02
66
02
162
02
11
=∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
yw
Byx
wBB
yxw
Bxw
B
yv
Axy
vAA
xv
Ayu
Axy
uA
xu
A
( )
( ) 032
2
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
2
02
22
02
262
02
662
02
26
02
66122
02
16
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂
yw
Byx
wB
yxw
BBxw
B
yv
Axy
vA
xv
Ayu
Axy
uAA
xu
A
( )
( )
( ) qyv
Byx
vB
yxv
BBxv
B
yu
Byx
uBB
yxu
Bxu
B
yw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
4
04
223
04
2622
04
66123
04
164
04
11
32
23
4224
TEORIA DE PLACAS
Ecuaciones generales:
( )
( )
( ) 04224
02
02
4
04
223
04
2622
04
66123
04
164
04
11
2
02
22
02
262
02
662
02
26
02
66122
02
16
2
02
26
02
66122
02
162
02
66
02
162
02
11
=∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂
=∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
yw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
yv
Ayx
vA
xv
Ayu
Ayx
uAA
xu
A
yv
Ayx
vAA
xv
Ayu
Ayx
uA
xu
A
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos:
TEORIA DE PLACAS
0A0A
0B
26
16
ij
=
=
=LAMINADOS SIMÉTRICOS BALANCEADOS:
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) qyv
Byxv
Byx
vBB
xv
B
yu
Byx
uBB
yxu
Bxu
B
yw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
yw
Byx
wB
yxw
BBxw
B
yv
Ayx
vA
xv
Ayu
Ayx
uAA
xu
A
yw
Byx
wBB
yxw
Bxw
B
yv
Ayx
vAA
xv
Ayu
Ayx
uA
xu
A
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂
=∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
4
04
223
04
2622
04
66123
04
164
04
11
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
2
02
22
02
262
02
662
02
26
02
66122
02
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
2
02
26
02
66122
02
162
02
66
02
162
02
11
32
23
4224
032
2
023
2
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( ) qyw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
yv
Axv
Ayx
uAA
yxv
AAyu
Axu
A
=∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
=∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
4
04
223
04
2622
04
66123
04
164
04
11
2
02
222
02
66
02
6612
02
66122
02
662
02
11
4224
0
0
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos balanceados:
TEORIA DE PLACAS
0D0A0D0A
0B
2626
1616
ij
==
==
=
LAMINADOS SIMÉTRICOS DE LÁMINAS
CRUZADAS:
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) qyv
Byxv
Byx
vBB
xv
B
yu
Byx
uBB
yxu
Bxu
B
yw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
yw
Byx
wB
yxw
BBxw
B
yv
Ayx
vA
xv
Ayu
Ayx
uAA
xu
A
yw
Byx
wBB
yxw
Bxw
B
yv
Ayx
vAA
xv
Ayu
Ayx
uA
xu
A
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂
=∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
4
04
223
04
2622
04
66123
04
164
04
11
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
2
02
22
02
262
02
662
02
26
02
66122
02
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
2
02
26
02
66122
02
162
02
66
02
162
02
11
32
23
4224
032
2
023
2
TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( ) qy
wD
yx
wD2D2
yx
wD
0y
vA
x
vA
yxu
AA
0yx
vAA
y
uA
x
uA
4
04
2222
04
66124
04
11
2
02
222
02
66
02
6612
02
66122
02
662
02
11
=∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂
=∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
=∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂
Ecuaciones para el caso de laminados simétricos de láminas cruzadas:
TEORIA DE PLACAS
( )
( ) ( )
( ) 02
1124
112112
02
112
11
0
2616
3
66
2
3
21122
3
2211
261666
2211222211
==−
=+
=
=−
===−
==
==−
=+
=
=−
===−
==
=
DDDEHD
DEHDDDEHDD
AAAEHA
AEHAAAEHAA
Bij
νν
νν
νν
νν
νν
νν
PLACAS ISÓTROPAS:TEORIA DE PLACAS
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) qyv
Byx
vB
yxv
BBxv
B
yu
Byx
uBB
yxu
Bxu
B
yw
Dyx
wD
yxw
DDyx
wD
xw
D
yw
Byx
wB
yxw
BBxw
B
yv
Ayx
vA
xv
Ayu
Ayx
uAA
xu
A
yw
Byx
wBB
yxw
Bxw
B
yv
Ayx
vAA
xv
Ayu
Ayx
uA
xu
A
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂∂
∂++
∂∂
∂+
∂
∂
=∂
∂−
∂∂
∂−
∂∂
∂+−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂
=∂
∂−
∂∂
∂+−
∂∂
∂−
∂
∂−
∂
∂+
∂∂
∂++
∂
∂+
∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
4
04
223
04
2622
04
66123
04
164
04
11
3
03
222
03
262
03
66123
03
16
2
02
22
02
262
02
662
02
26
02
66122
02
16
3
03
262
03
66122
03
163
03
11
2
02
26
02
66122
02
162
02
66
02
162
02
11
32
23
4224
032
2
023
2
TEORIA DE PLACAS
02
12
1
02
12
1
02
12
1
02
2
02
2
02
02
2
02
2
02
02
2
02
2
02
=∂∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∂
∂
=∂∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∂
∂
=∂∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
++∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∂
∂
xyv
yu
xu
xyv
yu
xu
xyv
AAyu
Axu
A
νν
ννν
ννν
Ecuaciones para placas isótropas:
TEORIA DE PLACAS
Dq
yw
yxw
xw
yv
xv
xyu
xyv
yu
xu
=∂
∂+
∂∂
∂+
∂
∂
=∂
∂+
∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∂∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
=∂∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
+∂
∂⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
+∂
∂
4
04
22
04
4
04
2
02
2
0202
02
2
02
2
02
2
02
12
1
02
12
1
νν
νν
TEORIA DE PLACAS
)( 2
3
112 ν−⋅=
EHD
CONSTANTE DE RIGIDEZ A FLEXIÓN DE UNA PLACA
TEORIA DE PLACAS