Post on 29-Feb-2016
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Ecuaciones diferenciales de 1er orden :
Una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden es una expresin
del tipo siguiente:
y' f (x, y)
El problema que se suele presentar es el de calcular una funcin y = f(x)
tal que verifique la ecuacin anterior con una condicin de contorno:
y(x0) = y0.
El siguiente Teorema de Cauchy slo garantiza la existencia y unicidad
de la solucin bajo las siguientes condiciones restrictivas:
Teorema de Cauchy:
Si f(x,y) es analtica en un dominio que contiene al punto (x0,y0),
existe una, y slo una, funcin analtica y(x) que verifique la ecuacin:
y'dy
dx f (x, y)
con la condicin de contorno: y(x0 ) y0
Una funcin se dice que es analtica si es derivable un nmero infinito
de veces: f C
Una condicin, menos exigente, para que exista solucin y sea nica
(aunque no necesariamente analtica)es que se satisfaga una condicin de
Lipschitz:
Supongamos que tenemos una funcin f(x,y) definida en un dominio
del plano XY. Se dice que la funcin f(x,y) satisface una condicin de
Lipschitz (respecto de y) en el dominio si esixte una constante M >0
tal que:
f (x,y1) f (x, y2 ) M y1 y2
para todos los puntos (x,y1) y (x,y2) que pertenezcan al dominio. La
constante M se llama constante de Lipschitz.
Una condicin suficiente para que se pueda verificar una condicin de
Lipschitz es que exista f/y y est acotada en el dominio, D. Si es as,
Efectivamente, se satisface una condicin de Lipschitz (respecto de y) en
el dominio, D, y la constante viene dada por:
M sup(x ,y )D
f (x,y)
y
En efecto:
f (x, y1 ) f (x, y2 ) (y1 y2 )f (x,)
y donde (y1, y2 )
con lo cul:
Para ver esta pelcula, debedisponer de QuickTime y de
un descompresor GIF.
Para ver esta pelcula, debedisponer de QuickTime y de
un descompresor GIF.
f (x,y1) f (x, y2 ) y1 y2f (x,)
y sup
(x , y)D
f (x, y)
yy1 y2
Ejemplo:
Supongamos el dominio D definido del siguiente modo:
x a ; y b
y la funcin f(x,y) dada por :
f (x, y) y2
como f/y existe y est acotada en el dominio D:
f (x,y)
y 2y
M sup(x ,y )D
f (x,y)
y 2b
En efecto:
f (x,y1) f (x, y2 ) y12 y2
2 y1 y2 y1 y2 2by1 y2
Sin embargo, aunque esta condicin (sobre la derivada parcial) es una
condicin suficiente, no es necesaria, como se ve en el ejemplo siguiente:
f (x, y) x y en x a ; y b
f (x,y1) f (x, y2 ) x y1 x y2 x y1 y2 ay1 y2
que cumple una condicin de Lipschitz:
a pesar de que la derivada parcial f/y no existe en los puntos (x,0)
Mtodo de Euler:
Es un mtodo sencillo para la integracin de ecuaciones diferenciales
de primer orden.
Sea:
dy
dx f (x,y)
con la condicin de contorno: y(x0 ) y0
Supongamos que y(x) es la solucin exacta del problema. Si tomamos
un x lo suficientemente prximo a x0, podemos tomar la siguiente
aproximacin:
y(x) y(x0 )dy
dx x 0(x x0 )
y(x) y(x0 )dy
dx x 0(x x0 ) y0 f (x0 ,y0 ) (x x0 )
As, si, por ejemplo, tomamos un x1 = x0+h, podemos calcular el valor
correspondiente y1 = y(x1) del siguiente modo:
x1 x0 h
y1 y0 f (x0 ,y0) h
Si ahora quisiramos calcular la solucin en un punto ulterior, partiramos
ahora de:
dy
dx f (x,y)
con la nueva condicin (aproximada) de contorno: y(x1) y1
Utilizar el mtodo de Euler para aproximar el valor de la solucin de
la siguiente ecuacin diferencial en los puntos x = 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 y 1,
usando h = 0.2 y h = 0.1.
dy
dx 2x y ; y(0) 1
h = 0.2
x1 x0 h
y1 y0 f (x0 ,y0) h
0 0.2 0.2
11 0.2 1.2
x2 x1 h
y2 y1 f (x1, y1) h
0.2 0.2 0.4
1.2 1.60.2 1.52
x3 x2 h
y3 y2 f (x2, y2 ) h
0.4 0.2 0.6
1.52 2.320.2 1.984
x4 x3 h
y4 y3 f (x3, y3) h
0.6 0.2 0.8
1.984 3.1840.2 2.6208
x5 x4 h
y5 y4 f (x4 ,y4 ) h
0.80.2 1.0
2.62084.2208 0.2 3.46496
h = 0.1
x1 x0 h
y1 y0 f (x0 ,y0) h
0 0.1 0.1
110.11.1
x2 x1 h
y2 y1 f (x1, y1) h
0.10.1 0.2
1.11.30.11.23
x3 x2 h
y3 y2 f (x2, y2 ) h
0.2 0.1 0.3
1.231.630.11.393
x4 x3 h
y4 y3 f (x3, y3) h
0.30.1 0.4
1.3932.39230.11.83153
x5 x4 h
y5 y4 f (x4 ,y4 ) h
0.4 0.1 0.5
1.59232.39230.11.83153
x6 x5 h
y6 y5 f (x5, y5 ) h
0.50.1 0.6
1.831532.831530.1 2.114683
x7 x6 h
y7 y6 f (x6, y6 ) h
0.6 0.10.7
2.1146833.3146830.1 2.4461513
x8 x7 h
y8 y7 f (x7, y7 ) h
0.70.1 0.8
2.44615133.84615130.1 2.8307664
x9 x8 h
y9 y8 f (x8, y8) h
0.80.1 0.9
2.8307664 4.43076640.1 3.273843
x10 x9 h
y10 y9 f (x9, y9 ) h
0.9 0.11.0
3.2738435.0738430.1 3.7812273
Vemos que obtenemos valores distintos de los que habamos calculado
para h = 0.2. Cuanto menor sea h, mejor ser la aproximacin (aunque
tambin ms laboriosa). Para un h constante el error ser tanto mayor
cuanto ms nos alejemos del punto inicial, como puede apreciarse en la
grfica siguiente en la que comparamos las dos soluciones aproximadas
con la solucin exacta.
01
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
y(x) = -2(x+1)+3ex
h = 0.2
h = 0.1
Mtodo de Euler modificado:
La solucin exacta de la ecuacin diferencial de primer orden:
dy
dx f (x,y) ; y(x0 ) y0
en el punto x1 vendra dada por la siguiente expresin:
y(x1) y(x0 ) f (x,y) dxx 0
x1
En el mtodo de Euler sencillo que vimos anteriormente tombamos la
siguiente aproximacin:
y(x1) y(x0 ) f (x0 , y0 ) (x1 x0 )
Esta aproximacin es equivalente a suponer que en el integrando de la
solucin exacta f(x,y) es constante e igual a su valor en el extremo
inferior de la integral, es decir, f(x, y) = f(x0,y0):
y(x1) y(x0 ) f (x,y) dxx 0
x1
y(x0 ) f (x0, y0 ) (x1 x0 )
si f (x,y) f (x0 ,y0 )Parecera ms razonable el pensar que obtendramos un valor mspreciso si aproximramos la integral de f(x,y) por un promedio de sus
valores en los dos extremos de la integral en vez de tomarla igual a su
valor en el extremo inferior.
Sin embargo, de esa manera, nos encontraramos con el problema de
que, para calcular y1 necesitamos saber su valor para evaluar f(x1,y1).
y(x1) y(x0 ) f (x,y) dxx 0
x1
y(x0 ) f (x0, y0 ) f (x1,y1)
2 (x1 x0 )
si f (x,y) f (x0 ,y0 ) f (x1, y1)
2
El problema se solventa del siguiente modo: Primero se obtiene una
aproximacin de y1 usando el mtodo de Euler sencillo:
y1(0)
y0 f (x0, y0 ) h
a continuacin, se usa esta aproximacin sencilla para calcular f(x1,y1(0))
y as poder tomar la siguiente nueva estimacin para el valor de y1 :
y1(1)
y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1
(0) )
2 h
naturalmente, podramos utilizar esta nueva aproximacin para obtener
otra:
y1(2)
y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1
(1) )
2 h
y as, podramos iterar hasta obtener una aproximacin definitiva.
Una vez que estimemos que tenemos una estimacin sensata de y1repetiramos el procedimiento para calcular y2:
y2(0)
y1 f (x1, y1 ) h
y2(1)
y1 f (x1, y1 ) f (x2, y2
(0) )
2 h
y2(2) y1
f (x1, y1 ) f (x2, y2(1) )
2 h
Utilizar el mtodo de Euler modificado para aproximar el valor de la
solucin de la siguiente ecuacin diferencial en los puntos x = 0.2 y 0.4,
usando h = 0.2 y con tres decimales de aproximacin:
dy
dx 2x y ; y(0) 1
h = 0.2
y1(0)
y0 f (x0, y0 ) h
0 0.2 0.2
11 0.2 1.2
x1 x0 h
y1(1)
y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1
(0) )
2 h 1
1 2 0.2 1.2
2 0.2 1.26
y1(2)
y0 f (x0, y0 ) f (x1,y1
(1) )
2 h 1
1 2 0.2 1.26
2 0.2 1.266
y1(3)
y0 f (x0 , y0 ) f (x1, y1
(2) )
2 h 1
1 2 0.2 1.266
2 0.2 1.2666
y1(4)
y0 f (x0, y0 ) f (x1, y1
(3) )
2 h 1
1 2 0.2 1.2666
2 0.2 1.26666
Luego, con tres cifras decimales, tendramos: y1 1.267
x2 x1 h
y2(0)
y1 f (x1, y1 ) h
0.2 0.2 0.4
1.267 2 0.2 1.267 0.2 1.6004
y2(1)
y1 f (x1, y1 ) f (x2, y2
(0) )
2 h
y2(1)
1.2672 0.21.267 2 0.4 1.6004
2 0.2 1.67374
y2(2)
y1 f (x1, y1 ) f (x2, y2
(1) )
2 h
y2(2)
1.2672 0.21.267 2 0.4 1.67374
2 0.2 1.681074
y2(3)
y1 f (x1,y1) f (x2, y2
(2))
2 h
y2(2)
1.2672 0.21.267 2 0.4 1.681074
2 0.2 1.6818074
y2(4)
y1 f (x1, y1 ) f (x2 ,y2
(3) )
2 h
y2(4)
1.2672 0.2 1.267 2 0.4 1.6818074
2 0.2 1.6818807
Luego, con tres cifras decimales, tendramos: y2 1.682
0
1
2
3
4
5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2
y(x) = -2(x+1)+3ex
h = 0.2
h = 0.1
h = 0.2Euler modificado
Algoritmo de Taylor:
Una forma alternativa de mejorar el mtodo de Euler sera tomar ms
trminos en el desarrollo de Taylor de la solucin exacta:
y(x) y(x0 ) y' (x0 )(x x0 )y' ' (x0 )
2(x x0 )
2
Esto se puede hacer del modo siguiente:
Partiendo de:
y' f (x, y)
y derivando respecto a x nos queda que:
y' ' f (x, y)
xf (x, y)
yy'
f (x, y)
x f (x, y)
f (x, y)
y
En lo siguiente, empleamos la siguiente notacin abreviada:
y' ' f (x, y)
x f (x,y)
f (x, y)
y x f f y f
si seguimos derivando:
y' ' ' d
dxx f f y f
y' ' ' x2f yx f y' x fy f y f
2
y' fxy f fy2f y'
y' ' ' x2f 2 fxy f x fy f f y f
2
f2y
2f
y as, podramos continuar calculando derivadas de orden ms alto. Si
f admitiera derivadas de cualquier orden (es decir, si fuera, analtica),
podramos calcular la solucin de este modo (Teorema de Cauchy).
Si aplicamos este mtodo al problema que tenamos:
dy
dx 2x y ; y(0) 1
y' 2x 1 1
y' ' 2 y' 3
y' ' ' y' ' 3
y'v y
v y
n 3
Luego, la solucin se puede escribir como:
y(x) 1 x 3x2
2
3x3
3!
3x n
n! 3e
x 2 2x
Sin embargo, en el caso general, este mtodo puede resultar bastante
laborioso, tal y como se puede apreciar en el siguiente ejemplo:
y' sen x cos y
y(0) 0
y' senx cos y
y' ' cosx y' sen y cos x (senx cosy)seny
y'' cosx senxsen y sen y cos y
y' ' ' sen x y' ' sen y y' 2 cos yy'
v cos x y' ' ' seny y' ' y' cos y 2y' y' ' cosy y' 3 seny
yv sen x y' v sen y y' ' ' y' cosy y' ' ' y' cosy y' ' 2 cos y y' ' y' 2 sen y
2 y' ' 2 cos y 2y' y' ' ' cosy 2 y' 2y' ' sen y 3 y' 2 y' ' sen y y' 4 cos y
yv sen x y'
vseny 4y' ' ' y' cos y 3 y' ' 2 cos y 6y' ' y' 2 seny y' 4 cos y
yv' cos x yv sen y y' v y' cosy 4y' v y' cosy 4y' ' ' y' ' cosy
4y' ' ' y' 2 sen y 6y' ' y' ' ' cos y 3 y' ' 2y' sen y 12y' y' ' 2 sen y
6 y' 2 y' ' ' sen y 6 y' 3y' ' cos y 4 y' 3y' ' cos y y' 5 sen y
yv' cos x yv sen y 5y' v y' cos y 10y' ' ' y' ' cos y
10y' ' ' y' 2 sen y 15 y' ' 2 y' sen y 6 y' 3y' ' cos y
10 y' 3y' ' cos y y' 5 sen y
Por tanto, haciendo las sustituciones oportunas:
y' (0) 1 y'v(0) 4
y' ' (0) 1 yv(0) 2
y' ' ' (0) 1 yv' (0) 41
con lo que la solucin puede escribirse como:
y(x) x x2
2x3
3!
4x4
4!
2x5
5!
41x6
6!
y(x) x x2
2x3
6x4
6x5
60
41x6
720
Mtodo de Picard (de las aproximaciones sucesivas):
Como ya vimos anteriormente, la solucin exacta de la ecuacin
diferencial de primer orden:
dy
dx f (x,y) ; y(x0 ) y0
en el punto x vendra dada por la siguiente expresin:
y(x) y(x0 ) f (x, y) dxx0
x
Si conociramos y(x), sustituyndola en el integrando de la ecuacin
anterior, obtendramos una identidad trivial.
Si partiramos de una solucin aproximada, y0(x), podramos
introducirla en el integrando para calcular una nueva aproximacin
(mejorada) y1(x). Integrando esta nueva aproximacin, se puede obtener
otra nueva, y2(x), y as sucesivamente.
y1(x) y(x0 ) f (x, y0 (x)) dxx0
x
y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx0
x
yn (x) y(x0 ) f (x, yn1(x)) dxx 0
x
Generalmente, la primera aproximacin que se suele tomar es hacer
y0(x) constante e igual a la condicin de contorno: y0(x) = y(x0).
Si la convergencia no fuera buena, podran ensayarse aproximaciones
iniciales mejores, mediante el mtodo de Euler (o el de Euler modificado).
Cuando las integrales se efectan de forma numrica, estos mtodos se
conocen con el nombre de mtodos de Adams-Bashforth.
Utilizar el mtodo de Picard con el problema siguiente:
y' sen x cos y
y(0) 0
y1 (x) y(x0 ) f (x,y0(x)) dxx 0
x
0 sen x 1 dx0
x
y1 (x) cosx x 0x 1 x cos x
y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx 0
x
y2 (x) sen x cos 1 x cos x dx0
x
y2 (x) sen x cos 1 x cos x dx0
x
y2 (x) sen x cos 1 x (1x 2
2)
dx0
x
y2 (x) sen x cos x x2
2
dx
0
x
y2 (x) sen x 1x2
2x3
2
dx
0
x
y2 (x) cos x x x3
6x4
8
0
x
1 cos x x x3
6x 4
8
y3(x) y(x0 ) f (x, y2 (x)) dxx0
x
y3(x) sen x cos 1 cosx x x 3
6x4
8
dx
0
x
y3(x) sen x cos 1 (1x2
2x 4
24) x
x3
6x 4
8
dx0
x
y3(x) sen x cos x x2
2x3
6x 4
6
dx0
x
y3(x) sen x 1
x x2
2x3
6x4
6
2
2
x x2
2x3
6x4
6
4
24
dx0
x
y3(x) sen x 1x2
2x3
2x4
12
dx
0
x
y3(x) cos x x x3
6x 4
8x5
60
0
x
y3(x) 1 cos x x x3
6x4
8x 5
60
Utilizar el mtodo de Picard con el problema siguiente:
y1 (x) y(x0 ) f (x,y0(x)) dxx 0
x
dy
dx 2x y ; y(0) 1
y1 (x) 1 2x 1 dx0
x
1 x x2
y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx 0
x
y2 (x) 1 2x 1 x x2 dx
0
x
y2 (x) 1 1 3x x2 dx
0
x
1 x 3x2
2x3
3
y3(x) 1 2x 1 x 3x2
2x3
3
dx0
x
y3(x) 1 1 3x 3x2
2x3
3
dx
0
x
y3(x) 1 x 3x2
2x3
2
x 4
4 3
y4 (x) 1 2x 1 x 3x2
2x3
2
x4
4 3
dx0
x
y4 (x) 1 x 3x2
2x3
2
x4
4 2
x5
5 4 3
Utilizar el mtodo de Picard con el problema siguiente:
y1 (x) y(x0 ) f (x,y0(x)) dxx 0
x
dy
dx x
2 y
2 ; y(0) 1
y1 (x) 1 x21 dx
0
x
1 x x 3
3
y2 (x) y(x0 ) f (x, y1(x)) dxx 0
x
y2 (x) 1 x2 1 x
x3
3
2
dx
0
x
y2 (x) 1 1 2x 2x2
2x3
3
2x4
3x 6
9
dx
0
x
y2 (x) 1 x x2
2x3
3x4
6
2x5
15x7
63
y3(x) 1 x2 1 x x
2
2x3
3x4
6
2x5
15x7
63
2
dx0
x
y3(x) 1 (1 2x 4x2
10x3
3
8x 4
3
29x5
15
47x6
45
0
x
164x 7
315
299x8
1260
8x9
105
184x10
4725
x11
189
4x12
945
x14
3969) dx
y3(x) 1 x x2
4x3
3
5x4
6
8x5
15
29x6
90
47x7
315
41x8
630
299x9
11340
4x10
525
184x11
51975
x12
2268
4x13
12285
x15
59535
Mtodo de Runge-Kutta (de cuarto orden):
Los llamados mtodos de Runge-Kutta son una serie de algoritmos
para calcular aproximaciones nmericas del valor de la solucin de:
dy
dx f (x,y) ; y(x0 ) y0
en puntos de la forma siguiente:
x1 x0 h ; x2 x1 h ; etc
con muy buena precisin, sin que, para ello, sea necesario que los h sean
muy pequeos.
El procedimiento consta de los siguientes pasos:
Para calcular un valor aproximado de la solucin y1 en el punto
x1 = x0 + h, se calculan los siguientes nmeros:
k1 h f (x0 ,y0 )
k2 h f (x0 h
2, y0
k1
2)
k3 h f (x0 h
2, y0
k2
2)
k4 h f (x0 h, y0 k3 )
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 )
y entonces se toma:
y1 y0 K0
Procediendo del mismo modo, calcularamos el valor aproximado de
la solucin, y2, en el punto x2 = x1 + h:
k1 h f (x1, y1)
k2 h f (x1 h
2, y1
k1
2)
k3 h f (x1 h
2, y1
k2
2)
k4 h f (x1 h, y1 k3)
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 )
y2 y1 K0
Y as, sucesivamente, para el punto ensimo, tendramos xn = xn-1 + h:
k1 h f (xn1, yn1 )
k2 h f (xn1 h
2, yn1
k1
2)
k3 h f (xn1 h
2,yn1
k2
2)
k4 h f (xn1 h, yn1 k3 )
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 )
yn yn1 K0
Utilizar el mtodo de Runge-Kutta con el problema siguiente para
calcular la solucin aproximada en x = 0.2 y x =0.4:
dy
dx 2x y ; y(0) 1
h = 0.2:
k1 h f (x0 ,y0 )
k2 h f (x0 h
2, y0
k1
2)
0.2 (2 01) 0.2
0.2 f (0 0.1, 1 0.1)
k2 0.2 2 0.11.1 0.26
k3 h f (x0 h
2, y0
k2
2) 0.2 f (0.1, 1.13)
k3 0.2 2 0.11.13 0.266
x1 x0 h 0 0.2 0.2
k4 h f (x0 h, y0 k3 ) 0.2 f (0.2, 1.266)
k4 0.2 2 0.2 1.266 0.3332
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.2642
y1 y0 K0 1.2642
x2 x1 h 0.2 0.2 0.4
k1 h f (x1, y1) 0.2 (2 0.21.2642) 0.33284
k2 h f (x1 h
2, y1
k1
2) 0.2 f (0.3, 1.43062) 0.40612
k3 h f (x1 h
2, y1
k2
2) 0.2 f (0.3, 1.46726) 0.41345
k4 h f (x1 h, y1 k3) 0.2 f (0.4, 1.67765) 0.49553
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.41125
y2 y1 K0 1.2642 0.41125 1.67545
dy
dx x
2 y
2 ; y(0) 1
Utilizar el mtodo de Runge-Kutta con el problema siguiente para
calcular la solucin aproximada en x = 0.1 y x =0.2:
h = 0.1:
k1 h f (x0 ,y0 )
k2 h f (x0 h
2, y0
k1
2)
0.1f (0,1) 0.1 (021
2) 0.1
0.1 f (0.05, 1.05)
k2 0.1 0.052 1.05
2 0.1105
k3 h f (x0 h
2, y0
k2
2) 0.1 f (0.05, 1.05525)
x1 x0 h 0 0.1 0.1
k3 0.1116052
k4 h f (x0 h, y0 k3 ) 0.1 f (0.1, 1.1116052)
k4 0.1 (0.121.1116052
2) 0.1245666
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.1114628
y1 y0 K0 1.1115
x2 x1 h 0.1 0.1 0.2
k1 h f (x1, y1) 0.1 (0.121.1115
2) 0.1245432
k2 h f (x1 h
2, y1
k1
2) 0.1 f (0.15, 1.1737716) 0.1400239
k3 h f (x1 h
2, y1
k2
2) 0.1 f (0.15, 1.181512) 0.141847
k4 h f (x1 h, y1 k3) 0.1f (0.2, 1.2533471) 0.1610878
K0 1
6(k1 2k2 2k3 k4 ) 0.1415621
y2 y1 K0 1.2531