Post on 18-Feb-2016
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PREALGEN EL INTERIOR:Un enfoque de aprendizaje de Preálgebra
Probado por los estudiantes, Aprobado por los docentes
Un nuevo método de aprendizaje desarrollado pensando en ti.
RICHARD N. AUFMANN JOANNE S. LOCKWOOD
EDICIÓN DEL ESTUDIANTE
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En el sitio web de PREALG encontrarás herramientas que crean un ambiente de aprendizaje emocionante, las cuales incluyen:
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Probado por los estudiantesAprobado por los docentes,
GEOL PHYSICSEARTH
http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg
PREALGRICHARD N. AUFMANN JOANNE S. LOCKWOOD
© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.Corporativo Santa FeAv. Santa Fe núm. 505, piso 12Col. Cruz Manca, Santa FeC.P. 05349, México, D.F.Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.
DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfi co, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemasde información a excepción de lo permitidoen el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.
Traducido del libro PREALG2010-2011 EditionRichard N. Aufmann y Joanne S. LockwoodPublicado en inglés por Brooks/Cole, una compañíade Cengage Learning ©2011ISBN 13: 978-0-538-73555-1
Datos para catalogación bibliográfi ca:Aufmann, Richard N. y Joanne S. LockwoodPREALG.
ISBN 13: 978-607-481-892-5
Visite nuestro sitio en:http://latinoamerica.cengage.com
Impreso en México1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12
PREALGRichard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood
Presidente de Cengage Learning LatinoaméricaFernando Valenzuela Migoya
Director editorial, de producción y de plataformas digitales para LatinoaméricaRicardo H. Rodríguez
Gerente de procesos para LatinoaméricaClaudia Islas Licona
Gerente de manufactura para LatinoaméricaRaúl D. Zendejas Espejel
Gerente editorial decontenidos en españolPilar Hernández Santamarina
Coordinador de manufacturaRafael Pérez González
EditoresJavier Reyes Gloria Luz Olguín Sarmiento
Imagen de la portada© John Lund/Getty Images; Jon Feingersh/Getty Images
Composición tipográfi caBaktun 13 ComunicaciónGerardo Larios García
iii
ContenidoCapítulo 1
Los números naturales 21.1 Introducción a los números naturales 3
A Relaciones de orden entre números naturales 3
B Valor posicional 5
C Redondeo 7
D Gráfi cas estadísticas 9
1.2 Suma y resta de números naturales 13A Sumar números naturales 13
B Restar números naturales 19
C Calcular el perímetro de una fi gura 22
1.3 Multiplicación y división de números naturales 26A Multiplicar números naturales 26
B Exponentes 30
C Dividir números naturales 33
D Factores y factorización con números primos 36
E Calcular el perímetro y área de un cuadrilátero 39
1.4 Solución de ecuaciones con números naturales 42A Resolver ecuaciones 42
B Convertir un enunciado en una ecuación 44
1.5 El orden o jerarquía de las operaciones 46
ContenidoCapítulo 2
Los números enteros 502.1 Introducción a los números enteros 51
A Los números enteros y la recta numérica 51
B Opuestos 54
C Valor absoluto 56
D Números enteros negativos 57
2.2 Suma y resta de números enteros 59A Sumar números enteros 59
B Restar números enteros 63
2.3 Multiplicación y división de números enteros 68A Multiplicar números enteros 68
B Dividir números enteros 71
2.4 Solución de ecuaciones con números enteros 74A Resolver ecuaciones 74
B Convertir un enunciado en una ecuación 76
2.5 El orden o jerarquía de las operaciones 79
iv
v
ContenidoCapítulo 3
Fracciones 823.1 Mínimo común múltiplo y máximo
común divisor 83A Mínimo común múltiplo (MCM) 83
B Máximo común divisor (MCD) 85
3.2 Introducción a las fracciones 87A Fracciones propias, fracciones impropias y números
mixtos 87
B Fracciones equivalentes 90
C Relaciones de orden entre dos fracciones 92
3.3 Multiplicación y división de fracciones 94A Multiplicar fracciones 94
B Dividir fracciones 98
C Calcular el área de un triángulo 101
3.4 Suma y resta de fracciones 102A Sumar fracciones 102
B Restar fracciones 107
3.5 Solución de ecuaciones con fracciones 111A Resolver ecuaciones 111
B Aplicaciones 114
3.6 Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones 115A Exponentes 115
B Fracciones complejas 117
C El orden de las operaciones 119
ContenidoCapítulo 4
Decimales y números reales 1224.1 Introducción a los decimales 123
A Valor posicional 123
B Relaciones de orden entre decimales 126
C Redondeo 128
4.2 Suma y resta de decimales 130
4.3 Multiplicación y división de decimales 135A Multiplicar decimales 135
B Dividir decimales 139
C Fracciones y decimales 143
4.4 Solución de ecuaciones con decimales 146
4.5 Expresiones radicales 148A Raíz cuadrada de cuadrados perfectos 148
B Raíz cuadrada de números naturales 151
4.6 Números reales 154A Números reales y la recta numérica real 154
B Desigualdades con una variable 158
C Convertir expresiones verbales en símbolos
matemáticos 161
vi
vii
ContenidoCapítulo 5
Expresiones algebraicas 1625.1 Propiedades de los números reales 163
A Aplicación de las propiedades de los números reales 163
B Propiedad distributiva 168
5.2 Expresiones algebraicas en su forma más simple 170A Suma de términos semejantes 170
B Expresiones algebraicas generales 173
5.3 Suma y resta de polinomios 175A Suma de polinomios 175
B Resta de polinomios 177
5.4 Multiplicación de monomios 179A Multiplicación de monomios 179
B Potencias de monomios 181
5.5 Multiplicación de polinomios 184A Multiplicación de un polinomio por un monomio 184
B Multiplicación de dos binomios 185
5.6 División de monomios 187A División de monomios 187
B Notación científi ca 190
5.7 Expresiones verbales y expresiones algebraicas 192A Traducción de expresiones verbales en expresiones
algebraicas 192
B Traducción y simplifi cación de expresiones verbales 195
ContenidoCapítulo 6
Ecuaciones de primer grado 1986.1 Ecuaciones de la forma x + a = b
y ax = b 199A Ecuaciones de la forma x � a � b 199
B Ecuaciones de la forma ax � b 203
6.2 Ecuaciones de la forma ax + b = c 206A Ecuaciones de la forma ax � b � c 206
B Uso de fórmulas conocidas 208
6.3 Ecuaciones generales de primer grado 209A Ecuaciones de la forma a x � b � c x � d 209
B Ecuaciones con paréntesis 211
C Principio de la palanca de Arquímedes 213
6.4 Traducción de expresiones en ecuaciones 215
6.5 El sistema de coordenadas rectangulares 218A El sistema de coordenadas rectangulares 218
B Diagramas de dispersión 222
6.6 Gráfi cas de rectas 224A Solución de ecuaciones lineales con dos variables 224
B Ecuaciones de la forma y � mx � b 227
viii
ix
ContenidoCapítulo 7
Medida y proporción 2327.1 El Sistema Métrico Decimal 233
7.2 Razones y tasas 237
7.3 El Sistema Inglés de Unidades 240A El sistema de unidades acostumbrado en Estados
Unidos 240
B Conversión entre el Sistema Inglés y el Sistema Métrico
Decimal 244
7.4 Proporción 246
7.5 Variación directa e inversa 251A Variación directa 251
B Variación inversa 253
ContenidoCapítulo 8
Porcentajes 2568.1 Porcentajes 257
A Porcentajes como decimales o fracciones 257
B Fracciones y decimales como porcentajes 259
8.2 La ecuación básica de porcentaje 261A La ecuación básica de porcentaje 261
B Problemas de porcentajes utilizando proporciones 265
8.3 Incremento y decremento porcentual 267A Incremento porcentual 267
B Decremento porcentual 269
8.4 Margen de utilidad y descuento 270A Margen de utilidad 270
B Descuento 273
8.5 Interés simple 275
x
xi
ContenidoCapítulo 9
Geometría 2789.1 Introducción a la geometría 279
A Problemas relacionados con líneas y ángulos 279
B Problemas relacionados con ángulos formados por la
intersección de dos rectas 285
C Problemas relacionados con los ángulos de un triángulo 289
9.2 Figuras geométricas planas 291A Perímetro de una fi gura geométrica plana 291
B Área de una fi gura geométrica plana 297
9.3 Triángulos 303A El teorema de Pitágoras 303
B Triángulos semejantes 306
C Triángulos congruentes 310
9.4 Sólidos 312A Volumen de un sólido 312
B Área superfi cial de un sólido 316
ContenidoCapítulo 10
Probabilidad y estadística 32210.1 Organización de datos 323
A Distribuciones de frecuencias 323
B Histogramas 326
C Polígonos de frecuencias 328
10.2 Medidas estadísticas 330A La media, la mediana y la moda de una distribución 330
B Diagramas de caja y brazos 334
C Desviación estándar de una distribución 337
10.3 Introducción a la probabilidad 339 A Probabilidad de eventos simples 339
B Las posibilidades a favor o en contra de un
evento 344
Índice analítico 349
xii
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capítulo 1
1.1 Introducción a los números naturalesA Relaciones de orden entre números naturales
B Valor posicional
C Redondeo
D Gráficas estadísticas
1.2 Suma y resta de números naturalesA Sumar números naturales
B Restar números naturales
C Calcular el perímetro de una figura
1.3 Multiplicación y división de números naturalesA Multiplicar números naturales
B Exponentes
C Dividir números naturales
D Factores y factorización con números primos
E Calcular el perímetro y el área de un cuadrilátero
1.4 Solución de ecuaciones con números naturalesA Resolver ecuaciones
B Convertir un enunciado en una ecuación
1.5 El orden o jerarquía de las operaciones
Los números naturales
1. Menciona la cantidad de ◆ que aparecen a continuación.
◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆
2. Escribe los números del 1 al 10.
1 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 10
3. Relaciona el número con su forma escrita.
a. 4 A. cinco
b. 2 B. uno
c. 5 C. cero
d. 1 D. cuatro
e. 3 E. dos
f. 0 F. tres
4. ¿Cuántas banderas estadounidenses contienen el color verde?
5. Escribe en palabras, no con dígitos, el número de estados de Estados Unidos de América.
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2
Los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . .
Los tres puntos significan que la lista continúa indefinidamente y que no hay un número natural que sea el mayor de todos. Los números naturales también se llaman números cardinales.
Aunque existe cierto debate en cuanto a la inclusión del 0 dentro de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro. Así, los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . incluido el cero.
Así como las distancias se asocian con las marcas que aparecen en el borde de una regla, los números naturales pueden relacionarse con puntos en una recta. Esta recta se llama recta numérica y se ilustra a continuación.
140 2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 11 13
La punta de flecha a la derecha indica que la recta numérica continúa hacia la derecha.
n
En algunos contextos,
en vez de cero, se dice
nada o nulo. La palabra
love, para decir cero en el
marcador de un partido
de tenis, viene del francés
l’oeuf, que signifi ca “el
huevo”.
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OBJETIVO A Relaciones de orden entre números naturales
Introducción a los números naturales1.1
3
Para representar gráficamente un número natural, se coloca un punto grande sobre la recta numérica directamente encima del número. A continuación se ilustra en la recta numérica el 6.
NotAUn símbolo de desigualdad,
o , apunta hacia el número menor. El símbolo se abre hacia el número mayor.
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DEJEMPLO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 3 unidades a la derecha de 4?
Solución 3
0 3 6 9 121 4 7 102 5 8 11
7 está 3 unidades a la derecha de 4.
DINTÉNTALO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 4 unidades a la izquierda de 11?
Tu solución
DEJEMPLO 2 Escribe entre los dos números el símbolo correcto, � o �.
a. 38 � 23 b. 0 � 54
Solución a. 38 � 23 b. 0 � 54
DINTÉNTALO 2 Escribe entre los dos números el símbolo correcto, � o �.
a. 47 � 19 b. 26 � 0
Tu solución
140 2 4 6 8 10 121 3 5 7 9 11 13
En la recta numérica los números son mayores a medida que nos movemos de izquierda a derecha y, a la inversa, los números son menores a medida que nos desplazamos de derecha a izquierda. Por tanto, la recta numérica se utiliza para visualizar la relación de orden entre dos números naturales.
Un número que aparece a la derecha de otro número determinado es mayor que ese número. El símbolo > significa es mayor que.
8 está a la derecha de 3. 140 3 6 9 121 4 7 10 132 5 8 118 es mayor que 3.
8 � 3
Un número que aparece a la izquierda de otro número determinado es menor que ese número. El símbolo < significa es menor que.
5 está a la izquierda de 12. 140 3 6 9 121 4 7 10 132 5 8 115 es menor que 12.
5 � 12
Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas. 8 � 3 y 5 � 12 son desigualdades.
4 C a p í t u l o 1 : L o s n ú m e r o s n a t u r a l e s
DPRÁCTICA
Relaciones de orden entre números naturales
1. Llena el espacio en blanco con � o �: en la recta numérica, 2 está a la izquierda de 8, por tanto, 2 8.
Localiza en la recta numérica el número.
2. 10
0 3 6 9 121 4 7 102 5 8 11
Indica qué número está en la recta numérica
3. 4 unidades a la izquierda de 9. 4. 3 unidades a la derecha de 2.
Escribe entre los dos números el símbolo correcto, , o ..
5. 27 39 6. 0 52 7. 61 0 8. 4,610 4,061
Escribe los números dados ordenándolos del menor al mayor.
9. 21, 14, 32, 16, 11 10. 377, 370, 307, 3,700, 3,077
OBJETIVO B Valor posicionalCuando un número natural se escribe con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, se dice que está en forma entera o forma normal. La posición de cada dígito en el número determina el valor posicional de ese dígito. El siguiente diagrama muestra una gráfica de valores posicionales que indica los primeros doce valores posicionales. La cifra 64,273 está en forma entera y se ha escrito en la gráfica.
En el número 64,273, la posición del dígito 6 determina que su valor posicional es el de las decenas de millar.
Cuando un número se escribe en forma entera, cada grupo de dígitos se separa por una coma y se llama periodo. El número 5,316,709,842 tiene cuatro periodos. Los nombres de los periodos se muestran en magenta en la gráfica anterior de valores posicionales.
Para escribir un número en palabras, se empieza a partir de la izquierda. Se menciona el número en cada periodo y luego se escribe el nombre del periodo en lugar de la coma.
5,316,709,842 se lee “cinco mil trescientos dieciséis millones setecientos nueve mil ochocientos cuarenta y dos”.
Unidad
es
Decen
as
Centen
as
Unidad
es de
mill
ar
Decen
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mill
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mill
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Unidad
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Decen
as de
milla
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illón
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as de
milla
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illón
37246
pf
Edp
Ccl
Pn
Para representar los números,
los romanos utilizaban M para
indicar 1,000, D para 500, C
para 100, L para 50, X para 10,
V para 5 y I para 1. Por ejemplo,
MMDCCCLXXVI representaba
el número 2,876. Los romanos
representaban así cualquier
número, hasta el más grande
que necesitaran en su vida
cotidiana, excepto el cero.© T
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S e c c i ó n 1 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s 5
Para escribir con dígitos un número natural, escribe el número que se menciona en cada periodo y sustituye el nombre de cada periodo por una coma.
Seis millones cincuenta y un mil ochocientos setenta y cuatro se escribe 6,051,874. El cero se utiliza como indicador de posición de las centenas de millar.
El número natural 37,286 se puede escribir con notación desarrollada como
30,000 � 7,000 � 200 � 80 � 6
Para determinar la notación desarrollada de un número, se puede utilizar la gráfica de valores posicionales.
68273
Unidad
es
Decen
as
Centen
as
Unidad
es de
mill
ar
Decen
as de
mill
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Centen
as de
mill
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Unidad
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Decen
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mill
ón
Unidad
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mill
ón
Decen
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milla
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illón
3Decenas de millar
�
7Unidades de millar
�
2Centenas �
8Decenas �
6Unidades
30,000 � 7,000 � 200 � 80 � 6
Escribe con notación desarrollada el número 510,409.
904015
Unidad
es
Decen
as
Centen
as
Unidad
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mill
ar
Decen
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mill
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Centen
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5Centenas de millar
�
1Decenade millar
�
0Unidades de millar
�
4Centenas �
0Decenas �
9Unidades
500,000 � 10,000 � 0 � 400 � 0 � 95 500,000 1 10,000 1 400 1 9
DEJEMPLO 3 Escribe con números cuatrocientos seis mil nueve.
Solución 406,009
DINTÉNTALO 3 Escribe con números novecientos veinte mil ocho.
Tu solución
DEJEMPLO 4 Escribe con notación desarrollada 32,598.
Solución 30,000 1 2,000 1 500 1 90 1 8
DINTÉNTALO 4 Escribe con notación desarrollada 76,245.
Tu solución
6 C a p í t u l o 1 : L o s n ú m e r o s n a t u r a l e s
DPRÁCTICA
Escribe con palabras el número.
11. 508 12. 4,790 13. 48,297 14. 246,053
Escribe con notación desarrollada el número.
15. cuatrocientos noventa y seis 16. quinientos dos mil ciento cuarenta
17. cinco millones doce mil novecientos siete 18. ocho millones cinco mil diez
Escribe con notación desarrollada el número.
19. 7,245 20. 402,708
Cuando la distancia al sol se da como 93,000,000 millas, el número representa una aproximación a la verdadera distancia. Se llama redondeo a asignar un valor aproximado en lugar de un número exacto. El número se redondea a un determinado valor posicional.
48 está más cerca de 50 que de 40. 48 redondeado a la decena más cercana es 50.
4,872 redondeado a la decena más cercana es 4,870.
4,872 redondeado a la centena más cercana es 4,900.
Para redondear un número a un valor posicional dado sin usar la recta numérica, se toma en cuenta el primer dígito a la derecha del valor posicional dado.
Redondea 12,743 a la centena más cercana.
Valor posicional dado
12,743
4 , 5
12,743 redondeado a la centena más cercana es 12,700.
Redondea 46,738 al millar más cercano.
Valor posicional dado
46,738
7 . 5
46,738 redondeado al millar más cercano es 47,000.
40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
4,870 4,872 4,874 4,876 4,878 4,880
4,800 4,820 4,840 4,860 4,880 4,900
NotASi el dígito a la derecha del valor
posicional dado es menor que 5,
sustituye por ceros ese y todos los
dígitos a la derecha de éste.
OBJETIVO C Redondeo
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o.co
m
Si el dígito a la derecha del valor
posicional dado es mayor que o
igual a 5, suma 1 al dígito que se
encuentra en el valor posicional
dado y sustituye por ceros todos los
demás dígitos a la derecha.
S e c c i ó n 1 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s 7
Redondea 29,873 al millar más cercano
Valor posicional dado
29,873
8 . 5 Para redondear, se suma 1 al 9 (9 1 1 5 10).Lleva el 1 al lugar de las decenas de millar (2 1 1 5 3).
29,873 redondeado al millar más cercano es 30,000.
Aviación La velocidad de crucero de un Boeing 747 es de 589 mph. ¿Cuál es
la velocidad de crucero de un Boeing 747 redondeada a la decena de millas por
hora más cercana?
DEJEMPLO 5 Redondea 435,278 a la decena de millar más cercana.
Solución
Valor posicional dado
435,278
5 5 5 435,278 redondeado a la decena de millar
más cercana es 440,000.
DINTÉNTALO 5 Redondea 529,374 a la decena de millar más cercana.
Tu solución
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com
DPRÁCTICA
Redondea el número al valor posicional dado.
21. 7,108; decenas 22. 4,962; centenas 23. 28,551; centenas
24. 5,326; unidades de millar 25. 389,702; unidades de millar 26. 352,876; decenas de millar
8 C a p í t u l o 1 : L o s n ú m e r o s n a t u r a l e s
Fortuna (en decenas de millar de millón de dólares)
Bill Gates
Warren Buff ett
Larry Ellison
Jim Walton
S. Robson Walton
Fuente: www.Forbes.com
Figura 1.1 Fortuna de los mayores multimillonarios de Estados Unidos
OBJETIVO D Gráficas estadísticasLas gráficas son imágenes que proporcionan una representación de datos. La ventaja de las gráficas es que muestran la información de manera muy fácil de leer.
Un pictograma utiliza símbolos para representar información. El símbolo elegido tiene relación, por lo general, con los datos que representa.
La figura 1.1 representa la fortuna de los mayores multimillonarios de Estados Unidos. Cada símbolo representa diez mil millones de dólares.
En el pictograma de la figura 1.1, vemos que Bill Gates y Warren Buffett tienen la mayor fortuna. La fortuna de Warren Buffett es 30,000 millones de dólares mayor que la de Larry Ellison.
Una familia típica en Estados Unidos obtiene un ingreso promedio en dólares, después de impuestos, de $40,550. La gráfica circular de la figura 1.2 representa cómo se gasta este ingreso anual. El círculo completo representa la cantidad total, $40,550. Cada sector del círculo representa la cantidad gastada en un rubro específico.
En la gráfica circular observamos que la cantidad mayor se gasta en vivienda. Además, la cantidad que se gasta en comida ($5,793) es menor que la cantidad que se gasta en transporte ($7,034).
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Figura 1.2 Gasto anual promedio de una familia estadounidense
Vivienda$12,827
Transporte$7,034Comida
$5,793
Otros$4,551
Ropa$2,483
Atenciónmédica$2,069
Entretenimiento$2,069
Seguro y pensiones$3,724
Fuente: American Demographics
S e c c i ó n 1 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s n a t u r a l e s 9
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capítulo 2
Los números enterosExamen de preparaciónResuelve este examen rápido para ver si recuerdas el material del capítulo anterior, el cual necesitas conocer para seguir adelante. En los ejercicios 3 a 6 suma, resta, multiplica o divide.
2.1 Introducción a los números enterosA Los números enteros y la recta numérica
B Opuestos
C Valor absoluto
D Números enteros negativos
2.2 Suma y resta de números enterosA Sumar números enteros
B Restar números enteros
2.3 Multiplicación y división de números enterosA Multiplicar números enteros
B Dividir números enteros
2.4 Solución de ecuaciones con números enterosA Resolver ecuaciones
B Convertir un enunciado en una ecuación
2.5 El orden o jerarquía de las operaciones
1. Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.
54 45
2. ¿Qué distancia hay de 4 a 8 en la recta numérica?
3. 7,654 1 8,193
4. 6,097 2 2,318
5. 472 3 56
6. 144 4 24
7. Resuelve: 22 5 y 1 9
8. Resuelve: 12b 5 60
9. ¿Qué precio debe tener un monopatín que le cuesta a la tienda $129 y se quiere tener un margen de utilidad de $42? Utiliza la fórmula P 5 C 1 M, donde P es el precio del producto que paga el consumidor, C el costo que paga la tienda por el producto y M el margen de utilidad.
10. Simplifica: 18 2 6 2 2 1 12 4 4 # 32
¿Necesitas ayuda?Para obtener recursos de estudio en línea, como ejercicios de repaso, visita el sitio web de PREALG en http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg
50
OBJETIVO A Los números enteros y la recta numérica
Introducción a los números enteros2.1
números Positivos y negativosUn número n es positivo si n . 0.Un número n es negativo si n , 0.
En el capítulo 1 hablamos sólo del cero y los números mayores que cero. En este capítulo se introducen los números menores que cero. Las frases como “7 grados bajo cero”, “$50 en deuda” y “20 metros bajo el nivel del mar” se refieren a números menores que cero.
Los números mayores que cero se llaman números positivos. Los números menores que cero se llaman números negativos.
51
Para indicar un número positivo, se puede colocar antes del número un signo más (�). Por ejemplo, podemos escribir �4 en lugar de 4. Sin embargo, por lo general, el signo más se omite y se sobrentiende que el número es positivo.
Para indicar un número negativo, se coloca antes del número un signo menos o negativo (�) . El número �1 se lee “menos uno”, �2 se lee “menos dos”, etcétera.
La recta numérica se extiende a la izquierda del cero para indicar números negativos.
57 73 42 616 5 4 3 1 02
Los números enteros son . . . �4, �3, �2, �1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . Los número enteros a la derecha del cero son los enteros positivos. Los número enteros a la izquierda de cero son enteros negativos. El cero es un número entero, pero no es positivo ni negativo. El punto correspondiente a 0 en la recta numérica se llama origen.
En la recta numérica, los números se hacen mayores a medida que avanzamos de izquierda a derecha. Por el contrario, los números se hacen menores a medida que avanzamos de derecha a izquierda. Por tanto, se puede utilizar la recta numérica para visualizar la relación de orden entre dos número enteros.
Un número que aparece a la derecha de un número dado es mayor que (�) dicho número. Un número que aparece a la izquierda de un número dado es menor que (�) dicho número.
2 está a la derecha de �3 en la recta numérica.2 es mayor que �3.2 . 23 4 3 1 0 1 2 3 42
�4 está a la izquierda de 1 en la recta numérica.�4 es menor que 1.24 , 1
relaciones de ordena . b si a está a la derecha de b en la recta numérica.a , b si a está a la izquierda de b en la recta numérica.
Inversiones En el mercado de valores, el cambio neto en el precio de
una acción se escribe como un número positivo o negativo. Si el precio
aumenta, el cambio neto es positivo. Si el precio disminuye, el cambio neto es
negativo. Si el cambio neto de la acción A es �2 y el cambio neto de la acción B
es �1, ¿qué acción registró el menor cambio neto?©
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52 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
DEJEMPLO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 5 unidades a la derecha de �2?
Solución
24 23 22 21 0 1 2 3 4
5 unidades
3 está 5 unidades a la derecha de �2.
DINTÉNTALO 1 En la recta numérica, ¿qué número está 4 unidades a la izquierda de 1?
Tu solución
DEJEMPLO 2 Si G es 2 e I es 4, ¿qué números son B y D?
A B C D E F G H I
Solución 4 3 2 1 0 1 2 3 4
B es �3 y D es �1.
DINTÉNTALO 2 Si G es 1 y H es 2, ¿qué números son A y C?
A B C D E F G H I
Tu solución
DEJEMPLO 3 Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.
a. �3 � �1 b. 1 � �2
Solución a. �3 está a la izquierda de �1 en la recta numérica.
23 , 21 b. 1 está a la derecha de �2 en la recta
numérica. 1 . 22
DINTÉNTALO 3 Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.
a. 2 � �5 b. �4 � 3
Tu solución
DEJEMPLO 4 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.
5, �2, 3, 0, �6
Solución �6, �2, 0, 3, 5
DINTÉNTALO 4 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.
�7, 4, �1, 0, 8
Tu solución
S e c c i ó n 2 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s e n t e r o s 53
OBJETIVO B Opuestos
DPRÁCTICA
Localiza en la recta numérica el número.
1. �6 2. x, para x 5 24
0 1 2 3 4 5 6 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 26 25 24 23 22 21
En la recta numérica, qué número está:
3. 3 unidades a la derecha de �2. 4. 4 unidades a la izquierda de 3. 5. 2 unidades a la izquierda de �1.
Coloca entre los dos números el símbolo correcto, � o �.
6. 21 �34 7. �27 �39 8. �51 �20
Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.
9. 3, 27, 0, 22 10. 210, 4, 12, 25, 27
La distancia de 0 a 3 en la recta numérica es de 3 unidades. La distancia de 0 a �3 en la recta numérica es de 3 unidades. 3 y �3 están a la misma distancia de 0 en la recta numérica, sólo que 3 está a la derecha de 0 y �3 está a la izquierda de 0.
Dos números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en lados opuestos de cero se llaman opuestos.
�3 es el opuesto de 3 y 3 es el opuesto de �3.
Para cualquier número n, el opuesto de n es �n y el opuesto de �n es n.
Ahora podemos definir los números enteros como los números naturales y sus opuestos.
Un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.
2(3) 5 23 El opuesto de 3 positivo es 3 negativo.
2(23) 5 3 El opuesto de 3 negativo es 3 positivo.
Por tanto, 2(a) 5 2a y 2(2a) 5 a.
Observa que con la introducción de los enteros negativos y los opuestos, los símbolos � y � se pueden leer de diferentes maneras.
3
0 31 223 1
3L
n
D
P
A
Nota sobre el uso de calculadoras
La tecla ��� de la calculadora se utiliza para encontrar el opuesto de un número. La tecla � se utiliza para realizar la operación de resta.
54 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
6 1 2 “seis más dos” � se lee “más”
�2 “dos positivo” � se lee ”positivo”
6 2 2 “seis menos dos” � se lee ”menos”
22 “menos dos” � se lee ”menos”
2(26) “el opuesto de seis negativo” � se lee primero como “el opuesto de” y luego “negativo”
Cuando los símbolos � y � indican las operaciones de suma y resta, se insertan espacios antes y después del símbolo. Cuando los símbolos � y � indican el signo de un número (positivo o negativo), no hay ningún espacio entre el símbolo y el número.
DEJEMPLO 5 Encuentra el número opuesto.
a. �8 b. 15 c. a
Solución a. 8 b. �15 c. �a
DINTÉNTALO 5 Encuentra el número opuesto.
a. 24 b. �13 c. �b
Tu solución
DEJEMPLO 6 Escribe con palabras la expresión.
a. 7 2 (29) b. 24 1 10
Solución a. siete menos, menos nueve b. menos cuatro más diez
DINTÉNTALO 6 Escribe con palabras la expresión.
a. 23 2 12 b. 8 1 (25)
Tu solución
DEJEMPLO 7 Simplifi ca.
a. 2(227) b. 2(2c)
Solución a. 2(227) 5 27 b. 2(2c) 5 c
DINTÉNTALO 7 Simplifi ca.
a. 2(259) b. 2(y)
Tu solución
DPRÁCTICA
Encuentra el opuesto del número.
11. �31 12. c 13. �w
Escribe con palabras la expresión.
14. 5 1 (210) 15. 6 2 (27) 16. 9 2 12 17. 213 2 8
Simplifi ca.
18. 2(27) 19. 2(46) 20. 2(2m)
S e c c i ó n 2 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s e n t e r o s 55
valor absolutoEl valor absoluto de un número positivo es positivo. 0 5 0 5 5
El valor absoluto de un número negativo es positivo. 025 0 5 5
El valor absoluto de cero es cero. 0 0 0 5 0
3
0 31 42234 1
Evalúa 2 0 7 0 .El signo negativo está antes del símbolo de valor absoluto.
Recuerda que un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.
Por tanto, 2 0 7 0 se puede leer como “el opuesto del valor absoluto de 7”.
2 0 7 0 5 27©
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DEJEMPLO 8 Evalúa a. 0227 0 y b. 2 0214 0 . Solución a. 0227 0 5 27
b. 2 0214 0 5 214
DINTÉNTALO 8 Evalúa a. 0 0 0 y b. 2 0 35 0 . Tu solución
OBJETIVO C Valor absolutoEl valor absoluto de un número es la distancia de cero al número en la recta numérica. La distancia nunca es un número negativo. Por tanto, el valor absoluto de un número es un número positivo o cero. El símbolo de valor absoluto es “ 0 0 .”La distancia de 0 a 3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 0 3 0 5 3 (el valor absoluto de 3 es 3).
La distancia de 0 a �3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 023 0 5 3 (el valor absoluto de �3 es 3).
Debido a que la distancia de 0 a 3 y la distancia de 0 a �3 son iguales0 3 0 5 023 0 5 3.
3
0 31 42234 1
NotaEn el ejemplo anterior es importante notar que el signo negativo aparece antes del símbolo de valor absoluto.
Esto significa que –⏐7⏐ = –7, pero
⏐–7⏐ = 7.
56 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
DEJEMPLO 9 Evalúa 02x 0 para x 5 24.
Solución 02x 0 5 02(24) 0 5 0 4 0 5 4
DINTÉNTALO 9 Evalúa 02y 0 para y 5 2.
Tu solución
DEJEMPLO 10 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.
027 0 , 25, 0 0 0 , 2(24), 2 023 0 Solución 027 0 5 7, 0 0 0 5 0, 2(24) 5 4, 2 023 0 5 23 25, 2 023 0 , 0 0 0 , 2(24), 027 0
DINTÉNTALO 10 Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.
0 6 0 , 022 0 , 2(21), 24, 2 028 0 Tu solución
DPRÁCTICA
Encuentra el valor absoluto del número.
21. �4 22. 9
Evalúa.
23. 0223 0 24. 2 0 33 0
Coloca entre los dos números el símbolo correcto, ,, 5 o ..
25. 0212 0 0 8 0 26. 0214 0 0 14 0
Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.
27. 028 0 , 2(23), 0 2 0 , 2 025 0 28. 2 0 6 0 , 2(4), 027 0 , 2(29)
29. Encuentra los valores de a para los que 0 a 0 5 7. 30. Dado que x es un número entero, encuentra todos los valores de x para los que 0 x 0 , 5.
OBJETIVO D Números enteros negativosLos datos que se representan por números negativos en una gráfica de barras se muestran debajo del eje horizontal. Por ejemplo, la figura 2.1 en la página siguiente muestra las temperaturas más bajas registradas, en grados Fahrenheit, en algunos estados de Estados Unidos. La temperatura más baja registrada en Hawai es de 12 ºF, que es un número positivo, por lo que la barra que representa esa temperatura está por encima del eje horizontal. Las barras que corresponden a los demás estados aparecen por debajo del eje horizontal y, por tanto, representan números negativos.
S e c c i ó n 2 . 1 : I n t r o d u c c i ó n a l o s n ú m e r o s e n t e r o s 57
DEJEMPLO 11
¿Qué temperatura es más fría, �18 F o �15 F?
Estrategia
Para determinar la temperatura más fría, compara los números �18 y �15. El número menor corresponde a la temperatura más fría.
Solución
218 , 215
La temperatura más baja es �18 F.
DINTÉNTALO 11
¿Qué está más cerca del despegue, �9 segundos y contando o �7 segundos y contando?
Tu estrategia
Tu solución
DPRÁCTICA
31. Negocios Algunas empresas registran la utilidad con un número positivo y la pérdida con un número negativo. Durante el primer trimestre de este año, la pérdida que obtuvo una empresa se registró como �12,575. Durante el segundo trimestre de este año, la pérdida experimentada por la empresa fue de �11,350. ¿En qué trimestre fue mayor la pérdida?
32. Negocios Algunas empresas registran la utilidad con un número positivo y la pérdida con un número negativo. Durante el tercer trimestre del año pasado, la pérdida que obtuvo una empresa se registró como �26,800. Durante el cuarto trimestre del año pasado, la pérdida experimentada por la empresa fue de �24,900. ¿En qué trimestre fue mayor la pérdida?
Figura 2.1 Temperaturas más bajas registradas
260
250
240
230
220
210
0
10
20
Gra
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240
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22
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En la gráfica podemos ver que el estado que tiene la temperatura más baja registrada es Nueva York, con una temperatura de �52 F.
ara los onde a la
LO 11
¿Qué está más cerca del despegue, �9 segundos y contando o �7 segundos y contando?
Tu estrategia
Tu solución
idad con un número positivo y la pérdida con unde este año, la pérdida que obtuvo una empresa semestre de este año, la pérdida experimentada por lamayor la pérdida?
con un número positivo y la pérdida con un o pasado, la pérdida que obtuvo una empresa tre del año pasado, la pérdida experimentada ue mayor la pérdida?
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58 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
Suma y resta de números enteros2.2
OBJETIVO A Sumar números enterosUn número entero no sólo puede representarse en la recta numérica, sino que es posible representarlo con una flecha en cualquier parte a lo largo de una recta numérica. Un número positivo se representa con una flecha apuntando a la derecha. Un número negativo se representa con una flecha apuntando a la izquierda. El valor absoluto del número se representa por la longitud de la flecha. Los números enteros 5 y �4 se muestran en la recta numérica de la figura siguiente:
0 3 6 91 4 72 5 8
+5 4
–2–3–4 –1–5–7–8–9 –6
La suma de dos números enteros se puede mostrar en la recta numérica. Para sumar dos números enteros, encuentra el punto en la recta numérica que corresponde al primer sumando. En ese punto dibuja una flecha que represente el segundo sumando. La suma es el número que se encuentra directamente debajo de la punta de la flecha.
4 1 2 5 6
+2
0 3 61 4 72 5234 157 6
24 1 (22) 5 26
2
0 3 61 4 72 5234 157 6
24 1 2 5 22
+2
0 3 61 4 72 5234 157 6
4 1 (22) 5 2
2
0 3 61 4 72 5234 157 6
Las sumas que se presentan arriba se categorizan por los signos de los sumandos.
Los sumandos tienen el mismo signo.
4 1 2 4 positivo más 2 positivo 24 1 (22) 4 negativo más 2 negativo
Los sumandos tienen signos diferentes.
24 1 2 4 negativo más 2 positivo 4 1 (22) 4 positivo más 2 negativo
La regla para sumar dos números enteros depende de si los signos de los sumandos son iguales o diferentes.
S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 59
Suma: (24) 1 (29)
Los signos de los sumandos son iguales.Suma los valores absolutos de los números.024 0 5 4, 029 0 5 9, 4 1 9 5 13Escribe el signo de los sumandos.(Los dos sumandos son negativos.La suma es negativa.) (24) 1 (29) 5 213
Suma: 214 1 (247)
Los signos son iguales.Suma los valores absolutos de los númerosEscribe el signo de los sumandos. 214 1 (247) 5 261
Suma: 6 1 (213)
Los signos de los sumandos son diferentes.Encuentra los valores absolutos de los números.0 6 0 5 6, 0213 0 5 13Resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor.
13 2 6 5 7Escribe el signo del número con el valor absoluto mayor.0213 0 . 0 6 0 . Escribe el signo negativo. 6 1 (213) 5 27
Suma: 162 1 (2247)
Los signos son diferentes. Encuentra la diferencia entre los valores absolutos de los números.
247 2 162 5 85Escribe el signo del número con el valor absoluto mayor. 162 1 (2247) 5 285
Suma: 28 1 8
Los signos son diferentes. Encuentra la diferencia entre los valores absolutos de los números.
8 2 8 5 0 28 1 8 5 0
regla para sumar dos números enterosPara sumar dos números enteros con el mismo signo, suma los valores absolutos de los números. Luego escribe el signo de los sumandos.
Para sumar dos números enteros con signos diferentes, encuentra los valores absolutos de los números. Resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. Luego escribe el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto.
S
S
Nota sobre el uso de calcualdoras
Para sumar 214 1 (247) en la calculadora, ingresa lo siguiente:
14 ��� � 47 ��� �
�14 �47
60 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
propiedad del inverso aditivoLa suma de un número y su inverso aditivo es siempre cero.
Observa que en este último ejemplo sumamos un número y su opuesto (�8 y 8), y la suma es 0. El opuesto de un número se llama inverso aditivo. El opuesto o inverso aditivo de �8 es 8, y el opuesto o inverso aditivo de 8 es �8.
Las propiedades de la suma que se presentaron en el capítulo 1 son válidas para los números enteros y para los números naturales. Estas propiedades se repiten en seguida, junto a la propiedad del inverso aditivo.
Propiedad del neutro aditivo
a 1 0 5 ao
0 1 a 5 a
Propiedad conmutativa de
la suma
a 1 b 5 b 1 a
Propiedad asociativa de
la suma(a 1 b) 1 c 5
a 1 (b 1 c)
Propiedad del inverso aditivo
a 1 (2a) 5 0 o
2a 1 a 5 0
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Con las propiedades conmutativas, el orden en que aparecen los números cambia. Con las propiedades asociativas, el orden en que aparecen los números no cambia.
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Suma: (24) 1 (26) 1 (28) 1 9 (24) 1 (26) 1 (28) 1 9
Suma los primeros dos números. 5 (210) 1 (28) 1 9
Suma la suma al tercer número. 5 (218) 1 9
Continúa hasta que hayas sumado todos los números. 5 29
El precio de las acciones de Byplex Corporation disminuyó cada día que hubo operaciones en la bolsa en la primera semana de junio de 2009. Utiliza la figura 2.2 para encontrar el cambio en el precio de las acciones de Byplex durante esa semana.
Suma los cinco cambios del precio.
22 1 (23) 1 (21) 1 (22) 1 (21)5 (25) 1 (21) 1 (22) 1 (21)5 26 1 (22) 1 (21)5 28 1 (21) 5 29
El cambio en el precio fue de �9.
Esto significa que el precio de las acciones disminuyó $9 por acción.
En el ejemplo de la derecha, comprueba que la suma es igual si los números se
suman en orden diferente.
Figura 2.2 Cambio en el precio de las acciones de Byplex Corporation
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STOCK488R/T10
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S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 61
DEJEMPLO 12 Suma: 297 1 (245)
Solución 297 1 (245) 5 2142
DINTÉNTALO 12 Suma: 238 1 (262)
Tu solución
DEJEMPLO 13 Suma: 81 1 (279)
Solución 81 1 (279) 5 2
DINTÉNTALO 13 Suma: 47 1 (253)
Tu solución
DEJEMPLO 14 Suma: 42 1 (212) 1 (230)
Solución 42 1 (212) 1 (230) 5 30 1 (230) 5 0
DINTÉNTALO 14 Suma: 236 1 17 1 (221)
Tu solución
DEJEMPLO 15 ¿Cuánto es �162 más 98?
Solución 2162 1 98 5 264
DINTÉNTALO 15 Realiza la suma de �154 y �37.
Tu solución
DEJEMPLO 16 Evalúa 2x 1 y para x 5 211 y y 5 22.
Solución 2x 1 y 2(211) 1 (22) 5 11 1 (22) 5 9
DINTÉNTALO 16 Evalúa 2x 1 y para x 5 23 y y 5 210.
Tu solución
Evalúa 2x 1 y para x 5 215 y y 5 25.
Sustituye x por �15 y y por �5.Simplifica 2(215).
Suma.
2x 1 y
2(215) 1 (25)
5 15 1 (25)
5 10
x 1 4 5 23
27 1 4 23
23 5 23
DEJEMPLO 17
Calcula la temperatura después de un aumento de 8 °C desde �5 �C.
Estrategia
Para calcular la temperatura, suma el aumento (8) a la temperatura anterior (�5).
Solución
25 1 8 5 3La temperatura es 3 �C.
DINTÉNTALO 17
Calcula la temperatura después de un aumento de 10 °C desde �3 �C.
Tu estrategia
Tu solución
¿Es �7 la solución de la ecuación x 1 4 5 23?
Sustituye x por �7 y luego simplifica.
Los resultados son iguales.
�7 es la solución de la ecuación.
62 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
OBJETIVO B Restar números enteros
DPRÁCTICA
Suma.
33. 26 1 (29) 34. 214 1 (23) 1 7 1 (26)
35. Realiza la suma de 5, �16 y �13. 36. Escribe el total de 2a y b.
Evalúa la expresión para los valores dados de las variables.
37. 2a 1 b, para a 5 28 y b 5 23 38. a 1 b 1 c, para a 5 24, b 5 6 y c 5 29
Resuelve.
39. ¿Es �6 la solución de la ecuación 6 5 12 1 n? 40. ¿Es �8 la solución de la ecuación 27 1 m 5 215?
41. Calcula la temperatura después de un aumento de 9 °C desde �6 °C.
Antes de explicar las reglas de la resta de dos números enteros, examina la conversión en palabras de las expresiones que representan la diferencia de dos números enteros.
9 2 3 9 positivo menos 3 positivo
29 2 3 9 negativo menos 3 positivo
9 2 (23) 9 positivo menos 3 negativo
29 2 (23) 9 negativo menos 3 negativo
Observa que el signo 2 se utiliza de dos maneras diferentes. Una es como signo negativo, como en 29 (9 negativo). La segunda es para indicar la operación de resta, como en 9 2 3 (9 menos 3).
Examina las siguientes cuatro expresiones y decide si el segundo número de cada expresión es un número positivo o un número negativo.
1. (210) 2 8 2. (210) 2 (28) 3. 10 2 (28) 4. 10 2 8
En las expresiones 1 y 4, el segundo número es 8 positivo. En las expresiones 2 y 3, el segundo número es 8 negativo.
S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 63
regla para la resta de dos números enterosPara restar dos números enteros, suma el opuesto del segundo al primer entero.
Los opuestos se utiliza para reescribir problemas de resta como problemas de suma relacionados. A continuación, observa que la resta de un número natural es lo mismo que la suma del número opuesto.
Resta Suma del opuesto
8 2 4 � 8 1 (24) � 4
7 2 5 � 7 1 (25) � 2
9 2 2 � 9 1 (22) � 7
La resta de números enteros se puede escribir como la suma del número opuesto. Para restar dos número enteros, reescribe la expresión de resta como el primer número más el opuesto del segundo número. A continuación se presentan varios ejemplos:
primernúmero �
segundonúmero �
primernúmero �
opuesto
del segundo
número
8 � 15 � 8 � (�15) � � 7
8 � (�15) � 8 � 15 � 23
�8 � 15 � �8 � (�15) � �23
�8 � (�15) � �8 � 15 � 7
Resta: (215) 2 75
Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 75 es �75.Suma.
Resta: 6 2 (220)
Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de �20 es 20.Suma.
(215) 2 755 (215) 1 (275)
5 290
6 2 (220)5 6 1 205 26
© M
arie
-fran
ce B
élan
ger/
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ckph
oto.
com
64 C a p í t u l o 2 : L o s n ú m e r o s e n t e r o s
Resta: 11 2 42
Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 42 es �42.Suma.
Nota sobre el uso de calculadorasPara restar �13 � 5 � (�8) con la calculadora, teclea lo siguiente:
13 ��� � 5 � 8 ��� �
�13 �8
11 2 42
5 11 1 (242)5 231
NotA42 � 11 � 3111 � 42 � �31
La operación de resta no es conmutativa.
Resta: 213 2 5 2 (28)
Reescribe cada resta como la suma del opuesto.
Suma.
213 2 5 2 (28)5 213 1 (25) 1 85 218 1 85 210
Simplifica: 214 1 6 2 (27)
Este problema contiene operaciones tanto de suma como de resta. Reescribe la resta como la suma del opuesto.Suma.
214 1 6 2 (27)5 214 1 6 1 75 28 1 75 21
¿Es �4 la solución de la ecuación 3 2 a 5 11 1 a?
Sustituye a por �4 y luego simplifica.
Los resultados son iguales.
3 2 a 5 11 1 a 3 2 (24) 11 1 (24)
3 1 4 7 7 5 7
Sí, 24 es la solución de la ecuación.
Evalúa a 2 b para a 5 22 y b 5 29.
Sustituye a por �2 y b por �9.Reescribe la resta como la suma del opuesto.Suma.
a 2 b22 2 (29)5 22 1 95 7
DEJEMPLO 18 Resta: 212 2 (217)
Solución 212 2 (217) 5 212 1 17 5 5
DINTÉNTALO 18 Resta: 235 2 (234)
Tu solución
Por la propiedad conmutativa de la suma, el orden en que se suman dos números no afecta la suma; a 1 b 5 b 1 a. Sin embargo, en este último ejemplo observa que el orden en que se restan dos números sí afecta la diferencia.
Cuando la resta ocurre varias veces en una expresión, reescribe cada resta como la suma del opuesto y luego suma.
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S e c c i ó n 2 . 2 : S u m a y r e s t a d e n ú m e r o s e n t e r o s 65
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