Post on 04-Jul-2020
1
Introducción Matemática
• Rotaciones en R3
• Rotaciones relativas de ternas de referencia • Distintas representaciones de la orientación de un cuerpo
– MCD– Eje de Euler– Ángulos de Euler– Cuaterniones
• Ecuaciones dinámicas (diferenciales) de la actitud• Ecuación diferencial del ángulo rotado o ecuación del “coneo”
2
Introducción Matemática 1
Rotaciones en R3 alrededor de un eje instantáneo de velocidad angular ω(t)
0( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( );ot t t t t t t= ⇒ = ×p p p ω pR
Y en coordenadas…
( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) (1)a a a a at t t t t= × =p ω p S ω p
3 23 3x3
3 1
2 1
0( ) : 0
0
−⎡ ⎤⎢ ⎥→ ≡ −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
S αα α
α αα α
0 0 0 0 0 0( ) ( , ) ( ); ( , ) ( ( )) ( , ); ( , )a a a a a a at t t t t t t t t t t= = =p C p C S ω C C I
3
0
0 0 0
: Propiedad En cualquier sistema de coordenadas "a" ( , ) es una matriz autoadjunta t .
t, ( ( , )) ( , ) ; ( , )
a
a T a a
t t
t t t t t t⇒
∀
∀ = ∀ ∈ =⇒
C
C C I p C p p
ω(t)
p
v=ω(t)×p
O
a3
a2a1
La solución de la ED (1) es:
3
Introducción Matemática 2
Corresponden a rotaciones en R3
Det (C) =Det (C) T = 1
[ ] [ ]1 2 3 2 3 3 1 1 2
1 2 3 2 3 1 3 1 2
( ); ;adj= = = × × ×
⇒ = × = × = ×
C c c c C c c c c c cc c c c c c c c c
3 3Sean , y una rotación en , entonces: )y en coordenadas de una terna " ": )a a a a a a a
× = ×
× = ×
u v u v u va C u v C u C v
R R( R R
(
3
Usando la notación: ( )) ( )( ) ( ) ( ) ;
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
a a a a
a a a a a a a a a a a
a a a a a T a a a a
a a T a a a a a a a a T
× =
× = × =
× = = ∀ ∈
⇒ = ⇒ =
u v S u vC u v C u C v S C u C vu v S u v C S C u C v vS u C S C u C S C u C S u C
(
Propiedades de las matrices autoadjuntas; i.e.: (CTC=I => C-1=CT =>C=adj(C))
4
Introducción Matemática 3Rotación de una terna ortonormal derecha respecto de otra fija: Definiciones
( ) es el vector velocidad angular instantáneo de la terna
respecto de la terna
Definición 1
Definición 2 expresado en coordenadas de .
( ) al ángulo vectorial para ir de la terna a
aab
aba
t
t
: ω b
a a:
θ a la terna en el instante t.
( )Sea ( ( )); con ( ) 0 ( )a
ababa o o
t t t t⎯⎯⎯⎯→ = ⇒ ≡
b
θa b θ b a
a3
a2
a1
b3(t)
b2(t)
b1(t)
( )aab tω
( )aba tθ
5
Introducción Matemática 4
0 , 0
; ( ) ( )
, ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ( ) ( , ) ( , )
a bj j j j
j j
a b a a a T a a ai i j i j i j i j i j i j
j
p p t t
p p t t t t t t t t
∈ = =
=< >= < > < >=< >= =
∑ ∑
∑
3p p a b
a p a b a b a b a C a C
Rotación de una terna derecha respecto de otra fija y matriz de cambio de base
a3
a2
a1
b3(t)
b2(t)
b1(t)
0 1 2 3
1 0 0( ) ( , ) ; 0 ; 1 ; 0
0 0 1
a a a a a aj jt t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
b C a a a a
1
, 2
3
, 0
( , ) ( ) ( , ) ( )
( , ) ( , ) ; ( , ) ( ( )) ( , ); ( , )
a
a a b a a a bi i j o j b o
j a
a a a a a ab o i j o b o ab b o b o
pp t t p t p t t t
p
t t t t t t t t t t t I
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⇒ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤ = =⎣ ⎦
∑C p C p
C C C S ω C C
Coordenadas del mismo punto p en 2 sistemas de referencia
01 2 3 1 2 3Sea: { ( ), ( ), ( )} { , , }
( ) ( ) ; 1, 2,3
t t
j o j o o j
t t t
t (t,t ) t (t,t ) j
= =
= = =
b b b a a a
b b aR R( )a
ab tω
6
Introducción Matemática 5Matriz de cosenos directores
{ } ( ){ } { }{ }
, ,( , ) ( , ) cos ( ) ( ),
( , ) ( , ) ( ),
a ab o i j o j i i
b a Ta o b o i j
t t t t t t
t t t t t
φ= =
= =
jC C b a
C C b a
a2
a1
a3
b3(t)
b2(t)
b1(t)
φ2,3(t)
2,2a
o(t,t )C
3,2 ( )Caot,t
0
1 2 3
,
1 2 3 1 2 3
Sea la base ortonormal { ( ), ( ), ( )} 1;
: < ( ), ( ) 0;
{ ( ), ( ), ( )} { , , }
( ) ( ) ; 1,2,3
i j i j
t t
j o j o o j
t t ti j
t t ti j
t t t
t (t,t ) t (t,t ) j
δ
=
⇒
=⎧∀ >= = ⎨ ≠⎩
=
= = =
b b b
b b
b b b a a a
b b aR R
( ), , 0, ( ) ( ), cos ( ) ( , )ai j j i j i i jt t t t tφ< >=< >= =a b b a C
0
0
( , ) ( ); ( , ) ( )
( , ) ( ( )) ( , ); ( , )
( , ) ( ( )) ( , ); ( , )
Recordemos que:
y ademas:
a a b b b ab o a o
a a a ab o ab b o b o
b b b ba o ba a o a o
t t t t t t
t t t t t t t I
t t t t t t t I
= =
= =
= =
p C p p C p
C S ω C C
C S ω C C
7
Introducción Matemática 6
Rotación de un terna alrededor de un eje de dirección invariante
( )Cuando const., la ED matricial:
( )
( , ) ( ( )) ( , ); ( , ) ( )tiene solución explicita:
( , ) exp( ( ( )); ( ) ( ) ( ) ( )
exp(
o
aa abab a
ab
a a a a ab o ab b o b o o b o
ta a a a a ab o ba ba ab ba abt
tt
t t t t t t t t I
t t t t d t t
=ω
= = =
= τ τ ⇒ =∫
ωω
C S ω C C C
C S θ θ ω θ ω
S 22
( ) (1 cos ( ))( ( ))) ( ( )) ( ( ))
( ) ( )
a aa a aba baba ba baa a
ba ba
sen t tt t t
t tθ − θ
= + +θ θ
θ I S θ S θ
a3
a2
a1
b3(t)
b2(t)
b1(t)
( )aab tω
( )aba tθ
8
Introducción Matemática 7ORIENTACION de un cuerpo en el espacio
a1
a2
a3
θba
b1
b2b3
a1
a3
a2
a y b ternas ortonormales.
b=terna del cuerpo={θba}a.
La rotación {θba} determina la ORIENTACION (ACTITUD) del cuerpo b respecto de la terna de referencia a.
Veremos 4 parametrizaciones de la orientación de un cuerpo en el espacio
1. Matriz de Cosenos directores2. Eje y ángulo de Euler3. Angulos de Euler4. Cuaterniones (o parametros simétricos de Euler)
9
Introducción Matemática 8Matriz de los Cosenos Directores
Sean: , ; 1, 2,3 , respectivamente, los elementos de las ternas ortonormales y .( , ) , ; , 1, 2,3; parametrizan la actitud de resp' de .
Las coordenadas de un vector en ambas ternas s
i iba i j
ii j i j
=
=< > =
a b a bC a b b aiii e relacionan segun: = . Ley de composición: dadas las ternas , y : = =
b b aa
b b a c b ca c c
v C va b c v C C v C vi
Ventajas
•Sin singularidades.•Sin funciones trigonométricas.•Fácil de usar.•Ley de composición simple.
Desventajas
•3 parámetros redundantes a actualizar.•Requiere salvaguarda numérica de ortonormalidad.
( )b b Ta a =C C I
10
Introducción Matemática 9“Eje y ángulo” de Euler: Relación con Matriz de Cosenos DirectoresOrientación parametrizada por el ángulo vectorial: θba: a → b
2
2
( ) exp( ( )) ( ) (1 cos ) ( )
( ) exp( ( )) ( ) (1 cos ) ( )
a a a a a a ab ba ba ba ba ba ba
b a a a a a aa ab ba ba ba ba ba
sen
sen
θ θ
θ θ
= = + + −
= − = − + −
C θ S θ I S θ S θ
C θ S θ I S θ S θ
2 ab: Puesto que ( ) 0 ( ) ; ( ) ;
( ,1) vector y valor propios; :vector invariante bajo la rotación.
: ( ) ( )
a a a a a a a a aba ba ba ba ba ba ba ba ba
a aba ba
a a b ab ba a ba a
= × = = =
⇒
= − =
NOTA 1 S θ θ θ θ S θ θ C θ θ θ
θ θ
NOTA 2 C θ C θ C ( )
: ( ( )) ( ( )) ( ( )) 1 2 cos
( ) 1 cos =
2
b a Tab
a a b a b b ab ba a ab a ba ba
aa bba
traza traza traza
traza
= = = + θ
−⇒ θ
θ
NOTA 3 C θ C θ C θ
C
0 - ( ) 0 ;
0Definimos:
az y xa
a a ababa z x ba ya
ba ay x z
θ θ θθ θ θ
θθ θ θ
⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦
θS θ θ,
ab aθ
a1
a2
a3 θba
b1
b2
b3
1/ 22 2 2) ( ) ( )a a a a aba ba x y zθ ⎡ ⎤= = (θ + θ + θ⎣ ⎦θ
11
Introducción Matemática 10“Eje y ángulo” de Euler θba: a → bRelación con Matriz de Cosenos Directores
32 23
13 31
21 12
( ) / 2 ;
( ) / 2 ;
( ) / 2
ax
ay
az
S
S
S
• θ = − θ
• θ = − θ
• θ = − θ
C C
C C
C CIndefinido cuando sen(θ)=0 !!!
2( ) exp( ( )) ( ) (1 cos ) ( )
( cos( ) (1 cos ) ( ) sin( ) ( )
a a a a a a ab ba ba ba ba ba ba
a a a a T a aba ba ba ba ba ba
sen= = + θ + − θ
= θ + − θ − θ
C θ S θ I S θ S θ
I θ θ S θ
2
2
2
(1 ) (1 ) (1 )( ) exp( ( )) (1 ) (1 ) (1 )
(1 ) (1 ) (1 )
x x y z x z ya a ab ba ba x y z y y z x
x z y y z x z
C C C S C SC S C C C SC S C S C C
⎡ ⎤θ + θ − θ θ θ − θ − θ θ θ θ − θ + θ θ⎢ ⎥
= = θ θ − θ + θ θ θ + θ − θ θ θ − θ − θ θ⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ − θ − θ θ θ θ − θ + θ θ θ + θ − θ⎣ ⎦
C θ S θ
abaθ
a1
a2
a3 θba
b1
b2
b3
12
Introducción Matemática 11
Ventajas•Claro sentido geométrico.•No hay parámetros redundantes.
Desventajas•Funciones trigonométricas.•Ley de composición compleja.•Indefinición del eje cuando sen(θ)=0.
“Eje y ángulo” de Euler θba: a → b
13
Introducción Matemática 12Angulos de Euler:
Secuencias de rotaciones alrededor de ejes coordenados:
( )2
2
1 0 0(1 cos )
( ) exp( ( )) ( ) ( ) 0 cos sen0 sen cos
a aa a a a aba bab ba ba ba ba x xa a
ba bax x
sen⎡ ⎤
θ − θ ⎢ ⎥= = + + = θ − θ⎢ ⎥θ θ ⎢ ⎥θ θ⎣ ⎦
C θ S θ I S θ S θ
2 2 2
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0Si 0 ; ( )= 0 0 ; ( )= 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 1
xa a aba ba x ba x x
x x
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − − = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
θ S θ S θθ
θ θ θθ θ
1 0 0( ) 0 cos sen
0 sen cos
ba
⎡ ⎤⎢ ⎥−ϕ = ϕ ϕ⎢ ⎥⎢ ⎥− ϕ ϕ⎣ ⎦
Ccos 0 sen
( ) 0 1 0sen 0 cos
ba
θ − θ⎡ ⎤⎢ ⎥−θ = ⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ⎣ ⎦
Ccos sen 0
( ) sen cos 00 0 1
ba
ψ ψ⎡ ⎤⎢ ⎥−ψ = − ψ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
C
xa
ya
za
ϕ
ybzb
xa
θza
ya
ψ
ya
za
xa
14
Introducción Matemática 13Angulos de Euler y relación con la matriz de cosenos directores
Cuando la terna b se obtiene a partir de rotaciones sucesivas alrededor de los ejes coordenados.
x
y
z
z’’
y’
ψ
ψ
x’
x’’= x’’’
θ
θ
φ
φz’’’
y’’’a= {x, y, z}: Sistema de partida
b= {x”’, y’’’, z’’’}: Sistema de llegada
Bajo la composición: {φ@x’’}{θ@y’}{ψ@z}
'' ( )bb −ϕC
ba
cos sen 0sen cos 00 0
C C C S SC S S S C C C S S S S C
S S C S C S C
1 0 00 cos sen0 sen cos 1
cos 0 sen0 1 0
sen 0 co
C C
s
C S S
ψ ψ⎡ ⎤⎢ ⎥ =
θ ψ θ ψ − θ⎡ ⎤⎢ ⎥− ϕ ψ + ϕ θ ψ ϕ ψ + ϕ θ ψ ϕ θ⎢ ⎥⎢ ⎥ϕ ψ +
⎡ ⎤
ϕ θ ψ
⎢ ⎥ϕ ϕ⎢ ⎥⎢
− ϕ ψ
− ψ ψ⎢ ⎥⎢ ⎥
+ ϕ θ ψ
⎥− ϕ ϕ⎣ ⎦
θ − θ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥θ θ⎣
ϕ θ
⎣ ⎦
⎣ ⎦
⎦
=C
''' ( )b
b −θC
a b’ b’’ b’’’=b
ψb’a θb’’b’ φbb’’
''Cbb
'''Cb
b'Cb
a
' ( )ba −ψC
15
Introducción Matemática 14
Angulos de Euler {φ}{θ}{ψ}
Ventajas• Sentido geométrico claro en
ciertas aplicaciones.• No hay parámetros redundantes.• Simple relación con M. de C.D.• Ley de composición simple.
Desventajas
• Involucra funciones trigonométricas.• Composición requiere calcular MCD.• No hay relación biunivoca con actitud.• Importa el orden.
16
Introducción Matemática 15
Cuaterniones: Definición y relación con el eje de Euler
cos
cos
cos
ax
ay
az
θ = α
θ = β
θ = γ
Eje de rotación de Euler expresado en la terna acoincide con eje de rotación expresado en la terna b = {θba} a (θba: a → b).
[ ]
[ ]
1 2 3 4 4 4
*
( ) ( ) sin sin sin cos2 2 2 2
( ) ; sin ; cos2 2
( ) = ( )
Definimos T
a a a a a a aba ba ba bab ba b ab x y z
TaT a T a a a aba bab b b ba bb
Ta a b ab ba 1 2 3 4 a ab
q q q q q q q q
-q -q -q q
θ θ θ θ⎡ ⎤= − θ θ θ⎢ ⎥⎣ ⎦θ θ
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦
q θ q θ
θ
q θ q θ
Claramente: 2 2 2 21 2 3 4q + q + q + q = 1
a1
a2
a3
abaθ
α
β
γ
axθ
ayθ
azθ
17
Introducción Matemática 16Cuaterniones: Relación con la Matriz de Cosenos Directores
( )
( )
24
* 2 44
24
* 24
( ) exp( ( )) 2 ( ) 2 ( )4 ( )( ) 2 ( ) 2 ( )
1( )( ) exp( ( )) 2 ( ) 2 ( ) 2(1( ) 2 ( ) 2 ( )
b b a b ba a ab a a
b a bb a a a a b aa b b b
ba a a a aab b ba b b
a b b bb a a a
I q q qq qI q q q
qI q q q trazI q q q
⎫= = + +⎪ − = ⇒= = − + ⎪⎪⇒⎬ == = + + ⎪ +⎪= = − + ⎪⎭
C q S θ S SC C SC q S S
SC q S θ S S
C q S S1/ 2)
b aa bb
aa⎡ ⎤−⎣ ⎦C C
C
2 2 2 24 1 2 3 1 2 3 4 1 3 2 4
2 2 2 21 2 3 4 4 2 1 3 2 3 1 4
2 2 2 21 3 2 4 2 3 1 4 4 3 1 2
( ) exp( ( ))
2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )
Y además...
a a ab b ba
q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q
= =
⎡ ⎤+ − − − +⎢ ⎥= + + − − −⎢ ⎥⎢ ⎥− + + − −⎣ ⎦
C q S θ ( )*
2 2 2 24 1 2 3 1 2 3 4 1 3 2 4
2 2 2 21 2 3 4 4 2 1 3 2 3 1 4
2 2 2 21 3 2 4 2 3 1 4 4 3 1 2
( ) exp( ( ))
2( ) 2( )2( ) 2( )2( ) 2( )
a b ab a ab
q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q
= − =
⎡ ⎤+ − − + −⎢ ⎥= − + − − +⎢ ⎥⎢ ⎥+ − + − −⎣ ⎦
C q S θ
2 2 2 2 2 1/ 24 1 2 3 4 4
1( ) ( ) 3 4 1 ( ( ) 1)
2b a aa b btraza traza q q q q q q traza= = − − − = − ⇒ = +C C C
22
2
4 4
sin( ) 1 cosexp( ( )) ( ) ( )
( )
sin ( 2sin cos ; 1 cos 2sin ;
( ) ; sin ; cos2 2
Usando las relaciones:
y la definición:
a ab a a aab aba ab ab aba a
ab ab
Ta a T a a a aba bab b b b ba b
I
q q q q
θ − θ= = + +
θ θ
θ θ θθ) = − θ =2 2 2θ θ
⎡ ⎤= = =⎣ ⎦
C S θ S θ S θ
q θ
18
Introducción Matemática 17
Representación hipercompleja y regla de composición:
Reglas de multiplicación de hipercomplejos → composición de cuaterniones:
⇒qo = 0i+ 0j+ 0k+1 es el cuaternión identidad de la composición.
Otra representaciónde los cuaterniones:
*1 2 3 4 1 2 3 4;q i q j q k q q i q j q k q+ + + − − − +q q
(ciclicidad); (anticiclicidad) ; 1( )ij k ji k ii antinormalidad= = − = −
1 2 3 4
1 2 3 4 1 2 3 4
4 1 3 2 2 3 1 4
3 1 4 2 1 3 2 4
2 1 1 2 4 3 3 4
1 1 2 2 3 3 4 4
( )( )( )( )( )
( )
s i s j s k sr i r j r k r q i q j q k q
i r q r q r q r qj r q r q r q r qk r q r q r q r qr q r q r q r q
= + + + =
= + + + + + +
= − + ++ + − +
+ − + + +
− + + +
⇒ s rq4 3 2 1 1
3 4 1 2 2
2 1 4 3 3
1 2 3 4 4
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
rq
r r r r qr r r r qr r r r qr r r r q
Matricialmente
* * * * 2 2 2 21 2 3 4; ( ) ; 0 0 0i j k q q q q≠ = = + + + + + + =⇒ rq qr rq q r qq q
19
Introducción Matemática 18
[ ]1 2 3 4 4 1 2 3
*4
[" . "," . "] [ , ];
[ , ]
TTq i q j q k q comp vectorial comp escalar q q q q
q
= + + + =
⇒ = −
q q q
q q
Notación [vector, escalar] y regla de composición:
La regla de composición surge de la multiplicación de hipercomplejos.
Regla de composición [vector, escalar] :
4 3 2 1 1
3 4 1 2 24 4
2 1 4 3 3
1 2 3 4 4
[ , ][ , ]
r r r r qr r r r q
r q r r r r qr r r r q
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
rq r q
44 4 4 4 4 4
4 4
( )[ , ][ , ] [ , ]T
r Sr q r q r qr q
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤== = + + × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎣ ⎦⎣ ⎦
I r r qr q q r r q r qr i
20
Introducción Matemática 19
4* * *4
4
**4 44
4
2 24 4
( ) ( )( ) ( ) ( )
0
( ) ( )( )
( ) 2 ( )
a a ab a b b b
Ta q a a aa
a aa ab
T aa a
q S q Sq
q S q Sq Sq
q q S S
+⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎛ ⎞+ ⎡ ⎤⎛ ⎞ − −⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎜ ⎟= = =⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −− ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠
− + +
I q q v v q vq v q q qq q v
I q q v q vv q vq q q vq v
I q
i
ii
( ) ( )* 24
2 22 24
( ) 2 ( ) 2 ( ) ( )0 0( ) 0
( ) ; ( ) 1
T a a b b a ba a b
qT a
T
q S S
S q
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ = + =
q qq v I q q v C q v vv
q q v
q q I qq qSe usó:
Transformación de vectores de R3 mediante cuaterniones:
, [ , 0]Para un dado vector efinimos su "cuaternización": y calculamos el producto-composición:
T Ta a aq∈ 3v R en la terna a d v v
* ( )( ) ( )
0 0
b b bb b a b b a a b ba aq a q a a q b a a
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ab av C q v
v q v q q v q v C q v
21
Introducción Matemática 20Composición de Cuaterniones:
“b” “a”
θabx
Si / / representan las rotaciones de las ternas b/c/c, respectivamente, 'hasta' las ternas a/b/a
sin sin2 2( ) ; ( ) ; ( )
cos cos2 2
ab bc ac
a bab bcab bc ac
b c ca ab b bc a ac
ab bc
θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
θ θ θ
θ θ θq θ q θ q θ
sin2
cos2
a ac
ac
θ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥
θ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
3
** * * *
*
: , , las correspondientes representaciones de un vector
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
Con: ( ) ( ) ( ) Notar qu
a b c
b b a bq a q a c c b a b c c b a c b c a c
q a q a a q a a q ab b b bc c b cq qb b
c c ba ac ab bc ab
⎫⎪⎬⎪⎭
⇒
∈
=⇒ = = =
=
=
v v v v
v q v qv q q v q q q q v q q q v q
v q v q
q θ q θ q θ !e de aquí surge una ley de composición de ángulos
[ ]4
4
( ) 0 0 0 1 , elemento identidad de la composición.
+⎡ ⎤⇒ =⎢ ⎥−⎣ ⎦
o
I q qqq T
T
q Sq
22
Introducción Matemática 21Relación entre cuaterniones y ángulos de Euler:
4( ) sin cos ; , , ;2 2
( , , )
Cuaterniones elementales de Euler:
@ ángulos de rotación positivos respecto de los ejes coordenados.
e ee e
e
q−θ θ
θ + = + =
=θ ⇒
q e q e i j k
e i j k
k j i{ }{ }{ }
Productos de cuaterniones elementales Rotaciones sucesivas de Euler
Ejemplo de rotación según la secuencia (yaw), (pitch), (roll) para pasar de la terna "a" a la terena "b" "a".i j k=
⇒
θ θ θ
θ θ θ
( ) ( ) ( ) ( sin cos )( sin cos )( sin cos )2 2 2 2 2 2
j jb i i k ka i i j j k k
−θ θ−θ θ −θ θ= θ θ θ = + + + =q q q q i j k
sin cos cos sin sin cos sin cos cos sin cos sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
j j j ji k k i k i k i
j j j jk i k i k i k i
θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ θ θ θ θ θ θ= − + + − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ θ θ θ⎛ ⎞ ⎛ ⎞θ θ θ θ θ θ θ θ+ − + + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i j
k
23
Introducción Matemática 22
Parametrización con Cuaterniones:
Ventajas• Mas compacta que la MCD (4 parámetros en lugar de 9).• No requiere funciones trigonométricas para calcular MCD• Admite ley de composición de rotaciones.• No tiene singularidades.
Desventaja• Respecto a eje/ang. de Euler, contiene un parámatero redundante.
24
Introducción Matemática 23Ecuaciones de la cinemática de la actitud
1) Propagación en el tiempo de la MCD para un cuerpo en rotación
( , ) ( ( )) ( , ); ( , ) ( ); ( , )
Equivalentemente, transponiendo la E. D. anterior se tiene:( , ) ( , ) ( ( )) ( , ) ( ( )) ( , ) ( ( ));
a a a a a a bb o ab b o b o o b o b o
b b T a b a b aa o a o ab a o ab a o ba
t t t t t t t t t t
t t t t t t t t t t t
= = =
= = − =
aC S ω C C C v C v
C C S ω C S ω C S ω
Así, según el sistema de coordenadas en que esté expresada , se tiene:
( , ) ( ( )) ( , )
( , ) ( , ) ( ( ))
a a ab o ab b o
a a bb o b o ab
t t t t t
t t t t t
=
=
ω
C S ω C
C C S ω
ab(t)
ωabx
θba
La terna b gira a la vel. ang. ωab(t) respecto de la terna fija a.
25
Introducción Matemática 24Ecuaciones de la cinemática de la actitud
2) Propagación en el tiempo del cuaternión para un cuerpo en rotación
Usamos:' ''
' ' ' ''
' ' 0
sin sin2 2 ; ( ) ; ( )
cos cos2 2
( ) ( ) ( ) ( )
θ θ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥
= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∆ + ∆ − = − = −
θ θq q q q θ q θ
q q q q q q q q
b bba b bba b b
a a b a bb b b b ba b b b
ba b b
a a a a a a bb b b b b b bt t t t
'' '''
'
lim0
0 0
sin1 1 12lim lim1 2 2 0cos 0
2
bb b ba bb bb b
a a a ab abb b b b
b bt
t ttt t ∆ →
∆ → ∆ →
⎛ θ ⎞⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎡ ⎤∆ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎜ ⎟= = − = =⎢ ⎥ ∆ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ∆ ∆ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎝ ⎠
θθ 0q ωq q q q
1 12 20 0
1 12 20 0
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ω ωq q q
ω ωq q q
b ab b bba baa a a
b aa a aab abb b b
*
* 1 1Y conjugando.....( )2 20 0⎡ ⎤ ⎡ ⎤
= = =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ω ωq q q q
b ba b b bab bab a a a
ab(t)
ωabx
b’= b(t+∆t)θba
'θb b
26
Introducción Matemática 25Ecuaciones de la cinemática de la actitud
3) Propagación en el tiempo del ángulo de rotación (ecuación de “coneo”) 1 2 0
sin ,cos ,02 20
ba a abb b
b a a aa bab ba ba bab baa
ba
⎡ ⎤= ⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤⎡ ⎤ θ θ
⎡ ⎤= ←⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦θ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
ωq q
ω θq ω
Partimos de :
Notación "vector + escalar"
⇒
a
b(t)ωab
x θba
IgualandoComponentesEscalares yVectoriales
[ ][ ] [ ]2 1 2 1 21 1, ,0 ,2 2
f f f f f •= = × + −q θ ω θ ω ω θ ω
[ ]2 1 2 2 1, ,⎡ ⎤= = +⎣ ⎦q θ θ θd f f f f fdt
2 11 2 2 2
2
cos sin1 1 1 2 2sin ; 12 2 2 2 2
θ θ ⎛ ⎞θθ= − θ = − θθ = θ − θ = −⎜ ⎟θ θθ ⎝ ⎠
f ff f f
f
Y usando las relaciones:
[ ][ ] [ ]4 4 4 4 4 4, , ,q q r r q× r r q q r q r q r= = + + −qr i
Definimos: 1 21cos ; sin
2 2θ θ
θf fAnotamos: [ ]; ,0 ; ; ;b a a
ab q ba b= = = = θ =ω ω ω ω θ θ q q θ
27
Introducción Matemática 26Ecuaciones de la cinemática de la actitud
La E. D. del ángulo vectorial de rotación o “ecuación del coneo”
⇒( )
2 11 2 2 22 2
2
1 12 2 2 1 2
2 2
1 1 1 12 2 2
1 1 1 1 1 ( )2 2 2 2
f ff f f f
f
f ff f f f
f f
• • • •
•
⎛ ⎞θ= − θθ = − ⇒ θθ = ⇒ = ⇒ = −⎜ ⎟θ θ θ ⎝ ⎠
⎛ ⎞+ = × + ⇒ = + × − −⎜ ⎟θ ⎝ ⎠
θ ω θ ω θ ω θ ω
θ θ θ ω ω θ ω θ ω θ ω θ !
Igualando componentes escalares y vectoriales
( ) ( ) 2 1 cos( / 2), tan( / 2)sin( / 2)− θ
= × × + θ =θ
•u v u u u v u v
Reusando las definiciones:
( )2
sin1 1 12 2(1 cos )
a aa a a a a a aba baba ab ba ab ba ba aba a
ba ba
⎛ ⎞θ θ= + × + − × ×⎜ ⎟θ − θ⎝ ⎠
θ ω θ ω θ θ ω
Y las relaciones:
1 21cos ; sin
2 2θ θ
θ
a aba ba
aba
f f
resulta: