PROBABILIDADES YDISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDADES

Área Estadística Dpto. de Cs. Matemáticas y Físicas

Prof. Juan Moncada Herrera

AleatoriasNo aleatorias

ProbabilidadesDistribucionesParámetros

VARIABLESDatosEstimadores

Distribuciones

MUESTRA ALEATORIA

Muestreo

REALIDAD – POBLACIÓN – PROBLEMA

Intervalos de Confianza

Pruebas de Hipótesis

ANOVA

Estadística Descriptiva

VARIABLES

NOCIONES DE PROBABILIDADES

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Fuente: http://ciberconta.unizar.es/leccion/probabil/INICIO.HTML; 04/12/2008

¿De qué se hacen cargo?

INCERTIDUMBRE

Falta de información

Azar

Variabilidad

NOCIONES DE PROBABILIDADES

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Los grandes aportes …

Fermat (1601-1665) Pascal (1623-1662) Huygens (1629-1695)

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Newton (1643-1727) De Moivre (1667-1754)J. Bernoulli (1654-1705)

Los grandes aportes …

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Bayes (1707-1761) Gauss (1777-1855)Laplace (1749-1827)

Los grandes aportes …

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Chebyshev (1821-1894) Börel (1871-1956)Markov (1856-1922)

Los grandes aportes …

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Mises (1883-1953) Lèvy (1886-1971)

Los grandes aportes …

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Kolmogorov (1903-1987) Feller (1906-1970)

Los grandes aportes …

Probabilidad = Medida de la incertidumbre

NOCIONES DE PROBABILIDADES

¿Y qué es (qué son) …?

Clásico (Regla de Pascal)

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Enfoques …

Frecuentista

Bayesiano o subjetivo

Axiomático

Clásico (Regla de Laplace)

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Enfoques …

Cuociente entre casos favorables y casos posibles, siempre que todos los casos sean igualmente probables.

Laplace (1749-1827)

Frecuentista

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Enfoques …

Cuociente entre frecuencia observada del suceso y el total de observaciones del suceso cuando el experimento se realiza un número grande veces.

Bayesiano o subjetivo

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Enfoques …

Grado de creencia o juicio personal.Bayes (1702-1761)

Axiomático

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Enfoques …

•No se define probabilidad, propiamente tal.

•Hay un conjunto de axiomas, de los que se deduce la teoría.

Kolmogorov (1903-1987)

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Base empírica:

Espacio muestral:

Suceso o Evento:

Experimentos aleatorios

A

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Cálculo de probabilidades:

Existe probabilidad de un suceso:

)()(

)(

m

AmAP

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Cálculo de probabilidades:

Ejemplo:

Se selecciona aleatoriamente un asistente a la clase de hoy. ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

Evento A:

Espacio muestral :

Número de elementos de A = Número de elementos de =

)(AP

Ser mujer

{mujer, … , hombre}

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Propiedades fundamentales:

P() = 0

P() = 1

P(A B) = P(A) + P(B) – P(A B)

P(Ac) = 1 – P(A), Ac evento complementario de A

0 ≤ P(A) ≤ 1

A y B eventos de un espacio muestral

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Probabilidad Condicional:

A y B eventos de un espacio muestral

;)(

)()|(

BPBAP

BAP 0)( BP

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Independencia de eventos:

A y B eventos de un espacio muestral

)()|( APBAP A y B independientes si:

)()()( BPAPBAP

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Probabilidad Total:

Teorema. Sea E1, E2,...,En una partición de E (esto significa que ij, Ei Ej , y Ei =E). Entonces:

P(E) = P(E | Ei) P(Ei), para i = 1,2,...,n

Cálculo de probabilidades

NOCIONES DE PROBABILIDADES

Teorema de Bayes:

Si E1, ... , En son n eventos mutuamente independientes, de los

cuales uno debe ocurrir, es decir, P(Ei) = 1, entonces, para un evento dado A:

)()|(

)()|()|(

ii

iii EPEAP

EPEAPAEP

Cálculo de probabilidades

Variables aleatorias

Y

Distribuciones de Probabilidades

Variables aleatorias: Definición

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

xX )( IRPX ),(:

Discretas Continuas

Recorrido de X es finito o infinito

numerable

Recorrido de X es infinito

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Xp(x) = P[X=x]

f(x)

x1

…

xk

Función de probabilidad

Función de densidad

Distribuciones de probabilidades

1)(xp 1)( dxxf

X discreta

X continua

X discreta

1)(0 xp 0)( xf

X continua

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

X P[X=x] = p(x)

x1 p1

x2 p2

x3 p3

… …

xk pk

Distribución Acumulada

Caso discreto:

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X x]

x1 p1 p1

x2 p2 p1+p2

x3 p3 p1+p2+p3

… …

xk pk pi = 1

Distribución Acumulada

Caso discreto:

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

X P[X=x] = p(x) F(x)=P[X x]

x1 p1 p1

x2 p2 p1+p2

x3 p3 p1+p2+p3

… …

xk pk pi = 1

Distribución Acumulada

Caso discreto: Caso continuo:

x

ydyyfxXPxF )()()(

Tendencia central

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

MediaValor esperadoEsperanza matemática

Medidas de resumen de una v.a.

Propiedades:

x

xpxXE )()(

x

dxxxfXE )()(

X discreta

X continua

bXaEbaXE ][][

aaE ][

Tendencia central

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Medidas de resumen de una v.a.

Mediana

Moda

5.0)(5.0)(: 5.05.05.0 xXPxXPx

)(: modmod xfx

)(: modmod xpx X discreta

X continua

Posición

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Medidas de resumen de una v.a.

Extremos Cuartiles Quintiles Deciles

)(: xXPxPercentil

Dispersión

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Medidas de resumen de una v.a.

Rango )()( XXMax minVarianza )()()( 222 XEXEXVar

Desviación estándar )().(. XVarXed

Propiedades:

0)( kVar

)()( XVarkXVar )()( 2 XVarabaXVar

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Proceso de estandarización

X

ZX

..avX)(XE ).(. Xed

0)( ZE 1).(. Zed

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

Variables aleatorias: Parámetros

PARÁMETRO:

Las medidas de resumen de una variable aleatoria son parámetros.

Los parámetros determinan la distribución de probabilidades.

Rasgo, característica, propiedad fija o constante de una población.

Discretas

Continuas

• Valores

• Función de probabilidad Función de densidad

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

• Definición-Contexto-Problema

• Distribución Acumulada

• Medidas de resumen

• Parámetros

Variables aleatorias: Resumen

MODELOS DE DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Distribución Bernoulli

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Experimento de base:

Todo experimento aleatorio que tenga sólo dos resultados posibles, mutuamente excluyentes, que pueden denominarse Éxito y Fracaso.

P[Éxito] = p P[Fracaso] = 1 – p = q

Variable aleatoria – Definición:Número de Éxitos observados en un ensayo.

Usos – aplicaciones:Muy poco. Electrónica, proceso binarios en general.

Distribución Bernoulli

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Variable aleatoria – Valores:

0 y 1

Parámetros:

p: Probabilidad de éxito

Notación:

X Ber(p)

Distribución Bernoulli

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Función de distribución de probabilidades:

X P(X = x) = p(x)

0 1 – p

1 p

x = 0,1 p(x) = px(1–p)1-x ;

Función de distribución acumulativa:

X P(X = x) = p(x) F(x) = P(X x)

0 1 – p 1 – p

1 p (1 – p) + p = 1

Distribución Bernoulli

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Propiedades:

X Ber(p)

pXE )( )1()( ppXVar

Distribución binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Experimento de base:

Realización de n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p.

Variable aleatoria – Definición:

Número de Éxitos observados en n ensayos Bernoulli, todos independientes, y cada uno con probabilidad de Éxito p.

Usos – aplicaciones:

Control de calidad, tratamientos de encuestas …

Distribución binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Valores de la variable:

0, 1, 2, …, n

Parámetros:

n: Número de ensayos

Notación:

X bin(n , p)

p: Probabilidad de éxito

Distribución binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Función de distribución de probabilidades:

Función de distribución acumulativa:

nxppx

nxp xnx ,,2,1,0;)1()(

k

x

xpkXPkF0

)()()(

Distribución binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Cálculo de probabilidades acumulativas:

k

x

xpkXPkF0

)()()(

Distribución binomial

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Propiedades:

X bin(n , p)

npXE )( )1()( pnpXVar

Distribución de Poisson

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Experimento de base:

Observación de la ocurrencia de eventos en un espacio (intervalo) determinado (fijo).

Variable aleatoria – Definición:

Número de eventos que ocurren de manera aleatoria e independiente, a una tasa constante , en un espacio o intervalo determinado.

Usos – aplicaciones:

Fenómenos de espera, fenómenos de transporte …

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Valores de la variable:

0, 1, 2, …

Parámetros:

: Tasa promedio de ocurrencia de los eventos

Notación:

X P()

Distribución de Poisson

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Función de distribución de probabilidades:

Función de distribución acumulativa:

k

x

xpkXPkF0

)()()(

Distribución de Poisson

,2,1,0;!

)(

xx

exp

x

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Distribución de Poisson

Cálculo de probabilidades acumulativas:

k

x

xpkXPkF0

)()()(

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

Propiedades:

)(XE )(XVar

Distribución de Poisson

X P ()

Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Si existe una constante tal que p = / n, entonces:

,1,0;!

),;(lim0

xxe

pnxpx

p

n

DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDADES

MODELOS DE DISTRIBUCIONES CONTINUAS

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Uniforme

Experimento de base:

Seleccionar aleatoriamente un número en un intervalo real (a,b), y registrar su valor.

Variable aleatoria – Definición:

Número real seleccionado aleatoriamente en un intervalo (a,b).

Usos – aplicaciones:

Generación de números aleatorios, informática, …

),( bax

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Uniforme

Valores de la variable:

Parámetros:

Notación:

ba,

),(~ baUX

),(;)(1

)( ),( baxxIab

xf ba

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Uniforme

Función de densidad:

Función de distribución acumulativa:

abax

dxxfkXPkFk

ax

)()()(

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Uniforme

Propiedades:

X U(a , b)

2)(

baXE

3

)(22 baba

XVar

Distribución Normal

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

La variable:

Muchas variables continuas relativas a mediciones:

Físicas: Longitud, altitud, temperaturas, velocidad de…

Biológicas: Talla, peso, ritmo cardiaco, presión arterial,

Psicológicas: Inteligencia, habilidades, destrezas, etc.

¡CUIDADO! MUCHO no significa TODO

Distribución Normal

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Los valores de la variable:

Depende del problema en estudio.

Teóricamente, cualquier valor real.

Distribución Normal

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Los parámetros:

Dos parámetros. Se simbolizan por:

y

Corresponden a la media y desviación estándar

),(~ NX

Distribución Normal

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

2)(

²2

1exp

2

1),|(

xxf

Función de densidad y gráfico:

Campana de Gauss

0;; x

dyyxFx

2)(²2

1exp

2

1),|(

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

)( xXP

Distribución Normal

Función de distribución acumulada:

)1,0(~),(~ NX

ZNX

La normal estándar:

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Normal

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR

Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09__________________________________________________________0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998

Distribución Normal

Probabilidades acumuladas:

Un ejemplo:

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades sedistribuyen de acuerdo a una ley normal, se desea saber:

a) Cuántos sujetos hay por debajo de 80 años.b) Cuántos sujetos hay por encima de 65 años.c) A partir de qué edad se sitúa el 10% más viejo.

Distribución Normal

Un ejemplo:

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

En un estudio sobre longevidad se analizaron las edades de 489 jubilados obteniéndose una media de edad de 72 años con una desviación de 8.6 años. Suponiendo que las edades sedistribuyen de acuerdo con la curva normal, se desea saber:

Solución parte a):

Sea X: Edad de las personas estudiadas

Distribución Normal

Se tiene: )6.8;72(~ añosañosNX

Se pide: )80( XP

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Normal

)6.8;72(~ añosañosNX Un ejemplo:

?)80(¿ XP

Opciones de la Hoja de Cálculo de OpenOffice

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Normal

)6.8;72(~ añosañosNX

Un ejemplo:

Pero:

)93.0(

)6.8

8(

6.8

7280

6.8

72)80(

ZP

ZP

XPXP

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

PROBABILIDADES ACUMULADAS DE LA NORMAL ESTÁNDAR

Probabilidades acumuladas para algunos valores de la variable aleatoria normal estándar Z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09__________________________________________________________0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .53590.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .57530.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .61410.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .65170.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .68790.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .72240.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .75490.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .78520.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .81330.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8189 .8315 .8340 .8365 .83891.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .86211.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .88301.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .90151.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .91771.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .93191.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .94411.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .95451.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .96331.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .97061.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .97672.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .98172.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .98572.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .98902.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9906 .9911 .9913 .99162.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .99362.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .99522.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .99642.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .99742.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .99812.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .99863.0 .9987 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .99903.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .99933.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .99953.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .99973.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998

3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998

Distribución Normal

)6.8

8(

6.8

7280

6.8

72)80(

ZP

XPXP

)93.0( ZP

%38.828238.0)80( XP

82.38% de 489 son 403 personas

)1,0(~)1(

Npnp

npXY

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Normal

Aproximación de De Moivre Laplace

Teorema. Sea X una variable con distribución binomial de parámetros n y p. Entonces, si n tiende a infinito:

Nota: La aproximación ya es buena para n>30, y mejor mientras p sea cercano a 0.5.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS DE PROBABILIDADES

Distribución Normal

Aproximación de De Moivre Laplace

n=30, p=0.4 n=80, p=0.7 n=200, p=0.5

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES:

¿CUÁL EL PROBLEMA?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

EL DESCONOCIMIENTO

DE LOS PARÁMETROS

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES:

¿CUÁL LA SOLUCIÓN?

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES

ESTÁ EN EL MUESTREO

Sugerencias Bibliográficas

1. Daniel W.: Estadística con aplicaciones a las ciencias sociales y a la educación. McGraw-Hill. Mexico, 1997.

2. Canavos G.: Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y métodos. Mc Graw Hill. México, 1995.

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