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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD TEMAS WIKI

Distribuciones estadísticas y distribuciones de probabilidad Observa con el siguiente ejemplo las diferentes distribuciones que se pueden estudiar:

En una urna tenemos 10 bolas numeradas: dos bolas llevan inscrito el número 1, cuatro bolas llevan el número 2, tres bolas con el número 3 y una bola con el número 4. Sacamos una bola, anotamos su número y la volvemos a introducir en la urna.

I) Repetimos esta acción 25 veces obteniendo el siguiente resultado:

�� En este caso tenemos una distribución estadística. La variable es discreta, los datos se presentan en una tabla y se representan en un diagrama de barras. Las distribuciones estadísticas se estudian en cursos anteriores. Recuerda cómo calculamos sus parámetros:

La media: 48,225

62 ==⋅∑

=N

fxx ii

La varianza: 89,015,604,748,225

176 222

=−=−=−⋅∑

= xN

fxV ii

La desviación típica: 94,089,0 === Vσ

II) Podemos realizar un estudio similar al anterior si en vez de frecuencias absolutas, �� (número de veces que ocurre un suceso), consideramos frecuencias relativas, �� (proporción de veces que ocurre un suceso, �� ⁄ ). Tenemos así, una distribución de frecuencias relativas.

Se observa que el gráfico es similar al anterior y los parámetros idénticos:

48,21

48,2 ==⋅∑

=N

frxx ii ; 89,048,2

1

04,7 222

=−=−⋅∑

= xN

frxV ii ; 94,0== Vσ

0

2

4

6

8

10

1 2 3 4

Frecuencias absolutas = nº bolas

0

0,1

0,2

0,3

0,4

1 2 3 4

Frecuencias relativas

ix if ii fx ⋅ ii fx ⋅2

1

2

3

4

4

9

8

4

4

18

24

16

4

36

72

64

Sumas N=25 62 176

ix ifr ii frx ⋅ ii frx ⋅2

1

2

3

4

0,16

0,36

0,32

0,16

0,16

0,72

0,96

0,64

0,16

1,44

2,88

2,56

Sumas 1 2,48 7,04


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III) En vez de frecuencias, consideramos las probabilidades de los distintos sucesos:

1: que la bola sacada tenga grabado un 1 � ��1� � �� 0,2

2: que la bola sacada tenga un 2 � ��2� � "�� 0,4

3: que la bola tenga un 3 � ��3� � %�� 0,3

4: que la bola tenga un 4 � ��4� � �� 0,1

Si a cada valor de la variable le asociamos su probabilidad, obtenemos una idealización de la distribución de frecuencias relativas. Estamos ante una distribución de probabilidad.

Los parámetros se obtienen con los mismos procedimientos aplicados antes:

& '�� : ) � * �� · ,� � 2,3

& �� ó� �í, �: / � 0* �� · ,� 1 )� � 26,1 1 5,29 � 0,9

(En las distribuciones de probabilidad la media se designa por ) �� 6 �� 7) Una conclusión interesante:

Acabo de tirar 100 veces una moneda y he obtenido: Cara 54 veces y Cruz 46 veces. Este es un resultado empírico, experimental. Las frecuencias relativas son:

8: 8 � 54100 � 0,54; 8�6: : � 46

100 � 0,46

Si no quiero tirar la moneda tantas veces recurro a la probabilidad:

��8� � �� 0,5; ��:� � �

� � 0,5

0

0,2

0,4

0,6

1 2 3 4

Probabilidadesix ip ii px ⋅ ii px ⋅2

1

2

3

4

0,2

0,4

0,3

0,1

0,2

0,8

0,9

0,4

0,2

1,6

2,7

1,6

Sumas 1 2,3 6,1

Las distribuciones de frecuencias se obtienen empíricamente, observando un experimento y anotando los resultados.

Las distribuciones de probabilidad son idealizaciones teóricas de las anteriores. No necesitan experimentación.

00,20,40,60,8

1

C X

00,20,40,60,8

1

C X


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Dependiendo de si la variable, x, es discreta o continua hay dos tipos de distribuciones de probabilidad:

Variable discreta (Toma valores concretos)

Variable continua (Puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo)

Distribución Binomial Distribución Normal

�� ,�

;�� < �� * ,=�

=>�

Función de probabilidad, ?�@� Asocia a cada valor de la variable su probabilidad:

Función de distribución, A�@� Asigna a cada valor la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que él:

Caracterizada por

;�� < ��

Función de densidad, ?�@� Función caracterizada por: – �� B 0, , �� – El área comprendida entre la función

y el eje X es 1.

Función de distribución, A�@� Mide la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que x:

Determinada por


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Distribución binomial B(n, p)

En una distribución de probabilidad binomial, únicamente nos interesa si un determinado suceso, A, se verifica o no al realizar el experimento n veces. Así, cada ensayo solo tiene dos opciones:

C�� D � é� �� D� � ,

�� D, D7 � �� D7� � 1 1 , � F

Se representa por:

G��, ,� Los parámetros son muy fáciles de calcular:

H�� : ) � �, I�� ó� �í, �: / � 2�,F , F � 1 1 ,

Reconociendo binomiales Estudiemos unas distribuciones para discernir si corresponden a una binomial o no. En caso afirmativo, calcularemos la media y la desviación típica:

1) Sacamos diez cartas de una baraja española, con reemplazamiento (Sacamos una carta, la miramos y la volvemos a introducir en la baraja). Se trata de observar cuántas son de bastos.

Es una distribución binomial ya que únicamente nos interesa si es de bastos (éxito) o no lo es (fracaso) y además la experiencia es siempre idéntica por lo que la probabilidad, p, de bastos es siempre igual (la carta se devuelve al mazo).

� � 10, "�� F�� K�� ,� '��" , � �� 10

40 � 14 � 0,25

G��, ,� � G�10; 0,25� �� ) � 10 · 0,25 � 2,5 � / � 210 · 0,25 · 0,75 � 1,37

2) Extraemos cinco cartas de una baraja española sin reemplazamiento y contamos cuántas son de copas.

No es una binomial ya que cada vez que se saca una carta y no se devuelve, la composición del mazo cambia y con ella, la probabilidad de copa en la siguiente extracción.

3) La probabilidad de que un jugador de fútbol marque un penalti es 0,9. Se cuentan cuántos penaltis mete, después de 100 lanzamientos.

4) Estudiamos el número de aciertos en un examen tipo test de un alumno que contesta al azar. El examen tiene 30 preguntas, cada una de ellas con 4 posibles respuestas.

5) Un 15% de las naranjas que se recolectan no sirven para su comercialización. Dada una muestra de 500 naranjas, nos preguntamos cuántas se podrán comercializar.

6) Nos preguntamos cuántos partidos ganará Nadal en un torneo en el que se enfrentará a 8 rivales.

Número de veces que se realiza el experimento. (Se repite siempre el mismo experimento, en las mismas condiciones. La probabilidad de éxito es siempre la misma)

Probabilidad de éxito


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Cálculo de probabilidades en una binomial

Sea la variable x que sigue una distribución binomial B(n, p), la probabilidad de obtener k éxitos viene dada por la expresión:

�� M� � N�MO ,P · FQRP

N�MO � �� 1 1�� 1 2� ···STTTTTUTTTTTV

P WXYZ[\]^

M!

M! � M�M 1 1��M 1 2� ··· 3 · 2 · 1 `�� Ma Observa estos ejemplos de números combinatorios:

b104 c � 10 · 9 · 8 · 7STTTUTTTV

" WXYZ[\]^

4 · 3 · 2 · 1 � 10 · 9 · 7 3

STTTUTTTV^] eX ]f g Y[Q "·�·�

� 10 · 3 · 7 � 210

b106 c � 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5STTTTTUTTTTTV

h WXYZ[\]^

6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 � 10 · 9 · 8 · 7 4 · 3 · 2 · 1

STTTUTTTV^] eX h·i

� b104 c � 210

¿Qué conclusión sacas de estos dos ejemplos? ¿Crees que se cumplirá siempre?

¿ 8ó'� ��í� b10095 c ? ¿ l b5

0c ?

Ejemplos de cálculo de probabilidades en una binomial: He buscado en los exámenes de selectividad de las distintas comunidades autónomas y son muy pocos los ejercicios de binomiales. El más reciente, Castilla y León en 2015, lo utilizaré como ejemplo. Parece claro que la binomial “no suele caer en selectividad”. Vamos a resolverlo, primero una versión adaptada más sencilla y luego el original.

– En una localidad llueve en 73 de los 365 días del año. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva dos días en una semana cualquiera? (Versión adaptada)

Lo primero será definir la variable que estamos estudiando: � m �í� F�� '�

Conocemos el número de días que debemos tener en cuenta, una semana, y la

probabilidad de que llueva, , � 73 365n , luego se trata de una binomial:

� � G b7, 73365c � G�7; 0,2�

Nos piden la probabilidad de que llueva dos días, x = 2:

�� 2� � b72c 0,2� · 0,8i � 7 · 6

2 · 1 · 0,04 · 0,32768 � 21 · 0,0131072 � 0,2753

Número combinatorio

n sobre k


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– En una localidad llueve en 73 de los 365 días del año. ¿Cuál es la probabilidad de

que llueva más de dos días en una semana cualquiera? (Versión original)

Igual que antes, se trata de una distribución binomial

� � G b7, 73365c � G�7; 0,2�

Nos piden la probabilidad de que llueva más de dos días, x > 2:

�� o 2� � �� 3� p �� 4� p �� 5� p �� 6� p �� 7�

Creo que es más sencillo si utilizamos el suceso contrario:

�� o 2� � 1 1 �� < 2� � 1 1 `�� 0� p �� 1� p �� 2�a �

� 1 1 `0,2097 p 0,3670 p 0,2753a � 1 1 0,852 � 0,148

�� 2� � 0,2753 ��

�� 0� � b70c 0,2� · 0,8q � 1 · 1 · 0,2097152 � 0,2097

Te toca calcular P(x = 1) y comprobar que sale 0,3670

Ahora, uno de La Rioja 2012:

– Una décima parte de los niños españoles padece algún tipo de intolerancia alimentaria. De este grupo, la cuarta parte tiene intolerancia a la lactosa.

i. Probabilidad de que un niño español no tolere la lactosa. ii. Probabilidad de que en un grupo de tres niños españoles, al menos uno de ellos

tenga algún tipo de intolerancia alimentaria.

i. Sean los sucesos: r m s�� ; & m r��

��r� � 0,1; ��& r⁄ � � 0,25

Nos piden la probabilidad de que un niño no tolere la lactosa, es decir que tenga intolerancia y que sea a la lactosa:

��r t &� � ��r� · ��& r⁄ � � 0,1 · 0,25 � 0,025

ii. Se trata de un grupo 3 niños en los que se estudia si tienen intolerancia o no. Podemos considerar una binomial con n = 3 y p = 0,1, B(3; 0,1)

�� '�� r� � 1 1 �� u�� r� � 1 1 �� 0� � 1 1 0,729 � 0,271

�� 0� � b30c 0,1� · 0,9% � 1 · 1 · 0,729 � 0,729

, F � 1 1 , � 0,9


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Te toca practicar:

Primero calculando unos números combinatorios.

7) vq"w � vx

gw � vggw � vh

�w � vi�i w � v��

�� w � v��i w � v��

x w � v��q w �

Y ahora resolviendo problemas de distribución binomial1.

8) El 75% de las viviendas de una determinada región tienen conexión a Internet. Se eligen 8 viviendas de esa región y se pide:

a) Probabilidad de que 5 de ellas estén conectadas a Internet. b) Probabilidad de que al menos dos tengan conexión a Internet. c) Probabilidad de más de 5 tengan Internet.

9) Una prueba para conseguir un trabajo de jardinero consiste en un test con 10 preguntas, cada una de las cuales con cuatro posibles respuestas, siendo solo una de ellas correcta. Para superar la prueba debe obtenerse, al menos, 8 respuestas correctas. Si una persona contesta al azar, ¿qué probabilidad tiene de superar la prueba?

10) Un fabricante de cera para suelos desarrolla dos nuevos productos A y B con igual probabilidad de ser elegidos por los clientes. Las dos ceras A y B se aplican en 8 casas elegidas al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que 6 o más clientes prefieran la marca A? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ningún cliente prefiera la marca B?

11) El 1% de los niños sufre efectos secundarios tras la administración de un determinado antibiótico. Si se aplica a seis niños, hallar la probabilidad de que:

a) Ninguno padezca efectos secundarios. b) Lo padezca más de un niño. c) Si se suministrase el antibiótico a 1000 niños, ¿cuál sería el número medio de

niños con efectos secundarios?

12) Probabilidad de que al lanzar una moneda seis veces, aparezcan más de dos caras.

13) Una fábrica de relojes fabrica un modelo determinado. Los controles de calidad detectan la aparición de un defecto con una probabilidad de 0,1, pero que un reloj sea defectuoso es independiente del hecho que los otros lo sean o no. En el curso de la fabricación retiran cinco relojes al azar.

a) Probabilidad de que al menos uno de los relojes extraídos sea defectuoso. b) Probabilidad de que exactamente dos relojes sean defectuosos.

14) La probabilidad de que al tirar una chincheta quede con la punta hacia arriba es 3/4. Si se tiran 12 chinchetas, ¿cuál es la probabilidad de que queden menos de 2 con la punta hacia arriba?

15) El 60% de los alumnos de bachillerato tienen consola de videojuegos. En un grupo de 6 alumnos:

a) ¿Cuántos se espera que tengan consola? b) Probabilidad de que ninguno tenga consola. c) Probabilidad de que haya más de uno y menos de cinco alumnos con consola.

1 Ejercicios de selectividad: 10) Madrid 1993; 11) UNED 1992; 12) UNED 1993; 13) Cataluña 1993


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Distribución normal y�z, {�

Una variable continua, x, que sigue una distribución de probabilidad normal, ��), /�, depende de dos parámetros:

) � '�� / � �� ó� �í, � ��

y su función de densidad es la famosa curva normal o campana de Gauss, en honor al matemático alemán Carl Friedrich Gauss.

La media, ), se sitúa en el centro, coincidiendo con el máximo, y la curva es simétrica respecto de ella. En ) 1 / � �� ) p / hay puntos de inflexión y el eje X es una asíntota horizontal.

El área bajo la curva es 1.

Para cada valor de la media, ), y cada valor de la desviación típica, /, se obtiene una curva normal distinta. La más importante es la que tiene media ) � 0 y desviación típica / � 1, llamada distribución normal estándar cuya variable se representa por z:

6 m ��0, 1�

Como la media es 0, la función se centra en el origen y es simétrica respecto del eje Y:

La probabilidad de que 6 < M se corresponde con el área de la zona rayada (Recuerda que el área total bajo la curva es 1). La ��0, 1� es muy útil ya que se dispone de una tabla que nos da las probabilidades ��6 < M� para valores de k entre 0 y 3,99, y no es necesario calcular el área correspondiente.

A la hora de resolver problemas, lo habitual no será encontrarnos con la ��0, 1�, sino cualquier otra ��), /�.

Hay una forma de transformar la ��), /� �� 0, 1�, aplicando el cambio de variable:

6 � � 1 )/

Este proceso se denomina Tipificación de la variable.

: 0

l

M

��6 < M�

: ) ) 1 / ) p /

l


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Ejemplo de tipificación:

Supongamos que una variable, x, se distribuye mediante una ��70, 8� y queremos calcular la probabilidad de que � < 50. Para poder utilizar la tabla de la ��0, 1� debemos tipificar la variable:

�� < 50� � � b6 < 50 1 708 c � ��6 < 12,5�

|}~�} �� } y��, �� He aquí la tabla que se facilita en la selectividad de Madrid:

En la ��0, 1� las unidades y las décimas se buscan en la columna de la izquierda y las centésimas, en la primera fila.

Observa este ejemplo de cálculo de probabilidades:

- Calculemos ��6 < 1,13� Buscamos 1,1 en la columna de la izquierda y ,03 en la fila superior. Ambos valores confluyen en 0,8708. Luego

��6 < 1,13� � 0,8708


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Cálculo de probabilidades en una y��, ��

Supongamos M o 0 �M ,��

– Calcular ��6 < 2,10� Igual que el ejemplo anterior (Confluencia de la columna 2,1 con la fila ,00)

��6 < 2,10� � 0,9821

– Conocemos ��6 < M� � 0,9948 y se pide calcular k Localizamos en la tabla el valor 0,9948 y buscamos la fila (2,5) y la columna (,06)

M � 2,56 – Calcular ��6 B 0,18�. Como la tabla es para ��6 < �, utilizamos

��6 B 0,18� � 1 1 ��6 < 0,18� � 1 1 0,5714 � 0,4286

Supongamos M � 0 �M ��u� ��

– Calcular ��6 < 11,43�. Como la tabla es para ��6 < ,�� , utilizamos ��6 < 11,43� � ��6 B 1,43� � 1 1 ��6 < 1,43� � 1 1 0,9236 � 0,0764

Supongamos M� < 6 < M�

– Calcular ��1,37 < 6 < 2,99�

��1,37 < 6 < 2,99� � ��6 < 2,99� 1 ��6 < 1,37� � 0,9986 1 0,9147 � 0,0839

: 0 2,99 1,37 ��6 < 1,37� ��6 < 2,99�

l

l

: 0 1,43

��6 B 1,43�

11,43

��6 < 11,43�

: 0

l

0,18

1 1 ��6 < 0,18� ��6 < 0,18�


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– Calcular ��10,71 < 6 < 1,39�

��10,71 < 6 < 1,39� � ��6 < 1,39� 1 ��6 < 10,71�� 0,9177 1 0,2389 � 0,6788

��6 < 10,71� � ��6 B 0,71� � 1 1 ��6 < 0,71� � 1 1 0,7611 � 0,2389STTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTUTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTV – Calcular ��11,80 < 6 < 10,78�

��11,80 < 6 < 10,78� � ��6 < 10,78�� 1 ��6 < 11,80�� 0,2177 1 0,0359 � 0,1818

1 1 ��6 < 0,78� � 1 1 0,7823 � 0,2177STTTTTTTTTTTTUTTTTTTTTTTTTV

1 1 ��6 < 1,80� � 1 1 0,9641 � 0,0359STTTTTTTTTTTTUTTTTTTTTTTTTV Ejercicios, con soluciones, para que practiques el manejo de la tabla Calcula en una ��0, 1� las siguientes probabilidades:

16) ��6 < 2,01� � 0,9778

17) ��6 < 3� � 0,9987

18) ��6 < 1,6� � 0,8554

19) ��1 � 6 � 1,85�

20) ��6 o 10,25�

21) ��6 � 10,88�

22) ��6 B 11,4�

22) ��6 B 11,4�

23) ��6 B 1,15�

24) ��10,5 � 6 � 0,7�

25) ��6 o 2�

26) ��1,19 � 6 < 1,94�

27) ��12 < 6 < 11,5�

28) ��13,02 < 6 < 2,7�

29) ��6 B 2,99�

30) ��6 B 0,1�

Busca la solución: 0,0014 – 0,0440 – 0,1265 – 0,9778 – 0,8554 – 0,5987 – 0,0908 – 0,4602

0,9953 – 0,9987 – 0,1894 – 0,0228 – 0,9192 – 0,4495 – 0,1251

: 0 10,78 11,80

��6 < 10,78�

l

��6 < 11,80�

: 0 10,71 1,39 ��6 < 1,39� ��6 < 10,71�

l


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Cálculo de probabilidades en una y�z, {�:

Habrá que tipificar la variable, es decir, transformar la � m ��), /� �� 6 m ��0, 1�, aplicando el cambio de variable:

6 � � 1 )/

Ejemplos:

– Sea � m ��5; 0,5�, calcula �� < 4�

�� < 4� � � b6 < 4 1 50,5 c � ��6 < 12� � 1 1 ��6 < 2� � 1 1 0,9772 � 0,0228

– Sea x una normal ��100, 10�, calcula la probabilidad de que x sea mayor que 110

�� B 110� � � b6 B 110 1 10010 c � ��6 B 1� � 1 1 ��6 < 1� � 1 1 0,8413 � 0,1587

– Sabemos que x se distribuye normalmente con una media de 62 y una desviación típica de 6. Calcula la probabilidad de que x tome valores comprendidos entre 50 y 70.

��50 < � B 70� � � b50 1 626 < 6 < 70 1 62

6 c � ��12 < 6 < 1,33� �

� ��6 < 1,33� 1 ��6 < 12� � ��6 < 1,33� 1 v1 1 ��6 < 2�w �

� 0,9082 1 �1 1 0,9772� � 0,9082 1 0,0228 � 0,8854

– En el último examen de matemáticas las calificaciones siguieron una distribución normal de media 6 y desviación típica 1,7. Calcula la probabilidad de que un alumno elegido al azar tenga una calificación:

i. Mayor que 7. ii. Menor que 5.

iii. Entre 6 y 8.

Las calificaciones siguen una ��6; 1,7� que deberemos tipificar para calcular las probabilidades pedidas.

i. �� o 7� � � N6 o qRh�,q O � ��6 o 0,59� � 1 1 ��6 < 0,59� � 1 1 0,7224 � 0,2776

ii. �� 5� � � N6 � iRh�,q O � ��6 � 10,59� � ��6 B 0,59� � 0,2776

iii. ��6 � � � 8� � � NhRh�,q � 6 � gRh

�,q O � ��0 < 6 < 1,18� �

� ��6 < 1,18� 1 ��6 < 0� � 0,8810 1 0,5000 � 0,3810


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Te toca practicar con ejercicios de selectividad2

31) La duración de la batería de móvil sigue una distribución normal de media 3 años y desviación típica 0,5 años. Calcula la probabilidad de que una batería dure entre 2 y 4 años. (Sol: 0,9544)

32) El número de páginas que se puede escribir con los bolígrafos de una determinada marca sigue una distribución normal de media 80 páginas y desviación típica 12 páginas. Se pide calcular la probabilidad de que:

a) El número de páginas escritas sea superior a 100. (Sol: 0,0475) b) El número de páginas escritas sea inferior a 50. (Sol: 0,0062) c) El número de páginas esté comprendido entre 75 y 85. (Sol: 0,3256) d) ¿Cuál es, con una probabilidad del 95%, el número máximo de páginas que se

pueden esperar escribir con uno de estos bolígrafos? (Sol: k=99,74)

33) Una panadería elabora magdalenas caseras cuyos pesos siguen una distribución normal con media 40 gramos y desviación típica de 5 gramos.

a) Calcula el porcentaje de magdalenas que pesan más de 43 gramos. (Sol: 27,43) b) Las magdalenas se empaquetan en bolsas de 20 magdalenas para su venta. La

panadera considera aceptable una bolsa cuando su peso no supera los 820 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que una bolsa no sea aceptable? (Sol: 0,1867)

(Ayuda: Si el peso de las magdalenas sigue una ��40, 5� entonces, el peso de una bolsa de 20 magdalenas seguirá una ��20 · 40; √20 · 5�)

34) Ciertos móviles de nueva generación tienen una vida útil de dos años y medio con una desviación típica de tres meses. Elegido uno de estos móviles al azar, hallar la probabilidad de que:

a) Dure más de dos años y nueve meses. (Sol: 0,1587) b) Dure entre dos y tres años. (Sol: 0,9544)

35) El tiempo en minutos transcurrido hasta que una persona es atendida en la sucursal A de un banco sigue una distribución normal de media 9 y desviación típica 1, mientras que el tiempo transcurrido hasta que es atendida en la sucursal B sigue, también, una normal de media 8,5 y varianza 4.

a) Si un cliente tiene que hacer una gestión bancaria y solo dispone de 10 minutos, ¿en qué sucursal será más fácil que le atiendan en ese tiempo? (Sol: A)

b) Cuánto debe valer x si sabemos que el 80% de los clientes que van a la sucursal B esperan más de x minutos? (Sol: x=6,82)

c) Un cliente, en función de la proximidad de estas dos sucursales a su casa, elige ir a la sucursal A con probabilidad 0,3 y a la B con probabilidad 0,7. Eligiendo, al azar, una de las visitas al banco de este cliente, ¿cuál es la probabilidad de que el cliente haya tenido que esperar más de 10 minutos? (Sol: 0,2062)

36) El peso de los huevos de gallina sigue una distribución normal de media 65 g y desviación típica 6 g. Los huevos se clasifican (según el peso) en tres categorías: P (pequeños), M (medianos) y G (grandes). Si los pequeños suponen el 10% del total y los grandes otro 10%, ¿cuáles son los pesos que marcan los límites de cada categoría? (Sol: 57,32 g y 72,68 g)

2 Selectividad: 31) y 33) Castilla y León 2015; 32) País Vasco 2015; 34) Canarias 2014; 35) Castilla y León 2007; 36) País Vasco 2007.


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Distribución de medias muestrales Aunque este apartado se corresponde con el tema de Inferencia Estadística, vamos a dar unas nociones sencillas que nos van a permitir resolver numerosos problemas relacionados con la distribución normal.

En estos problemas:

– Nos hablarán de una población que se distribuye normalmente y de la que se conoce la media ) y la desviación típica /:

��), /� – Se tomará una muestra (subconjunto extraído de la población) al azar de n

individuos de la que se puede calcular su media �7. – Nos preguntarán algo relacionado con la probabilidad de dicha media, para lo cual

necesitamos saber que las medias de las muestras se distribuyen siguiendo una

��), /√��

Observa estos ejemplos:

– Se supone que el peso de las mujeres de una determinada región sigue una distribución normal de media 64 Kg y desviación típica 6 Kg. Se toma una muestra al azar de 144 de esas mujeres y se calcula su media. ¿Cuál es la probabilidad de que esa media sea al menos de 63 Kg? (Baleares 2007)

Tenemos:

x = “peso de las mujeres de esa región” � m ��64, 6�

�7 = “peso medio de la muestra de 144 mujeres” �7 m � N64, h√�""O � ��64; 0,5�

Nos piden:

��7 B 63� � � N6 B h%Rh"�,i O � ��6 B 12� � ��6 < 2� � 0,9772

– Se supone que los ingresos diarios en una empresa siguen una distribución normal con media 400 euros y desviación típica 250 euros. (Madrid 2004)

a) ¿Cómo se distribuye la media muestral, para muestras de tamaño n?

La media, �7, de una muestra de tamaño n se distribuye como una � N400, �i�√Q O

b) Se dispone de una muestra aleatoria de 25 observaciones. Calcular la probabilidad de que el promedio de ingresos esté entre 350 y 450.

�7 �� b400, 250√25c � ��400, 50�

��350 � �7 � 450� � � b350 1 40050 � 6 � 450 1 400

50 c � ��11 � 6 � 1� �

� ��6 � 1� 1 ��6 � 11� � ��6 � 1� 1 ��6 o 1� � ��6 � 1� 1 v1 1 ��6 � 1�w �

��6 � 1� 1 1 p ��6 o 1� � 2 · ��6 � 1� 1 1 � 2 · 0,8413 1 1 � 1,6826 1 1 � 0,6826

Tipificando Tabla ��0, 1�


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Una colección de ejercicios de selectividad de Madrid3:

37) En cierta región, el gasto familiar realizado en gas natural, medido en euros, durante un mes determinado se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media 250 euros y desviación típica 75 euros. Si se toma una muestra aleatoria simple de 81 familias, ¿cuál es la probabilidad de que la media muestral, :�, sea superior a 230 euros? (Sol: 0,9918)

38) La duración de cierto componente electrónico en horas (h), se puede aproximar por una variable con distribución normal de media 8.100 h y desviación típica 1000 h. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral esté comprendida entre 7.904 y 8296 horas para una muestra aleatoria simple de tamaño 100? (Sol: 0,95)

39) Se supone que la estatura de los individuos de una cierta población se puede aproximar por una variable aleatoria X con distribución normal de media 170 cm y desviación típica 4 cm.

a) Se extrae de dicha población una muestra aleatoria simple de 16 individuos. Calcúlese ��:� � 167�. (Sol: 0,0013)

b) Se extrae de dicha población una muestra aleatoria simple y resulta que ��:� o 172� � 0,0062. Calcúlese el tamaño de la muestra. (Sol: n=25)

40) Se supone que la presión diastólica en una determinada población se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 98 mm y desviación típica 15 mm. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 9.

a) Calcúlese la probabilidad de que la media muestral sea mayor que 100 mm. (Sol: 0,3446) b) Si se sabe que la media muestral es mayor que 100 mm, ¿cuál es la probabilidad

de que sea también menor que 104 mm? (Sol: 0,6659)

41) El número de megabytes (Mb) descargados mensualmente por el grupo de clientes de una compañía de telefonía móvil con tarifa AA se puede aproximar por una distribución normal con media 3,5 Mb y una desviación típica igual a 1,4 Mb. Se toma una muestra aleatoria de tamaño 24. ¿Cuál es la probabilidad de que la media muestral sea inferior a 3,37 Mb? (Sol: 0,3228)

42) El consumo familiar diario de electricidad (en Kw) en cierta ciudad se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 6,3 Kw y desviación típica 1,2 Kw. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 50. Calcúlese la probabilidad de que la media muestral está comprendida entre 6 Kw y 6,6 Kw. (Sol: 0,9232)

43) La temperatura corporal de cierta especie de aves se puede aproximar mediante una variable aleatoria con distribución normal de media 40,5ºC y desviación típica 4,9ºC. Se elige una muestra aleatoria simple de 100 aves de esa especie. Sea :� la media muestral de las temperaturas observadas.

a) ¿Cuáles son la media y la varianza de :�? (Sol: media=40,5ºC; varianza=0,2401) b) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura media de dicha muestra esté

comprendida entre 39,5ºC y 41,1ºC? (Sol: 0,7775)

44) La duración de una conversación de móvil se puede aproximar por una variable normal de desviación típica 1,32 minutos cuando la conversación media dura 4,36 minutos. Se elige una muestra de 16 usuarios y se pide calcular la probabilidad de que el tiempo medio de las conversaciones esté entre 4 y 5 min. (Sol: 0,8359)

3 Selectividad Madrid: 37) y 38) 2015; 39) y 40) 2011; 41) 2013; 42) 2015; 43) 2010; 44) 2009.


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Aproximando la binomial por una normal

Recuerda la binomial: G��, ,� �� M� � vQ

Pw,P · FQRP

Cuando n y k son grandes, por ejemplo � � 500; M � 220

�� < M� � �� < 220� � �� 0� p �� 1� p � p �� 219� p �� 220�

Este cálculo es extremadamente laborioso, demasiadas operaciones y cada operación, demasiado compleja (imagina calcular los números combinatorios vi��

��w; vi��xw … )

En estos casos, la solución está en aproximar la binomial por una normal y reducir así el cálculo a buscar en la tabla de la ��0, 1�:

S �, B 5 � �F B 5

� m G��, ,�

�� m �v�,, 2�,Fw

6 m ��0, 1�

En el ejemplo de arriba, supongamos , � 0,4 � F � 1 1 , � 0,6

Tenemos una � � G�500; 0,4�

Comprobemos si debemos normalizarla:

�, � 500 · 0,4 � 200 B 5 � �F � 500 · 0,6 � 300 B 5

Normalicemos �� v�,, 2�,Fw � �v200, √120w � ��200, 11�

Tipifiquemos 6 � ��R��

Calculemos la probabilidad �� < M� � �� < 220�

Para ello, todavía nos falta un detalle:

Al aproximar una binomial mediante una normal estamos convirtiendo una variable discreta (valores concretos) en una continua (valores en un intervalo). Si nos piden la probabilidad de un valor fijo �� M�, como la probabilidad sería cero (La probabilidad en un punto concreto es cero al tratarse del área de un punto) necesitamos definir un intervalo corrigiendo el valor fijo, sustituyéndolo por un intervalo centrado en el punto y de valor uno (Ampliamos 0,5 por cada lado):

�� M� � ��M 1 0,5 < � < M p 0,5�

Esta estrategia se denomina corrección de continuidad.

) � �, / � 2�,F

Normalizando

Tipificando


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Otras situaciones posibles:

�� M� � �� < M 1 0,5� , �� M

�� < M� � �� < M p 0,5� , �� M

�� o M� � �� B M p 0,5� , �� M

�� B M� � �� B M 1 0,5� , �� M

��M � � � M�� M p 0,5 < �� < M� 1 0,5� , �� M � M� ��M < � � M�� M 1 0,5 < �� < M� 1 0,5� , �� M � �� M�

��M < � < M�� M 1 0,5 < �� < M� p 0,5� , �� M � M�

En nuestro caso:

�� < 220� � �� < 220,5� � � b6 < 220,5 1 20011 c � ��6 < 1,86� � 0,9686

(Si hubiese sido �� B 220� habríamos tomado �� B 219,5� para incluir a 220)

Completamos la explicación con un problema resuelto:

– El 60% de los jóvenes de secundaria y bachillerato tienen consola de videojuegos. Si en un instituto hay 800 alumnos: (Canarias 2006)

i. ¿Cuántos se espera que tengan consola? ii. ¿Cuál es la probabilidad de que más de 500 tengan consola?

iii. ¿Cuál es la probabilidad de que sean entre 470 y 500 los que tienen consola?

i. Se espera que tengan consola el 60% de 800, es decir, 0,6 · 800 � 480 alumnos.

ii. Sea x = “Nº alumnos que tienen consola”

Se trata de una binomial con: � � 800; , � 0,6 � F � 0,4

� � G�800; 0,6�

Binomial que aproximamos a la normal:

6 � ��,, 2�,F� � �v800 · 0,6; 2800 · 0,6 · 0,4w � ��480; 13,86�

Normal que tipificamos y corregimos (+0,5 para no incluir a 500) para calcular la probabilidad pedida:

�� o 500� � �� o 500,5� � � b6 o 500,5 1 48013,86 c � ��6 B 1,48� � 0,0694

iii. Ahora nos piden la probabilidad entre 470 y 500. Deberemos corregir 0,5 en cada extremo del intervalo dejando fuera al 470 y al 500:

��470 � � � 500� � ��470,5 � �� 499,5� � � b470,5 1 48013,86 < 6 < 499,5 1 480

13,86 c

� ��10,69 < 6 < 1,41� � ��6 < 1,41� 1 ��6 < 10,69� � ��6 < 1,41� 1 1 p ��6 < 0,69� �

� 0,9207 1 1 p 0,7549 � 0,6756


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Practica4

45) El 15% de los habitantes de una determinada región son diabéticos. Se toma una muestra de 600 de esos habitantes y se pide:

a) Número esperado de habitantes que no son diabéticos. (Sol: 510) b) Probabilidad de que el número de diabéticos sea mayor que 80. (Sol: 0,8612)

c) Probabilidad de que el número de diabéticos esté entre 80 y 110. (Sol: 0,8483)

46) Un estudio ha mostrado que en un cierto barrio el 60% de los hogares tiene al menos dos televisores. Se elige al azar una muestra de 50 hogares en el citado barrio. Se pide:

a) Probabilidad de que al menos 20 de los citados hogares tengan cuando menos dos televisores. (Sol: 0,9988)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre 20 y 40 hogares tengan cuando menos dos televisores? (Sol: 0,4412)

47) Según una encuesta de opinión el 80% de la población adolescente de una determinada ciudad sigue una serie de televisión. Elegida una muestra de 225 adolescentes de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que sigan la serie de televisión entre 170 y 190 (incluidos) adolescentes? (Sol: 0,9198)

48) Se planifica llevar a cabo una encuesta con pequeñas empresas de una población. Por experiencia se sabe que solo la mitad de las empresas con las que se contacta responden a la encuesta. Se contacta con 150 empresas.

a) ¿Cuál es el número esperado de empresas que responderán? (Sol: 75)

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como máximo, respondan 70? (Sol: 0,2327)

49) En una fábrica de bombillas se ha comprobado que el 4% de ellas son defectuosas. Un cliente va a comprar un paquete de 500 bombillas. Determinar:

a) El número esperado de bombillas no defectuosas en el paquete de 500?

b) La distribución de la proporción de bombillas defectuosas en las cajas de 500 bombillas.

c) La probabilidad de que el número de bombillas defectuosas (en un paquete de 500 bombillas) esté entre 20 y 30 bombillas.

50) Se lanza una moneda al aire 500 veces. Calcule la probabilidad de obtener un número de caras entre 235 y 265 ambas inclusive. Exponga dos formas distintas de resolver el problema y realice los cálculos en la forma más corta.

4 Selectividad: 45) Canarias 2005; 46) Madrid 1991; 47) Galicia 2015; 48) Galicia 2014; 49) y 50) UNED 2015;


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PROBLEMAS MIX I5

51) La puntuación sobre el coeficiente intelectual CI, en un estudio sobre cierta población de niños, sigue una distribución normal de media 100 puntos y desviación típica 16 puntos. Se escoge una muestra aleatoria de 25 niños de esa población y se pide calcular la probabilidad de que la puntuación media del CI de esa muestra sea superior a 108 puntos. (Sol: 0,0062)

52) Se sabe que en una ciudad el 40% de los hogares tienen contratada alguna plataforma de televisión de pago. Se seleccionan aleatoriamente 150 hogares de esa ciudad, ¿cuál es la probabilidad de que el número de hogares que tienen contratada televisión de pago esté comprendido entre 50 y 64 (ambos incluidos)? (Sol: 0,7333)

53) Una universidad sabe que el 75% de sus graduados obtienen empleo durante el primer año de graduación. Se eligen 8 graduados de la citada universidad al azar. a) Probabilidad de que al menos 6 tengan empleo el primer año. (Sol: 0,6787) b) Probabilidad de que como máximo 6 tengan empleo. (Sol: 0,6328)

54) Se supone que la duración de una bombilla fabricada por una cierta empresa se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media 900 horas y desviación típica 80 horas. La empresa vende 1000 lotes de 100 bombillas cada uno. ¿En cuántos lotes puede esperarse que la duración media de las bombillas que componen el lote sobrepase 910 horas? (Sol: � 105 ��)

55) Se supone que el peso de los niños recién nacidos en una cierta región es una variable aleatoria con distribución normal de media 3,25 Kg y desviación típica 0,8Kg. Se elige aleatoriamente una muestra de 64 niños recién nacidos. Sea :� la media muestral de los pesos observados. a) ¿Cuáles son la media y la desviación típica de :�? (Sol: :� � 3,25; / � 0,1) b) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso medio de la muestra está comprendido

entre 3,3 Kg y 3,5 Kg? (Sol: 0,3023)

56) La edad de los trabajadores de una región sigue una distribución normal de media 40 años y desviación típica 7 años. Tomamos una muestra de 36 trabajadores. Calcula la probabilidad de que la edad media de la muestra esté entre 38 años y 42 años. (Sol: 0,9128)

57) Un equipo de fútbol ha conseguido en las últimas temporadas unos resultados que se distribuyen normalmente con media de 25 victorias y desviación típica 5 victorias. ¿Cuál es la probabilidad de que gane más de 30 partidos en una temporada? (Sol: 0,1587)

58) Se supone que la distribución de la temperatura del cuerpo humano en la población tiene de media 37ºC y desviación típica 0,85ºC. Se elige una muestra de 105 personas y se pide: a) Probabilidad de que la temperatura media sea menor de 36,9ºC. (Sol: 0,1131) b) Probabilidad de que la temperatura media esté comprendida entre 36,5ºC y

37,5ºC. (Sol: 1)

59) Un alumno realiza un examen tipo test que consta de 4 preguntas, cada una con tres posibles respuestas de las que solo una es correcta. Si un alumno aprueba contestando bien dos o más preguntas, obtener la probabilidad de que apruebe si escoge las respuestas al azar. (Sol: 0,4074)

5 Selectividad: 51) 52) Galicia 2015; 53) Madrid 1991; 54) Madrid 2010; 55) Madrid 2009; 56) La Rioja 2011; 57) Murcia 1992; 58) Murcia 2005; 59) Valencia 2002.


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PROBLEMAS MIX II6

60) Una conocida marca comercial tiene unas ventas mensuales que siguen una distribución normal de media 45.000€ y desviación típica 3.000€. Se pide calcular las siguientes probabilidades expresando el resultado en porcentajes: a) Probabilidad de que las ventas mensuales sean inferiores a 50.000€ (Sol: 4,75%) b) Probabilidad de que las ventas mensuales estén comprendidas entre 42.000€ y

46.000€. (Sol: 47,06%) c) Probabilidad de que las ventas sean inferiores a 39.000€. (Sol: 2,28%) d) Sabiendo que la probabilidad de que las ventas mensuales sean superiores a una

determinada cantidad es del 1%, ¿cuál es esa cantidad? (Sol: x=51.990€)

61) El peso en Kg de los estudiantes universitarios de una gran ciudad se supone aproximado por una distribución normal con media 60 Kg y desviación típica 8 Kg. Se toman 100 muestras aleatorias simples de 64 estudiantes cada una. Se pide: a) La media y la desviación típica de la media muestral. (Sol: N(60, 1)) b) ¿En cuántas de las 100 muestras cabe esperar una media entre 59 y 61 Kg?

(Sol: 68 muestras)

62) La duración de las baterías de un modelo de teléfono móvil tiene una distribución normal de media 34,5 horas y una desviación típica de 6,9 horas. Se toma una muestra aleatoria de 36 teléfonos móviles. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración media de las baterías de la muestra

esté comprendida entre 32 y 33,5 horas? (Sol: 0,1799) b) ¿Y de que sea mayor de 38 horas? (Sol: 0)

63) El coeficiente intelectual de los individuos presentes en una sala puede suponerse que sigue una distribución normal de media ) y varianza igual a 81. a) ¿Cuánto vale ) si sabemos que solo un 10% de las personas de la sala sobrepasa

un coeficiente intelectual de 105? (Sol: ) � 93,48) En los siguientes apartados supondremos que ) � 95 b) Elegida una persona al azar de la sala, ¿cuál es la probabilidad de que su

coeficiente intelectual esté entre 86 y 107? (Sol: 0,7495) c) Elegimos 9 personas y calculamos la media de sus coeficientes intelectuales,

¿cuál es la probabilidad de que esa media esté entre 86 y 107? (Sol: 0,9986)

64) Se supone que la longitud de los recién nacidos de una determinada población sigue una normal de media 50 cm y desviación típica 6 cm. Se toma una muestra al azar de 144 de esos recién nacidos y se calcula su media. Cuál es la probabilidad de que esa media esté entre 49 y 51 cm? (Sol: 0,9544)

65) La probabilidad de que se entregue un cheque sin fondo en una entidad bancaria es 0,14. Si en dicha entidad se reciben 900 cheques, se pide: a) Calcula el número esperado de cheques sin fondo. (Sol: 126) b) Probabilidad de que se entreguen más de 110 cheques sin fondo. (Sol: 0,9319)

66) En un almacén hay un gran número de cajas. El peso de cada una de ellas sigue una distribución normal de media 50 Kg y desviación típica 5 Kg. a) Halla el porcentaje de cajas que pesan entre 50 y 55 Kg. (Sol: 34,13%) b) Para transportar las cajas se dispone de un camión que tiene autorizado un peso

máximo de 2000 Kg en total. ¿Cuál es la probabilidad de que el camión soporte la carga de 41 cajas sin sobrepasar el peso máximo autorizado? (Sol: 0,0594)

6 Selectividad: 60) País Vasco 2014; 61) Madrid 2006; 62) Madrid 2005; 63) Castilla y León 2008; 64) Baleares 2003; 65) Galicia 2011; 66) Castilla y León 2011.

Distribuciones estadísticas y distribuciones de probabilidadde... · DISTRIBUCIONES DE...

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