DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Estadística y Probabilidad II

Distribución Binomial

• En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario (fracaso) .

• La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

• El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

• La distribución binomial se suele representar por B(n, p).

n es el número de pruebas de que consta el experimento.

p es la probabilidad de éxito.

Distribución Binomial

Función de Probabilidad

Función de Distribución

𝑃 (𝑘 )=𝑃 ( 𝑋=𝑘 )=(𝑛𝑘)𝑝𝑘 .(1−𝑝)𝑛−𝑘

𝐹 (𝑘 )=𝑃 ( 𝑋 ≤𝑘)=∑𝑖=0

𝑘

(𝑛𝑖 )𝑝𝑖 .(1−𝑝)𝑛− 𝑖

Distribución Binomial

Media o esperanza matemática:

Varianza:

𝐸 ( 𝑋 )=𝜇=𝑛 .𝑝

𝑉 ( 𝑋 )=𝜎 2=𝑛 .𝑝 .(1−𝑝 )

Ejemplo

La probabilidad de que un móvil producido por Sony se encuentre defectuoso es del 8%. Sony realiza un control estricto de calidad para sacar al mercado sus móviles, rechazando un determinado lote si encuentra más de 1 móvil defectuoso en cada lote de 30 móviles.

Si se desea enviar el próximo lote a un proveedor, encuentre la probabilidad de rechazarlo.

Distribución Hipergeométrica

• Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

• Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

• Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

• El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Función de Probabilidad

 

𝑝 (𝑘)=𝑃 ( 𝑋=𝑘 )=(𝑀𝑘 ) .(𝑁−𝑀

𝑛−𝑘 )(𝑁𝑛 )

Función de Distribución

 

𝐹 (𝑘 )=𝑃 ( 𝑋 ≤𝑘)=∑𝑖=0

𝑘 (𝑀𝑖 ) .(𝑁−𝑀𝑛−𝑖 )

(𝑁𝑛 )

Distribución Hipergeométrica

Media:

Varianza:

 

Ejemplo

Si en una empresa se presentan 13 aspirantes para cubrir dos vacantes, de los cuales 5 son hombres y 8 son mujeres

• Calcular la distribución de probabilidad para el número de hombres contratados.

• Encuentra la media y la d. s. de la distribución.

Un proceso poissoniano es aquél compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo.

Si el número de eventos esperados, el número medio de eventos en un intervalo de extensión h es m.

Entonces λ = h/m, será la tasa de eventos por unidad de h.

La probabilidad de que ocurran x eventos en el intervalo h vendrá dada por la distribución de Poisson.

DISTRIBUCIÓN DE POISSON

Distribución de Poisson

• Donde

• : Número medio de sucesos esperados en una unidad de tiempo, espacio, etc.

• e: 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995…

0 210 ,!

)(

...,,,x

xe

xpx

Media y Varianza de la distribución de Poisson

• Media

E(X) = µ =

• Varianza

V(X) = 2 =

Nota: el máximo de la distribución se encuentra en x

En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0,2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las probabilidades de identificar:a) Una imperfección en 3 minutos.b) Al menos 2 imperfecciones en 5 minutos.c) Cuando más, una imperfección en 15

minutos.d) La media y la Varianza de la distribución.

EJEMPLO

Aproximación de la distribución de Binomial a la de Poisson

Cuando n es grande podemos aproximar una distribución de Binomial a una distribución de Poisson:

20n 05.0p

np

Ejemplo

El 0,005% de la población de un país muere debido a cierta clase de accidentes cada año. Una compañía de seguros tiene l0 000 asegurados contra este tipo de accidente. Encuentre la probabilidad de que la compañía deba pagar más de 3 pólizas en un año dado.

Aproximación de la distribución hipergeométrica a la Distribución

Binomial

Cuando N es grande podemos aproximar la distribución hipergeométrica a una distribución binomial:

10.0Nn

),(~),,( pnBNpnH

Ejemplo

De cada 2000 tornillos fabricados por una determinada máquina hay 2 defectuosos. Para realizar un control de calidad, se observa 150 tornillos y se rechaza el lote si el número de tornillos defectuosos es mayor que 1.  

¿ Cuál  es la probabilidad de que el lote sea rechazada?

Distribuciones Continuas

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Es la más sencilla de las distribuciones continuas, surge al considerar una variable aleatoria que toma valores con la misma probabilidad en un intervalo finito.

Su nombre se debe al hecho de que la densidad de probabilidad de esta variable aleatoria es uniforme sobre todo su intervalo de definición.

Función de Densidad

casos en otros

bxa

oabxf

1

)( ),( baUx

Función de Distribución

ba

bxsi

bxasi

axsi

abax

dxxf

xXPxF

1

0

)(

)()(

Media y Varianza

2]

baE[X

12

2abV[X]

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

• Esta distribución se utiliza como modelo para la distribución de tiempos entre la presentación de eventos sucesivos.

• Existe un tipo de variable aleatoria que obedece a una distribución exponencial la cuál se define como el tiempo que ocurre desde un instante dado hasta que ocurre el primer suceso.

Función de Densidad

casosotrosen

xexf

x

0

0)(

Función de Distribución

01

00)()(

xe

xxXPxF x

Media y varianza

1

E[X]

2

1

V[X]

Distribución Normal

• Es muy conocida, dado que se presta muy bien para el estudio de gran cantidad de fenómenos.

• Está caracterizada por dos parámetros: la media, μ y la desviación típica, σ.

Función de densidad

0) (σ π2σ

1)(

2

2

σ2

μ)(

x

exf

σ)μ,(Nx

Función de distribución

Puede tomar cualquier valor (-, +) Hay más probabilidad para los valores

cercanos a la media µ

Conforme nos separamos de µ , la probabilidad va decreciendo de igual forma a derecha e izquierda (es simétrica).

Conforme nos separamos de µ , la probabilidad va decreciendo dependiendo la desviación estándar σ

Función de distribución

xx

xdxexF 2

1)(

2

2

2

)(

Características

Tiene forma de campana, es asintótica al eje de las abscisas (para x = )

Simétrica con respecto a la media () donde coinciden la mediana (Me) y la moda (Mo )

Los puntos de inflexión tienen como abscisas los valores La curva normal es asintótica al eje de X

Si tomamos intervalos centrados en μ, y cuyos extremos están…

a distancia σ, → tenemos probabilidad 68%

a distancia 1,96 σ, → tenemos probabilidad 95%

a distancia 2,58 σ → tenemos probabilidad 99%

Probabilidades bajo la curva

Variación de la media

Variación de la desviación estándar

Distribución normal estándar

No depende de ningún parámetro.

Su media es 0, su varianza es 1 y su desviación estándar es 1.

La curva  f(x)  es simétrica respecto del eje de Y

Tiene un máximo en el eje de Y.

Tiene dos puntos de inflexión en 1 y -1

Estandarización

N(μ, σ)

N(0,1)

Estandarización

x

z

x : Variable aleatoriaµ : Media aritmética de la población.σ : Desviación estándar de la población

0.00.10.20.30.4

0.5

0.00.10.20.30.4

0.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0363 .0675 .0675 .0754

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .... ...... ......

.1179 ..... ...... ...... ......

.1554 .... ..... ....

.1915 ....

La tabla consta de: *Margen izquierdo : Los enteros de z y su primer decimal.* Margen superior: segundo decimal* Cuerpo de la tabla: áreas correspondientes,

acumuladas, desde 0 hasta 3.99

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Ejemplo

Los autobuses de cierta línea van a un horario estricto con intervalo de 8 minutos. Un pasajero llega de imprevisto a un determinado paradero.

Hallar:

a)La función de densidad del tiempo de espera del pasajero

b)La función de distribución del tiempo de espera del pasajero

c)La probabilidad de que espere el autobús menos de 5 min.

d)La probabilidad de espere más de 2 minutos.

e)La probabilidad de que espere exactamente 7 minutos

Ejemplo

Suponga que el tiempo de respuesta en cierta terminal de computadora en línea (el tiempo transcurrido entre el fin de la consulta del usuario y el principio de la respuesta del sistema a esa consulta) tiene una distribución exponencial con tiempo esperado de respuesta igual a 5 s.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta sea a lo sumo 10 s?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de respuesta esté entre 5 y 10s?

c) Halle la función de densidad del tiempo de respuesta

Ejemplo

Se quiere dar una beca a uno de dos estudiantes de sistemas educativos diferentes y se asignará al que tenga mejor expediente académico: El estudiante A tiene una calificación de 8 en

un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(6,1).

El estudiante B tiene una calificación de 80 en un sistema donde la calificación de los alumnos se comporta como N(70,10).

Ejemplo

Una fábrica produce un tipo de neumáticos que tiene una vida útil media de 80000 km y una desviación estándar de 8000 km. Suponiendo que esta vida útil esta distribuida normalmente:

a)¿Cuál es la probabilidad que un neumático dure más de 96000 km?

b)El 50% de los neumáticos duran entre x1 y x2 km. Halle los valores de x1 y x2 si son simétricos respecto a la media.