Distribuciones de Probabilidad

DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD DISCRETAS

2,1,1 BINOMIAL

Concepto

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad utilizada de una variable aleatoria discreta. Describe varios procesos de interés para los administradores.

Describe datos discretos, resultantes de un experimento denominado proceso de bernoulli

CARACTERÍSTICAS

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:

La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito) y su contrario suceso contrario

La distribución binomial se suele representar por b(n, p).N es el número de pruebas de que consta el experimento.P es la probabilidad de éxito.

La probabilidad de suceso contrario es 1− p, y la representamos por q.

FORMULA

Ejemplo 1.

Una fábrica tiene una norma de control de calidad consistente de elegir al azar diariamente 20 artículos producidos y determinar el número de unidades defectuosas. Si hay dos o más artículos defectuosos la fabricación se detiene para inspección de los equipos. Se conoce por experiencia que la probabilidad de que un articulo producido sea defectuoso es 5%. Encuentre la probabilidad de que en cualquier día de la producción se detenga al aplicar esta norma de control de calidad.RESPUESTA.- Esta situación corresponde a un experimento binomialn= 20 ……….Cantidad de ensayos (independientes)p = 0.05 …….Probabilidad de éxito ( constante)X: ……………Variable aleatoria discreta (cantidad de artículos defectuosos)X= 0,1,…,20 ...Valores que puede tomar X.Antes de continuar cabe señalar que algunos autores manejan la siguiente formula, pero que es lo mismo que la señalada anteriormente FORMULA

Ejemplo 2.

Hallar la probabilidad de que al lanzar una moneda 3 veces al aire resulten; a) 3 caras, b) Dos águilas y una cara, c) al menos 1 cara, d) no mas de un águila. Empleando la formula tenemos:

a) P (3 caras) =

b) P (2 águilas, 1 cara) =

c) P (al menos 1 cara) = P(1 cara) + P (2 caras) + P (3 caras)

De otra manera, P (al menos 1 cara)= 1- P( ninguna cara)

d) P ( no mas de una águila) = P (0 águila o 1 cara) =P (0 águilas) + P(1 águila) =

EJEMPLO

3.Si el 20 % de los tornillos producidos por una máquina son defectuosos, determinar la probabilidad de que de 4 tornillos escogidos aleatoriamente a) 1, b) 0, c) Que menos de 2, sean defectuosos.La probabilidad de un tornillo defectuoso es p=0.2, de un tornillo no defectuoso es q =1- p = 0.8. Sea la variable aleatoria X el número de tornillos defectuosos. Entonces

a) P(X=1) =

b) P(X=0) =

c) P(X<2) = P(X=0) + P (X=1) =0.4096 + 0.4096 = 0.8192

FORMULA DE PERMUTACIONES Y COMBINACIONES

2,1,2 POISSON

•CONCEPTO

Es una distribución de probabilidad discreta

Probabilidad de que un correcto numero de eventos ocurran en un periodo de tiempo

Si estos ocurre con una tasa media conocida

Si cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el ultimo evento

PARA QUE??

IMPREDECIBILIDAD

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SITUACIONES DONDE LOS SUCESOS SON IMPREDECIBLES

OCURRENCIA


PERMITE DETERMINAR LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE UN SUCESO CON EL RESULTADO DISCRETO

UTILIDAD


CUANDO LA MUESTRA O SEGMENTO (N) ES GRANDE Y LA PROBABILIDAD DE ÉXITOS (P) ES PEQUEÑA

CARACTERÍSTICAS

El numero de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos es independiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo de tiempo o región

La probabilidad de que un resultado muy pequeño ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región

La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa región tan pequeña es inapreciable, que se puede asignar el valor de 0

El numero medio (promedio) de eventos en el espacio temporal o región especifica de interés, por lo general esta media se representa por la lambda griega (λ)

FORMULA

...3,2,1,0

,!

)(

xx

exXP

x

La varianza del número de eventos de una distribución de probabilidad de Poisson también es igual a la media de la distribución λ. De este modo, la desviación estándar es la raíz cuadrada de λ. V(X) = λ σ = √ λ

P (x I λ) = la probabilidad de que ocurran X éxitos cuando el número promedio de ocurrencia de ellos es λ

λ media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto e Es la constante 2.7183, base de los logaritmos naturales, en tanto que los valores de e-λ pueden obtenerse de tablas.

X señala un valor específico que la variable pueda tomar (el número de éxitos que deseamos ocurran)

Por definición, el valor esperado (media en el intervalo o región de interés) de una distribución de probabilidad de Poisson es igual a la media de la distribución. E(X) = λ

EJEMPLOSEJEMPLO 1.

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿Cuáles son las probabilidades de que reciba:

A) 4 cheques sin fondo en un día.B) 10 cheques sin fondos en cualquiera de 2 días consecutivos

SOLUCION: Formula:

𝑃 (𝑥 )= λ𝑥∗𝑒−λ

𝑥 !Datos:

e=Valor constante꞊ 2.718 λ=Promedio de cheques sin fondo al día ꞊ 6 X=Número de cheques sin fondos esperados en un día ꞊4

EJEMPLOSA. 4 cheques sin fondo en un día.

La probabilidad para que el banco reciba 4 cheques sin fondo es de 0.1339

B. 10 cheques sin fondos en cualquiera de 2 días consecutivos

Datos: e꞊ 2.718 λ꞊ 6*2=12 por día K꞊10

La probabilidad de que el banco reciba 10 cheques sin fondo es de 0.1049

𝑃 (x )=64 ∗ 2.718−6

4!꞊ 0.1339

꞊ 0.1049

EJEMPLOSEJEMPLO 2:Supongamos que hay 300 errores de impresión distribuidos aleatoriamente a lo largo de un libro de 500 paginas: Encuentre la probabilidad de que en una pagina dada contenga exactamente 2 errores de impresión.

Datos: e=Valor constante꞊ 2.718 P=Probabilidad de errores de impresión por página꞊ λ=Promedio de errores de impresión en una página꞊ ? n=Número de errores en el libro꞊300 errores X=Errores de impresión esperados por página=2

𝑃 (2 )=0.62∗2.718− 0.6

2 !

λ꞊ 300 ꞊0.6

𝑃 (2 )=0.36∗0.5492.1

=0.0988


𝑥 !

EJEMPLOSEJEMPLO 3:

La probabilidad de tener un accidente de tráfico es de 0.02 cada vez que se viaja, si se realizan 300 viajes, ¿cual es la probabilidad de tener 3 accidentes?. Como la probabilidad " p " es menor que 0.1, y el producto " n * p " es menor que 10, entonces aplicamos el modelo de distribución de Poisson.

Datos:e꞊Valor constante= 2.718P=Probabilidad de accidentes por cada 300 viajes=.02λ꞊Promedio de accidentes= ?n꞊Número de viajes=300 X=Número de accidentes esperados=3

Por lo tanto, la probabilidad de tener 3 accidentes de tráfico en 300 viajes es del 8.9%

𝑃 (3 )=63∗2.718−6

3 !P (x = 3) = 0.0892


𝑥 !

2,1,3 HIPERGEOMETRICA

CARACTERISTICAA) al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

B) las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

C) cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

D) el número de repeticiones del experimento (n) es constante.

FORMULA Datos:N = Total población = 50R = Éxitos población = 12N = Muestra = 10X = 4

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Ejemplo:

1. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con

defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5

productos de este lote, determine la probabilidad de que a) 3 de los

productos seleccionados no tengan defectos y 1 tenga defectos

menores, b) 4 de los productos seleccionados no tengan defectos y 1

tenga defectos menores.


Solución: a)N= 20+3+2 =25 total de artículos a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 3 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el

# de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos

define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–3−1 = 1 producto con defectos mayores en la muestra =

variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra


Solución: b)N= 25 a=20 productos sin defectos b= 3 productos con defectos menores N-a-b= 2 productos con defectos mayores n= 5 productos seleccionados en la muestra x = 4 productos sin defectos en la muestra = variable que nos define el

# de productos sin defectos en la muestra y = 1 producto con defectos menores en la muestra = variable que nos

define el # de productos con defectos menores en la muestra z = n-x-y = 5–4−1 = 0 productos con defectos mayores en la muestra

= variable que nos define el # de productos con defectos mayores en la muestra


Ejemplo:

De 50 edificios en un parque industrial 12 no cumplen el código eléctrico si se

seleccionan el código eléctrico, si se seleccionan 10 edificios aleatoriamente;

determine la probabilidad de que:

A) 3 no cumplan el código

B) 4 no cumplan el código

C) Menos de 5 no cumplan el código


Datos:N = Total población = 50R = Éxitos población = 12N = Muestra = 10X = 3


Datos:N = Total población = 50R = Éxitos población = 12N = Muestra = 10X = 4


A).-P(X=3) =

B.- P(X=4) =

C.- P(X<5) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)+P(4) =

http://www.vitutor.com/pro/3/b_1.html



http://www.ditutor.com/distribucion_binomial/distribucion_binomial.html

http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/sabaticorita/_private/03Ddistr%20Hipergeometrica.htm








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