Distribuciones Discretas de Probabilidad

UNIVERSIDAD FRANCISCO GAVIDIACENTRO REGIONAL DE OCCIDENTE

ASIGNATURA: Estadística I

TEMA: DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD

DOCENTE: LIC. WALTER FRANCISCO VASQUEZ FLORES

ALUMNO: HEBER ANTONIO LEMUS VILLEDA

FECHA: Santa Ana, 17 de noviembre de 2008.

INDICE

INTRODUCCIÓN............................................2

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD.................3

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE DISCRETA.........4

Distribución Binomial....................................5

Distribución binomial negativa.....................8

Distribución de Poisson...............................10

Distribución Geométrica.............................14

Distribución hipergeométrica.....................16

BIBLIOGRAFÍA.............................................18

Distribuciones Discretas de Probabilidad

INTRODUCCIÓN

Analizar datos recabados, puede tornarse una tarea difícil en cuanto a cuales pueden ser los

resultados y para que necesitarían la información. La estadística, como una rama de la

matemática, presenta formas prácticas de resolver estas dificultades.

Una distribución de los datos en categorías que ha demostrado ser útil al organizar los

procedimientos estadísticos, es la distinción entre variables discretas.

Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente

separaciones entre valores observables sucesivos. En otras palabras, se define una variable

discreta como la variable tal que entre 2 valores cualesquiera observables, hay por lo menos un

valor no observable.

Esta distribución tiene muchas variantes, pero entre las más importantes podemos mencionar 5 y

son: Distribución Binomial, la cual mide el número de éxitos en una secuencia de “n” ensayos

independientes de Bernoulli; Distribución Binomial Negativa, que estudia el número de

experimentos, independientes entre sí; La Distribución Poisson, que expresa la probabilidad de un

número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo: La Distribución Geométrica e Hipergeométrica.

2 Distribuciones Discretas de Probabilidad

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

En estadística, dada una variable aleatoria X, la distribución de probabilidad de X

es la función FX(x), que asigna a cada evento definido sobre X una probabilidad, que está definida

por:

y de manera que se cumplan las siguientes tres condiciones:

1. y

2. Es continua por la derecha.

3. Es monótona no decreciente.

Para simplificar la notación, cuando no hay lugar a confusión se omite el subíndice X, y se escribe

simplemente F(x).

La función de distribución es la acumulada de la función de densidad de probabilidad f(x). Es decir,

se calcula directamente según:

Si x es una variable aleatoria discreta

Si x es una variable aleatoria continua


Propiedades

Para dos números reales cualesquiera a y b tal que (a < b), los sucesos

y serán mutuamente excluyentes y su unión es el suceso , por lo que

tenemos entonces que:

y finalmente

Por lo tanto una vez conocida la función de distribución F(x) para todos los valores de la variable

aleatoria x conoceremos completamente la distribución de probabilidad de la variable.

Para realizar cálculos es más cómodo conocer las distribución de probabilidad, para ver una

representación gráfica de la probabilidad es más práctico el uso de la función de densidad.

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLE DISCRETA

Una variable discreta es sencillamente una variable para la que se dan de modo inherente

separaciones entre valores observables sucesivos. En otras palabras, se define una variable

discreta como la variable tal que entre 2 valores cualesquiera observables, hay por lo menos un

valor no observable.

A dicha función se la llama función de masa de probabilidad. En este caso la distribución de

probabilidad es el sumatorio de la función de masa, por lo que tenemos entonces que:


Y, tal como corresponde a la definición de distribución de probabilidad, esta expresión representa

la suma de todas las probabilidades desde hasta el valor x.

Distribuciones de variable discreta más importantes

Existen 5 tipos de distribuciones de variable discreta que son las más importantes, y estas son:

Distribución binomial

Distribución binomial negativa

Distribución Poisson

Distribución geométrica

Distribución hipergeométrica

Distribución Binomial

Esta distribución se basa en el proceso de Bernoulli. Se denominan procesos de tipo Bernoulli, a

todo experimento consistente en una serie de pruebas repetidas, caracterizadas por tener

resultados que se pueden clasificar en si verifican o no cierta propiedad o atributo, siendo

aleatorios e independientes.

La distribución binomial es una generalización de la distribución de Bernoulli, a la que puede

llegarse nuevamente haciendo n = 1.

Su función de masa de probabilidad está dada por:

para , siendo las combinaciones de en (

elementos tomados de en )


Por ejemplo, la distribución binomial se puede usar para calcular la probabilidad de sacar 5 caras y

7 cruces en 12 lanzamientos de una moneda. En realidad solo se calcula la probabilidad de sacar 5

caras, pero como es lógico si en 12 lanzamientos de una moneda sacamos 5 caras el resto deben

ser cruces, 7 en este caso.

Por lo tanto debemos definir la variable "X: Número de caras obtenidas en 12 lanzamientos de

moneda". En este caso se tiene que y resulta:

Observese que para el caso concreto de la moneda al ser la probabilidad de éxito θ = 0,5 la función

de masa de probabilidad solo depende del número combinatorio ya que:

0,5x(1 − 0,5)n − x = 0,5x0,5n − x = 0,5n − x + x = 0,5n que es constante para un n fijo.

Su media y su varianza son:

Experimento binomial

La variable aleatoria binomial y su distribución están basadas en un experimento que satisface

las siguientes condiciones:

El experimento consiste en una secuencia de n ensayos, donde n se fija

antes del experimento.


Los ensayos se realizan bajo idénticas condiciones, y cada uno de ellos tiene unicamente

dos posibles resultados, que se denotan a conveniencia por éxito (E) o fracaso (F) (p(E)

+p(F)=1).

Los ensayos son independientes, por lo que el resultado de cualquier ensayos en particular

no influye sobre el resultado de cualquier otro intento.

La probabilidad de éxito es idéntica para todos los ensayos.

Siguiendo estas premisas, la variable aleatoria binomial X está definida como

X = el número de E entre los n intentos.

Relaciones con otras variables aleatorias

Se verifica que si son tales que cada una sigue una distribución Bernouilli de

parámetro , y todas ellas independientes entre sí, entonces resulta ser una variable

aleatoria con distribución binomial de parámetros .

Además, si n es grande y es pequeño, de modo que el producto entre ambos parámetros tiende

a , entonces la distribución de la variable aleatoria binomial tiende a una distribución de

Poisson de parámetro

Por último, se cumple que cuando n es muy grande (n>=30) la distribución binomial se aproxima a

la distribución normal.

Propiedades reproductivas

Dadas n variables aleatorias , tales que

todas tienen una distribución binomial

todas tienen el mismo parámetro


cada una tiene su propio parámetro (es decir, los n no necesariamente tienen que ser

iguales)

son todas independientes entre sí

se toma la variable aleatoria

se toma

Entonces:

La variable aleatoria Y tiene una distribución Binomial, con parámetros y .

Por lo tanto, dadas n variables binomiales independientes, donde cada una tiene su propio n pero

todas tienen igual , su suma es también una variable binomial, cuyo parámetro n es la suma de

los n de las variables originales, y cuyo parámetro coincide con el de las originales.

Distribución binomial negativa

En estadística, la distribución binomial negativa, o distribución pascal, es una distribución de

probabilidad discreta.

Esta distribución de variable discreta estudia el número de experimentos, independientes entre si,

realizados hasta la obteción del k-ésimo éxito. Es una variable aleatoria que tiene una distribución

binomial negativa con parámetros k y θ.

Donde k es el número de ensayos exitosos donde acaba el experimento y θ es la probabilidad de

éxito en un ensayo (o experimento).


Su función masa de Probabilidad viene dada por:

Para

Siendo el combinatorio


si pensamos en "fracasos esperados", y

si consideramos "número de experimentos" (incluyen k-1 éxitos y los fracasos)

(para ambos casos)

Por ejemplo, si la probabilidad de que un niño expuesto a una enfermedad contagiosa la contraiga

es 0,40, ¿cuál es la probabilidad de que el décimo niño expuesto a la enfermedad sea el tercero en

contraerla?

Sea X: Número de niños expuestos a una enfermedad contagiosa.


Distribución de Poisson

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson1 expresa la probabilidad de un

número k de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos ocurren con una tasa media

conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.

La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson(1781–1840) que publicó, junto con su

teoría de probabilidad, en 1838 en su

trabajo Recherches sur la probabilité

des jugements en matières

criminelles et matière civile2. El

trabajo estaba enfocado en ciertas

variables aleatorias N que cuentan,

entre otras cosas, un número de

ocurrencias discretas (muchas veces

llamadas "arribos") que tienen lugar

durante un intervalo de tiempo de duración determinada. Si el número esperado de ocurrencias en

este intervalo es λ, entonces la probabilidad de que haya exactamente k ocurrencias (siendo k un

entero no negativo, k = 0, 1, 2, ...) es igual a:

dónde

e es el base del logaritmo natural (e = 2.71828...),

k! es el factorial de k,

k es el número de ocurrencias de un evento,

1 La distribución Poisson es también llamada Poissoniana, análogamente al término Gaussiana para una distribución de Gauss o distribución normal.2"Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y civiles"


El eje horizontal es el índice k. La función solamente está definida en valores enteros de k. Las líneas que conectan los puntos son solo guías para el ojo y no indican

λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un

intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y se está

interesado en el número de eventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, se usaría

como modelo una distribución de Poisson con λ = 2.5.

Por ejemplo, si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa,

obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan

encuadernaciones defectuosas.


Como una función de k, ésta es la función probabilidad de masa. La distribución de Poisson puede

ser vista como un caso limitante de la distribución binomial, es decir, que una distribución binomial

en la que y se puede aproximar por una distribución de Poisson de

valor

Ocurrencia

La distribución Poisson, Se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos

fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área

determinada) cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el

espacio. Ejemplos de estos eventos que pueden ser modelados por la distribución Poisson

incluyen:


El número de autos que pasan a través de un cierto punto en una ruta (suficientemente

distantes de los semáforos) durante un periodo definido de tiempo.

El número de errores de ortografía que uno comete al escribir una única página.

El número de llamadas telefónicas en una central telefónica por minuto.

El número de servidores web accedidos por minuto.

El número de animales muertos encontrados por unidad de longitud de ruta.

El número de mutaciones de determinada cadena de ADN después de cierta cantidad de

radiación.

El número de núcleos atómicos inestables que decayeron en un determinado periodo de

tiempo en una porción de sustancia radiactiva. La radiactividad de la sustancia se debilitará

con el tiempo, por lo tanto el tiempo total del intervalo usado en el modelo debe ser

significativamente menor que la vida media de la sustancia.

El número de estrellas en un determinado volumen de espacio.

La distribución de receptores visuales en la retina del ojo humano.

La inventiva de un inventor a través de su carrera.


Propiedades

El valor esperado de una variable aleatoria con distribución Poisson es igual a λ y también

lo es su varianza. Los momentos más altos de la distribución Poisson son polinomios de

Touchard en λ cuyos coeficientes tienen un sentido combinatorio. De hecho, cuando el

valor esperado de la distribución Poisson es 1, entonces la fórmula de Dobinski dice que el

enésimo momento iguala al número de particiones de tamaño n.

Las medidas de tendencia central de una variable aleatoria de distribución Poisson con un

λ no entero es igual a (o suelo de λ), el cual es el número entero más grande menor o

igual a λ. Esto también es expresado como la función parte entera de λ. Cuando λ es un

entero positivo, las medidas de tendencia central son λ y λ − 1.

Sumas de las variables aleatorias de distribución Poisson:

Si sigue una distribución Poisson con parámetro

y Xi son independientes entonces también sigue una

distribución Poisson cuyo parámetro es la suma de los parámetros del componente.

La función generadora de momentos de la distribución Poisson con valor esperado λ es:

Todas las acumulaciones de la distribución Poisson son iguales al valor esperado λ. El

enésimo momento factorial de la distribución Poisson es λn.

La distribuciones Poisson son funciones probabilísticas infinitamente divisibles.


La divergencia Kullback-Leibler dirigida entre Poi(λ0) y Poi(λ) está dada por:

Distribución Geométrica

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución geométrica es cualquiera de las

dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:

La distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para

obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o

La distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito,

contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.

Cuál de éstas es la que uno llama "la" distribución geométrica, es una cuestión de convención y

conveniencia.

Si la probabilidad de éxito en cada ensayo es p, entonces la probabilidad de que n ensayos sean

necesarios para obtener un éxito es

para n = 1, 2, 3,.... Equivalentemente, la probabilidad de que haya n fallos antes del primer éxito es

para n = 0,1, 2, 3,....

En ambos casos, la secuencia de probabilidades es una secuencia geométrica.

Por ejemplo, supongamos que un dado ordinario es lanzado repetidamente hasta que aparece "1"

por primera vez. La distribución de probabilidad del número de veces que el dado es lanzado se

encuentra en el conjunto infinito {1, 2, 3,...} y es una distribución geométrica conp=1/6.


El valor esperado de una variable aleatoria X distribuida geométricamente es 1/'p y su varianza es

(1 − p)/p2;

Equivalentemente, el valor esperado de una variable aleatoria distribuida geométricamente Y es

(1 − p)/p, y su varianza es (1 − p)/p2.

La función generatriz de probabilidad de X y la de Y son, respectivamente,

Como su continua análoga (la distribución exponencial), la distribución geométrica es sin memoria.

Esto significa que si intentamos repetir el experimento hasta el primer éxito, entonces, dado que el

primer éxito todavía no ha ocurrido, la distribución de probabilidad condicional del número de

ensayos adicionales no depende de cuantos fallos se hayan observado. El dado o la moneda que

uno lanza no tiene "memoria" de estos fallos. La distribución geométrica es de hecho la única

distribución discreta sin memoria.

De todas estas distribuciones de probabilidad contenidas en {1, 2, 3,... } con un valor esperado

dado μ, la distribución geométrica X con parámetro p = 1/μ es la de mayor entropía

La distribución geométrica del número y de fallos antes del primer éxito es infinitamente divisible,

esto es, para cualquier entero positivo n, existen variables aleatorias

independientes Y 1,..., Yn distribuidas idénticamente la suma de las cuales tiene la misma

distribución que tiene Y. Estas no serán geométricamente distribuidas a menos que n = 1


Distribuciones relacionadas

La distribución geométrica Y es un caso especial de la distribución binomial negativa, con r = 1.

Más generalmente, si Y 1,...,Yr son variables independientes distribuidas geométricamente con

parámetro p, entonces sigue a una distribución binomial negativa con

parámetros r y p.

Si Y1,...,Yr son variables independientes distribuidas geométricamente (con diferentes parámetros

de éxito pm posibles ), entonces su mínimo W = minmYm es también geométricamente distribuido,

con parámetro p dado por

1−∏m

(1−Pm)

Distribución hipergeométrica

En estadística la Distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta con

tres parámetros discretos N, d y n cuya función de probabilidad es:

N = Tamaño de población.

n = Tamaño de muestra.

d = Cantidad de elementos que cumple característica deseada.

x = Cantidad de éxitos.


Aquí, se refiere al coeficiente binomial, o al número de combinaciones posibles al

seleccionar b elementos de un total a.

Esta distribución se refiere a un espacio muestral donde hay elementos de 2 tipos posibles. Indica

la probabilidad de obtener un número de objetos x de uno de los tipos, al extraer (sin reemplazo)

una muestra de tamaño n, de un total de N objetos, de los cuales d son del tipo requerido.

El valor esperado de una variable aleatoria X de distribución hipergeométrica es

Y su varianza

llamando

, q = 1 − p entonces:

La distribución hipergeométrica se puede aproximar por una distribución binomial Bi(n,p) si

y


BIBLIOGRAFÍA

Gestiopolis: http://www.gestiopolis.com/recursos/experto/catsexp/pagans/eco/44/

distripoisson.htm 10:00 pm - 15 /Nov/ 2008.

Monografías:

http://www.monografias.com/trabajos27/probabilidadesdiscretas/probabilidades-

discretas.shtml - 03:15 pm - 16 /Nov/ 2008.

Wikipedia: http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidad

– 9:45 am – 15 /Nov/ 2008.


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