T1. Distribuciones de probabilidad discretas - RUA:...
Transcript of T1. Distribuciones de probabilidad discretas - RUA:...
-
1
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Departamento de Ciencias del Mar y Biologa Aplicada
T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Estadstica
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Inferencia estadstica:
Parte de la estadstica que estudia grandes colectivos a partir de una pequea parte de stos (Poblacin - Muestra)
Caractersticas de la muestra
Tipos de procedimientos:
Inferencia paramtrica: Se admite que la distribucin de la pob. pertenece a una familia paramtrica de distribuciones
Inferencia no paramtrica: No supone una distribucin de prob. y las hiptesis son ms generales (como simetra)
Representativa de la poblacin Alcanzar objetivos precisin fijados
Introduccin
-
2
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Muestra Poblacin
x s 0
5 10 15 20
0 5 10 15 20 tiempo
Xi
0 5
10 15 20
0 5 10 15 20 tiempo
Xi
0 5
10 15 20
0 5 10 15 20 tiempo
Xi
Introduccin
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Descriptivos de una variable
Media
Varianza
Desviacin Tpica
x =XiFi
i=1
n
!n
S2 =(Xi ! x )
2Fii=1
n
"n!1
S = S2
Introduccin
-
3
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Tipos de variables
Variables cualitativas, categricas o atributos: No toman valores numricos y describen cualidades. Ej. Clasificacin en base a una cualidad. (sexo, color, etc.)
Variables cuantitativas discretas: Toman valores enteros, por lo general contar el n de veces que ocurre un suceso. (abundancias o conteos)
Variables cuantitativas continuas: Toman valores en un intervalo, por lo general medir magnitudes continuas. (altura, temperatura, etc.)
Variable aleatoria: Cualquier funcin medible que asocia a cada suceso en un experimento aleatorio un nmero real
Introduccin
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Variables aleatorias discretas (v.a.d.):
Funcin de probabilidad: Asigna a cada posible valor de una variable discreta su probabilidad. Para valores x1, x2, , xn, se asocia una p1, p2, , pn, donde
y
Funcin de distribucin: F(x) en un valor x es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado
)( ixXP =
=
=)/(
11
n
iip
)()( xXPxF =
Abundancia
Abundancia
Introduccin
-
4
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Variables aleatorias continuas (v.a.c.):
Funcin de densidad: probabilidad media en entre dos valores de la variable (cuando su diferencia tiende a 0)
Funcin de distribucin:es la probabilidad de que X tome valores menores o iguales a x. Acumula toda la probabilidad entre menos infinito y el punto considerado
==x
duufxXPxF )()()(
P(a < X < b) = P(a ! X ! b)
f (x)dxa
b" = F(b)#F(a)Temperatura
Temperatura
Introduccin
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Definicin: Experimento aleatorio que se hace una sola vez y cuyos resultados posibles son complementarios (xito/fracaso, si/no, presencia/ausencia, etc).
Ejemplos: Probabilidad de obtener cara en el lanzamiento de una moneda.
Probabilidad de que un individuo nazca macho/hembra.
Probabilidad de que al caer una tostada quede el lado de la mermelada hacia arriba.
Modelos de dist. Discreta: Proceso de Bernoulli
-
5
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Definicin: Ejecutar n veces un experimento de Bernoulli.
Condiciones: Condiciones no varan Experimentos independientes (prob. no condicional)
Variables que definen al proceso: Cantidad de veces que se ejecuta (n) Prob. de xito (p), prob. de fracaso (q=1-p) Veces que se obtiene el xito en las veces que se ejecuta (k)
Ejemplos: Lanzar una moneda 3 veces y obtener 2 caras Probabilidad de que de las 4 cras de un mamfero 3 sean hembra.
Modelos de dist. Discreta: Binomial
np= npq=2XB (n, p)
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Funcin de Probabilidad:
knkqpkn
kXP
== )(
Modelos de dist. Discreta: Binomial
donde 0 k n
Funcin de distribucin (Tabla Binomial):
=
=
k
x
xnxqpxn
kXP0
)( donde 0 k n
-
6
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
De una poblacin de cetceos se sabe que el 60% son machos. Si se extrae un conjunto de 10 de ellos, cul es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 hembras?
X = N de hembras en el conjunto n = 10 P = 0.4
Cul es la probabilidad de que hayan 3 o menos hembras? Tabla Binomial
Ejemplo
042.06.04.0710
)7( 7107 =
== XP
382.0)3()2()1()0()3( ==+=+=+== XPXPXPXPXP
Modelos de dist. Discreta: Binomial
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Cul es la probabilidad de que en ese conjunto haya 7 machos o menos? PROBLEMA CON LAS TABLAS (p hasta 0.5)
0.16731)2(1)3( == XPXP
n = 10 P = 0.4 P(X>3)
n = 10 P = 0.6 P(X
-
7
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Modelos de dist. Discreta: Poisson
Definicin: Probabilidad de que ocurra un nmero de sucesos en un tiempo o espacio determinado.
Variables que definen al proceso: Nmero de sucesos medio que ocurren en un determinado tiepo o espacio ()
Ejemplos: Nmero de peces observados en un transecto Nmero de aves avistadas durante una hora Nmero de bacterias observadas por campo de microscopio
= ! ! 2 = "XP ()
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Funcin de Probabilidad:
P(X = x) = e!! !x
x!
Modelos de dist. Discreta: Poisson
Funcin de distribucin (Tabla Poisson):
donde x >0
donde 0 x k P(X ! k) =x=0
k
" e#! !x
x!
-
8
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Ejemplo
Los avistamientos de cachalotes sigue una distribucin de Poisson de media 2 avistamientos en un transecto de muestreo de 1km de recorrido tras una salida en barco. Calcula la probabilidad de:
1. No haya ningn avistamiento en el recorrido del barco:
2. Haya menos de cinco en el mismo recorrido:
3. Y menos de seis si consideramos un recorrido de 5km
135.0!02)0(0
2 === eXP
947.0!42
!32
!2221)4(
4322 =
++++= eXP
P(X ! 5 ! ' ) = e"10 100
0!+101
1!+102
2!+103
3!+104
4!+105
5!#
$%
&
'(= 0.067
105' ==
Modelos de dist. Discreta: Poisson
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Comando a utilizar con R: dbinom(x,tamao,prob): Funcin de probabilidad
pbinom(x,tamao,prob): F. prob. acumulada
qbinom(prob,tamao,prob): Quantiles
rbinom(nobs,tamao,prob): Nmeros pseudoaleatorios
Modelos de dist. Discreta: Binomial
-
9
Estadstica :: T1. Distribuciones de probabilidad discretas
Comando a utilizar con R: dpois(x,lambda): Funcin de probabilidad
ppois(x,lambda): F. prob. acumulada
qpois(prob,lambda): Quantiles
rpois(nobs,lambda): Nmeros pseudoaleatorios
Modelos de dist. Discreta: Poisson