RELACIÓN DE LA PROBABILIDAD CON LA TEORÍA DE CONJUNTOS

Presentado por :

ABEL CLINTON HUANCA QUISPE

DEFINICIONES BASICAS

Un experimento constituye un proceso con un resultado que no se puede predecir ciertamente con anterioridad.

experimento

ESPACIO MUESTRAL

conjunto de todos los posibles resultados de un experimento. Se le suele denotar con la letra griega Ω.

Ω = {“cara”, “cruz”}

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

EVENTO O SUCESO

subconjunto de un espacio muestral.

A = {2, 4, 6}

probabilidad de que al lanzar el dado, su resultado sea par (A) impar (B), por lo tanto, el evento o suceso, será:B = {1, 3, 5}

COMBINACIÓN DE SUCESOS.

Con las operaciones entre conjunto se pueden establecer algunas propiedades que permiten calcular fácilmente la probabilidad de ciertos eventos.

La teoría de conjunto, permite en los cálculos de probabilidad, realizar operaciones entre los eventos como unir, intersectar o complemento.

UNIONAUB“A o B”

INTERSECIONA∩B“A y B”

COMPLEMENTOĒ

P(Ē) = 1 - P(E)

SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES.

Se dice que los sucesos A y B son mutuamente excluyentes si no tienen resultados en común.

P(AUB) = P(A) + P(B)

A B

PROBABILIDADES

suceso dentro de un espacio muestral que tiene una probabilidad de ocurrir.

se representa la probabilidad con la letra P

REGLA DE LA SUMA

Sea A y B cualquier suceso:

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

En caso que los sucesos A y B sean mutuamente excluyentes, la suma será:

P(AUB) = P(A) + P(B)

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Probabilidad total

SUCESOS COMPATIBLES

Dos sucesos A y B son compatibles sólo si:

SUCESOS INCOMPATIBLES.

Dos sucesos A y B son incompatibles sólo si:

Sucesos dependientes.Dos sucesos A y B son dependientes sólo

si:

Sucesos independientes.Dos sucesos A y B son independientes sólo

si:

la relación entre probabilidad y conjuntos

Ejercicios simples

Un ladrón, al huir de un policía, puede hacerlo por las calles A, B o C, con probabilidades P(A)=0,25 , P(B)=0,6 y P(C)=0,15 respectivamente. La probabilidad de ser alcanzado por la calle es 0,4 , si huye por la calle B es 0,5 y si huye por la calle C es 0,6.a)      Calcule la probabilidad de que la policía alcance al ladrónb)      Si el ladrón ha sido alcanzado. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido en la calle A?

a) - La probabilidad de que el policía alcance al ladrón es si P(A)= probabilidad de ir porA , P(B)=probabilidad de ir por B y

P(C) =probabilidad e ir por C P(alcance)

=P(P)=P(P/A)·P(A)+P(P/B)·P(B)+P(P/C)·P(C)= 0,25·0,4+0,6·0,5+0,15·0,6=0,49

b) Probabilidad de que siendo alcanzado la haya sido en A

Una compañía dedicada a la minería explota tres tipos de metales de una mina, de forma que el 60%es de cobre, el 30% es la plata y el 10%es oro. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, la producción sea 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada metal. Determina la probabilidad de que, en un día, la mina no pare.

    P(Pa) = P(M1) ·P(Pa/M1) + P(M2) · P(Pa/M2) + P(M3) · P(Pa/M3) =                = 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 = 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025

El suceso "de parar" (Pa) puede producirse los tres metales, (M1, M2, M3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos: