ProbabilitatLlicons 3 & 4

Albert Satorra

UPF

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 1 / 40

ProbabilitatLlicons 3 & 4

Albert Satorra

UPF

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 2 / 40

Continguts

1 Probabilitat Condicionada, Regla del Producte

2 Llei de la probabilitat total

3 Teorema de Bayes

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 3 / 40

Problema de l’accident i matricula de tres zeros

Un vianant mort atropellat. El cotxe ha fugit. Un testimoni afirma que lamatrıcula tenia exactament tres zeros. La fiabilitat del testimoni es un90%. Emprant aquesta informacio del testimoni, calculeu la probabilitatque la matrıcula del cotxe de l’accident tingui exactament tres zeros.Nota: Sense cap informacio de testimoni, la probabilitat que un cotxetingui la matrıcula amb tres zeros es: 0.0036 (matrıcula de quatre digits i3 lletres)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 4 / 40

Problema de les tres caixes (C1,C2,C3) i bolesblanques i negres (B,N)

Suposeu tres caixes amb la seguent composicio de boles blanques i negres:Caixa 1 (C1): NBBCaixa 2 (C2): NNBCaixa 3 (C3): NNNTirem un dau de sis cares: si surt 1,2,3, triem C1; si surt 4, 5, triem C2; sisurt 6, triem C3. De la caixa escollida, triem a l’atzar una bola.Considereu l’esdeveniment B si el resultat es bola blanca; i N si el resultates bola negra. Calculeu:

1 Probabilitat de B

2 Probabilitat de C1 quan sabem que la bola escollida es B

Veurem: Probabilitat condicionada; T. de la Probabilitat total; T. deBayes; Probabilitats a priori, a posteriori. Tambe el concepte deindependencia.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 5 / 40

La probabilitat condicional de l’esdeveniment A conegut/donatl’esdeveniment B , P(A|B), es defineix com,

P(A|B) =P(A ∩ B)

P(B), sempre que P(B) > 0

Regla del producte P(A ∩ B) = P(A|B) · P(B)

Exemple

El 80% dels clients d’un Frankfurt fan servir ketchup (K ), el 75% fanservir mostassa(M) i el 65% fan servir tots dos (K ∩M). Probabilitat queun consumidor de ketchup faci servir mostassa?

P(M|K ) =P(M ∩ K )

P(K )=

0, 65

0, 80= 0, 8125

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 6 / 40

Figure : Probabilitat Condicionada amb diagrames de Venn

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 7 / 40

Independencia

Els esdeveniments A i B son independents si: P(A | B) = P(A), oP(B | A) = P(B). Es equivalent a

P(A ∩ B) = P(A)× P(B)

Ex. Pau i Maria seuen en mateix seient a la guarderia. EsdevenimentsA = “pares del Pau estan divorciats”, B = “Pares de la Maria estandivorciats” . Son A i B independents?

Ex. Pau i Maria . . . . A = “ Pau porta polls al cap quan arriba acasa”, B = “ Maria porta polls al cap quan arriba a casa”. Son A i Bindependents?

Compte que A,B,C poden ser independents a parelles pero no mutuamentindependents. Ex. Dau de 4 cares: A = 1, 2, B = 1, 3, C = 1, 4

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 8 / 40

Ex. En el meu trajecte a la UPF amb metro, trobo dues escalesmecaniques, a i b. Si A = “escala a avariada”, B = “escala b avariada”.Suposeu, P(A) = 0.2, P(B) = 0.3, P(A ∩ B) = 0.2. Descriu A ∪ B,A ∩ B, determina P(A ∪ B). Es P(A) igual a P(A | B)?

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 9 / 40

Exemple: A = “accions es posen a la venda” C =Color favorit director esel verd. P(A|C ) = P(A) !!!A i B son independents si P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0)

Equivalentment, si P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Exemple

Tirem dos daus: d1 i d2. S:= d1 + d2 y D:=d1 − d2

P(S = 2) =1

36, P(D = −4) =

2

36

P(S = 2 ∩ D = −4) = 0

S = 2 i D = −4 no son independents

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 10 / 40

Figure : Teorema de les Probabilitats Totals

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 11 / 40

Teorema (llei) de la probabilitat total

Siguin1 E1, . . . Ek mutuament excloents, col.lectivament exhaustius ambP(Ej) > 0.Sigui A esdeveniment qualsevol. Podem escriure

A = (A ∩ E1) t · · · t (A ∩ Ek)

Aixı,P(A) = P(A ∩ E1) + · · ·+ P(A ∩ Ek)

d’on es te el Teorema de la probabilitat total

P(A) = P(A|E1) · P(E1) + · · ·+ P(A|Ek) · P(Ek)

1Es tracta d’una particio de Ω

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 12 / 40

Exemple

. . . el problema de les tres caixes: (PB) =?

P(B) = P(B | C1)P(C1) + P(B | C2)P(C2) + P(B | C3)P(C3)

=2

3× 3

6+

1

3× 2

6+

0

3× 1

6= 0.5

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 13 / 40

Exemple

Dels articles produıts diariament per una fabrica, el 40% prove de la lıniade produccio I i el 60% prove de la lınia II .El percentatge de defectuosos de la lınia I es el 8%, mentre que elpercentatge de defectuosos de la lınia II es el 10%.Es pren un article a l’atzar de la produccio diaria; calculeu la probabilitatque no sigui defectuos.D =“L’article es defectuos” , D =“L’article no es defectuos”L1=“L’article es de la lınia 1” , L2=“L’article es de la lınia 2”.

P(D) = P(D|L1) · P(L1) + P(D|L2) · P(L2) =

= 0.92 · 0.4 + 0.90 · 0.6 = 0.908

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 14 / 40

Exemple

S’estima que el 48% de les llicenciatures son obtingudes per dones i que el17,5% de totes les llicenciatures son en Empresarials. El 4,7% de totes lesllicenciatures corresponen a les dones que es graduen en Empresarials. Sonels esdeveniments ”El Llicenciat es una dona” i ”El llicenciat ho es enEmpresarials” independents?A:= ”El licenciat es una dona”; P(A) = 0, 48B:= ”El llicenciat ho es en Empresarials”; P(B) = 0, 175A ∩ B:= ”Llicenciat en Empresarials i dona”; P(A ∩ B) = 0, 047

Possibilitat 1: P(A) · P(B) 6= P(A ∩ B) (0, 48 · 0, 175 6= 0, 047)

Possibilitat 2: P(A|B) = P(A∩B)P(B) 6= P(A)

(0,0470,175 6= 0, 48

)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 15 / 40

Regla del producte. P(A ∩ B) = P(A | B) · P(B)

. . . mes de dos: Si E1,E2, . . . ,Ek son esdeveniments tals quelP(E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−1) > 0 aleshores,

P(E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek) = P(E1) · P(E2 | E1) · P(E3 | E2 ∩ E1) · · ·

· · ·P(Ek−1 | E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−2) · P(Ek | E1 ∩ E2 ∩ . . .Ek−1)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 16 / 40

Exemple

Una caixa conte 8 boles vermelles, 3 blanques i 9 blaves. Fem tresextraccions sense reemplacament de la caixa. Determina la probabilitat deque

1 Totes tres siguin vermelles

2 Es trien en l’ordre vermell, blanc i blau

3 Es tria una de cada color

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 17 / 40

1 Sigui Vi l’esdeveniment “La ima extraccio es vermella”.

P(V1∩V2∩V3) = P(V1) ·P(V2 | V1) ·P(V3 | V1 ∩ V2) =8

20· 7

19· 6

18

2 Sigui Wi l’esdeveniment “La ima extraccio es blanc” i Bi

l’esdeveniment “La ima extraccio es blava”

P(V1 ∩W2 ∩ B3) = P(V1) · P(W2 | V1) · P(B3 | V1 ∩W2) =

=8

20· 3

19· 9

18=

3

95

3 L’ordenacio dels colors correspon a P3 = 3! = 6 i tots els resultatsbasics favorables tenen la mateixa probabilitat que P(V1 ∩W2 ∩ B3).Per aixo la probabilitat demanada es

6 · 3

95=

18

95

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 18 / 40

Bayes

Repassem resultats/definicions

1 P(A | B) = P(A∩B)P(B)

2 P(A ∩ B) = P(B ∩ A)

3 P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)

4 1 and 2 →

P(B | A)P(A) = P(A ∩ B)P(A)

P(A)= P(B ∩ A)

P(B)

P(B)= P(A | B)P(B)

P(B | A) =P(A | B)P(B)

P(A)

5 1 and 3 →

P(A) = P(A | B)P(B) + P(A | Bc)P(Bc)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 19 / 40

Thomas Bayes 1702-1761

Figure : de wikipedia

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 20 / 40

Bayes’s Formula

1 4 and 5 →

P(B | A) =P(A | B)P(B)

P(A | B)P(B) + P(A | Bc)P(Bc)

P(B | A)?

A: El sospitos es del mateix grup sanguini que el criminal(per les mostres de sang trobades, suposem grup sanguini A de prevalenciael 10%)B: El sospitos es inocentConeixem: P(A), P(B), P(A | B) = P(A)

La probabilitats clau es: P(A | Bc) =?

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 21 / 40

Exemple de Bayes

A =” Noi mes alt de 1.85”B = “Jugador de Basquet”Suposeu:

P(A | B) = 0.8 P(B) = 0.1 P(A | Bc) = 0.2

1 P(B | A) = ?

P(B | A) =P(A | B)P(B)

P(A | B)P(B) + P(A | Bc)P(Bc)

=.8× .1

.8× .1 + .2× .9= 0.3076923 ≈ 31%

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 22 / 40

Ex. En una ciutat hi han dos empreses de taxi, el 80% blaus, el 20% grocs.En el judici d’un assassinat hi ha involucrat un taxi; era la nit i el testimoniafirma que el taxi era groc. La probabilitat que el testimoni hagi vistcorrectament el color del taxi es del 70%. Probabilitat que el taxi fos groc?

P(G | TG) =P(TG ∩ G)

P(TG)=

P(TG | G)P(G)

P(TG | G)P(G) + P(TG | G c )P(G c )=

0.7× 0.2

0.7× 0.2 + 0.3× 0.8= 0.3684211

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 23 / 40

Exemple

S’ha desenvolupat un procediment per detectar un tipus particulard’artritis en individus de mes de 50 anys d’edat.Un 10% dels individus d’aquest grup d’edat pateixen la malaltia.S’aplica el procediment a individus amb malaltia confirmada: diagnosticcorrecte en el 85% dels casos.El procediment es posa a prova amb individus sans de la mateixa edat:falsos positius del 4%.Probabilitat que un individu pateixi artritis si el procediment ha donatpositiu?

P(A | B): probabilitat a priori; P(B | A): probabilitat a posteriori

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 24 / 40

Teorema de Bayes

A i B esdeveniments tals que P(A) > 0 i P(B) > 0. Aleshores,

P(B|A) =P(A|B) · P(B)

P(A)

Teorema de Bayes - Expressio alternativaSiguin E1, . . . Ek particio de Ω i A tal que P(A) > 0. Aleshores,

P(Ei |A) =P(A|Ei ) · P(Ei )

P(A|E1) · P(E1) + · · ·+ P(A|Ek) · P(Ek)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 25 / 40

Teorema de Bayes

Figure :

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 26 / 40

Problema de les dues caixes

Suposeu caixa 1 (C1) amb composicio: NNNB; caixa 2 (C2) ambcomposicio: BBBN. Tirem una moneda i si surt care escollim a l’atzar unabola de la Caixa 1.Suposem els esdeveniments: N=”Bola extreta es bola Negra”, C1=“Caixaescollida es Caixa 1 ”.Si sabem que la bola ha sortit negra, quina es la probabilitat queprocedeixi de la Caixa 1? :

P(C 1 | N) =P(N | C 1)P(C 1)

P(N | C 1)P(C 1) + P(N | C 1)C 1

=3/4× 0.5

3/4× 0.5 + 1/4× 0.5= 3/4

Un 75% !

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 27 / 40

Problema de l’accident i matricula de tres zeros(cont.)

Suposem els esdeveniments: A =“Testimoni diu que la matricula te treszeros”; B =”matricula te tres zeros”.

P(B | A) =P(A | B)P(B)

P(A | B)P(B) + P(A | B)B

=0.9× 0.0036

0.9× 0.0036 + 0.1× (1− 0.0036)= 0.03

Un 3% !

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 28 / 40

SiguinA :’L’individu pateix artritis’; +:Test positiu’ ; −:’Test negatiu’Pel teorema de Bayes,

P(A|+) =P(A ∩+)

P(+)=

P(+|A) · P(A)

P(+)

El numerador es P(+|A) · P(A) = 0, 85 · 0, 1 = 0, 0850. El denominador,segons el teorema de les probabilitats totals, es

P(+) = P(+|A) · P(A) + P(+|Ac) · P(Ac) = 0.0850 + 0.0360 = 0.1210

Llavors,

P(A|+) =0.0850

0.1210= 0.7025

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 29 / 40

Figure :

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 30 / 40

Problema

Una agencia de qualificacio examina les accions d’un gran nombre d’empreses.Quan es va investigar el comportament d’aquestes accions l’any passat, es vadescobrir que el 25% van experimentar un creixement del seu valor claramentsuperior a la mitjana, el 25% clarament inferior i el 50% restant es van manteniral voltant de la mitjana.El 40% de les accions que van creixer clarament per sobre de la mitjana van serclassificades com “bones adquisicions” per l’agencia, al igual que el 20% de lesque van creixer al voltant de la mitjana i el 10% de les que van tenir uncreixement clarament inferior a la mitjana.a) Quina es la probabilitat que una accio triada a l’atzar hagi estat classificadacom una ”bona adquisicio” per part de l’agencia?

b) I de que una accio triada a l’atzar d’entre les classificades com una ”bona

adquisicio” hagi crescut clarament per sobre de la mitjana del mercat?

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 31 / 40

Siguin,S =“L’accio creix superior a la mitjana”M =“L’accio creix al voltant de la mitjana”I =“L’accio creix inferior a la mitjana”B =“L’accio qualificada bona adquisicio”a) Pel teorema de la probabilitat total,

P(B) = P(B|S) · P(S) + P(B|M) · P(M) + P(B|I ) · P(I ) =

= 0.40 · 0.25 + 0.2 · 0.5 + 0.10 · 0.25 = 0.2250

b)

P(S |B) =P(S ∩ B)

P(B)=

P(B|S) · P(S)

P(B)=

0.4 · 0.25

0.2250= 0.4444

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 32 / 40

Funcions de R

1 factorial(4); choose(12,3); sample(1:12, 3, replace =

T); sum(1:6), ...

2 cara i creu: moneda =c(’cara’, ’creu’);

sample(moneda, 5, replace=T)

tirades= sample(moneda, 30, replace=T)

table(tirades)

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 33 / 40

Probabilitats a la vida real . . .

1 Ex. Suposeu una malaltia amb probabilitat (prevalencia) molt baixa.Si ajuntem molta gen, la probabilitat que ningu la tingui pot ser moltbaixa. Per exemple, suposeu que la maltia la te 1 de cada 1000. Enun grup de 10.000, la probabilitat que ningu la tingui sera:P(∪Ai )

c = (∩Aci ) = (999/1.000)10.000 ≈ 0. Aquı Ai = “individu i te

la malatia”.

2 Probabilitat de coincidencia (el cap de setmana) amb un estudiantconcret de la classe es baixa, posem ... P(Ai ) = 0.01, Ai esl’esdeveniment coincideixo amb l’estudiant i concret. La probabilitatque no coincideixi amb cap estudiant pot arribar a ser molt baixa:P(A1 ∩ . . . A1) = 0.99n on n es el nombre d’estudiants. Si n = 350,0.99350 = 0.02967004, de manera que la probabilitat que coincideixiamb almenys un es: 1− 0.02967004 ≈ 0.97, molt alta!

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 34 / 40

Probabilitats a la vida real . . . , que n’opines?

1 En una tirada repetida d’una moneda observem sequencia: cara,

cara, cara, cara, cara; en la tirada seguent, cara i creu sonigualment provables?

2 En la tirada repetida de un moneda, la probabilitat que el no. decares sigui igual al no. de creus tendeix a 1 quan el numero de tiradesn creix cap a infinit ?

3 En la tirada repetida de un moneda ens interessa la sequencia: cara,

cara, cara. La probabilitat d’aquesta sequencia es la mateixa quela: cara, creu, cara?

4 A la loteria nacional, el no. 77777 te la mateixa probabilitat que el79250 ?

5 . . .

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 35 / 40

Hem vist

1 probabilitat condicionada, P(A | B)

2 probabilitat P(A ∩ B), regla multiplicativa,

3 Teorema de les probabilitats totals

4 Teorema de Bayes, de la probabilitat inversa

5 Algunes funcions de R

6 Exemples

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 36 / 40

Deures de la setmana

1 Exercicis 1 a 8 + 9 a 10 de la llista 1 d’exercicis de seminari

2 Lectura: Cap. 4 del llibre NCT2008 Exploreu el material deNCT2008, primer capit. , a les referencies del “Pla Docent deProbabilitat i Estadıstica”

3 petita excursio a R: http://www.econ.upf.edu/~satorra/materialdivers/ApendixonR.pdfBreu introduccio. Tambe, les”Comandes Basiques de R” que teniu a la web del curs.

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 37 / 40

Problema del sopar i l’al.lergia

Un estudiant convida a una amiga a casa. A la nevera nomes i te 6productes diferents i abans que arribi l’amiga s’afanya a fer un pizzaamb 4 dels 6 productes triats a l’atzar. Despres s’oblida delsproductes que hi ha posat. Abans del sopar l’amiga obra la nevera peragafar una beguda i comenta que te al.lergia a dos dels sis productesque hi ha a la nevera. Probabilitat que l’amiga pugui tenir problemesd’al.lergia amb la pizza que estan a punt de menjar.

Les combinacions de pizza possibles son choose(6,4) ... Hi hauna combinacio solament que no te al.lergent, de manera que laprobabilitat que la pizza sigui al.lergent es =1-1/choose(6,4) =

0.9333333

Si a la nevera hi haguessin 8 productes, aleshores la probabilitatbuscada seria: 1- choose(6,4)/choose(8,4) = 0.7857143

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 38 / 40

Problema de les caixes

P(B), emprem la Llei de les Probabilitats Totals

P(B) = P(B | C 1)P(C 1) + P(B | C 2)P(C 2) + P(B | C 3)P(C 3)

= 2/3× 1/2 + 1/3× 1/3 + 0× 1/6

= 4/9 ≈ 0.44

P(C 1 | B), emprem el T. de Bayes

P(C 1 | B) = fracP(P | C 1)P(C 1)P(B | C 1)P(C 1) + P(B | C 2)P(C 2) + P(B | C 3)

=2/3× 1/2

2/3× 1/2 + 1/3× 1/3 + 0× 1/6

=1

1 + 1/3= 3/4

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 39 / 40

Probabilitat de no falla en protocol

Suposem un protocol de molts items A1,A2, . . . ,AK ,cada un d’ells teprobabilitat molt alta de no tenir falla (podem pensar en una operacio quees descomposa en molts items, cada un dels quals cal que no falli, perexemple, molts individus, i repeticions de posar-se o treure’s una vestit deproteccio sense contaminar-se, . . . (. Representem per Ai el item i no falla.I suposem una probabilitat alta per Ak , P(Ak) = 0.99. Quina es laprobabilitat que la operacio conjunta no falli?.

Interessa la probabailitat de la interseccio: P(A1 ∩ A2 ∩ A3 · · · ∩ AK .Una hipotesi raonable es independencia entre els Ai de manera que

PExit = P(A1 ∩ A2 ∩ A3 · · · ∩ AK ) = P(Ak)K = 0.99K

El grafic de la probabiltat de Exit depen de K, mireu: http:

//www.econ.upf.edu/~satorra/dades/pprotocol.pdfgrafic deprobabilitats

Albert Satorra ( UPF ) AD/E-GRAU Tardor 2015 40 / 40