PROF: JAIME QUISPE CASASI.E.P.Nº 2874 Ex 451

2013

CIRCUNFERENCIA

TEORÍA

PROPIEDADES – PROBLEMAS RESUELTOS

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado CENTRO

CÍRCULO.- Es el conjunto formado por la unión de la circunferencia y su región interior.

ELEMETOS DE LA CIRCUNFERENCIA

1.- CENTRO.- Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia

Centro

2.- RADIO.- Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia y se representa por R o r

O

R

A

OA : RADIO

3.- DIÁMETRO.- Es el segmento que une los dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio

A BR R

O

AB = 2R

AB : DIÁMETRO

4.- TANGENTE.- Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto de tangencia

T

Punto de tangencia

L

5.- SECANTE.- Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos

P

QL

6.- CUERDA.- Segmento que une dos puntos de la circunferencia. La máxima cuerda es la circunferencia.

P

Q

PQ: CUERDA

7.- ARCO.- Es una porción de la circunferencia comprendido entre dos puntos.

A

B

ARCO:=ABARCO:=AB

8.- FLECHA o SAGITA.- Segmento perpendicular a una cuerda en su punto medio.

N

M

P

Q

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

DiámetroAB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.- El radio es perpendicular a la recta tangente.

R L

LR LR

02.- Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

A B

C D

CD // AB :Si CD // AB :Si

mBDmAC mBDmAC

03.- Un radio perpendicular a una cuerda, divide la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes

P

Q

MN

R

MQ PM PQ NO MQ PM PQ NO

NQ PN NQ PN O

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

mCD mAB CD AB :Si mCD mAB CD AB :Si

O

05.- Por un punto exterior a una circunferencia sólo se pueden trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.

OA

B

C

Si “o” es centro entonces AO es bisectriz del BAC

06.- Las cuerdas equidistantes del centro son congruentes.

O

B

A

C

D

d1d2

TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa más el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )

a

b

c

r

R R

Inradio

Circunradio

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

a + c = b + d a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadrilátero circunscrito

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

r

R

La distancia entre los centros es cero La distancia entre los centros es cero

1.- Dos circunferencias se dicen concéntricas cuando poseen un centro común y sus radios son diferentes, siendo interior la de radio menor; y exterior la que posee el radio mayor.

Rr

Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en común.

d > R + rd > R + r

R r

d = R + r d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto común que es la de tangencia.

r

R

R r

Punto de tangencia

Distancia entrelos centros (d)

d

R

d = R - rd = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en común que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de

tangencia

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

R r

( R – r ) < d < ( R + r )( R – r ) < d < ( R + r )

Distancia entrelos centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de intersección.

d2 = R2 + r2d2 = R2 + r2

Distancia entrelos centros (d)

rR

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

R

r

d

d < R - rd < R - r d: Distancia entre los centros

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PBAP = PB

A

B

P

R

R

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CDAB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CDAB = CD

A

B

C

DR

R

r

r