Posibilidad y Probabilidad.Conteo, permutaciones,

combinaciones, probabilidad y esperanza matemática

Profa. Sheila Rosario, MA10 de noviembre de 2012Matemática Intermedia

Universidad de Puerto Rico de Aguadilla División de Educación Continua y Estudios Profesionales (DECEP)

Propuesta: CeCiMaT - Segundo Generación, Tercer Año(Centro para el Entendimiento en las Ciencias y las Matemáticas con la Tecnología)

Programa Titulo II-B

Definición

PosibilidadAptitud, potencia u ocasión para que

algo exista o suceda.

DefiniciónProbabilidad

Es la posibilidad o la oportunidad de que

ocurra un evento específico.

La probabilidad es una proporción o

fracción cuyo valor se encuentra entre 0

y 1 inclusive.

DefiniciónProbabilidad

Se observa que un evento que no tiene posibilidad de ocurrir ( es decir, el evento imposible) tiene probabilidad 0, mientras que un evento que ocurrirá con seguridad (es decir, el evento seguro) tiene probabilidad de 1

Probabilísticocuando todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser Seleccionados.

No probabilísticocuando no todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.

Tipos de Muestreo

DefinicionesSuceso- es cualquier conjunto de resultados o

consecuencias de un procedimiento.

Suceso o Evento Simple – es un resultado

o un suceso que ya no puede desglosarse en

componentes mas simples. Puede describirse por

una sola característica.

Espacio muestral – de un procedimiento se

compone de todos los sucesos simples posibles. Es

decir, el espacio muestral esta formado por todos

los resultados que ya no pueden desglosarse mas.

Es el conjunto de todos los posibles resultados de

un experimento.

Definición

Ejemplo de espacio muestralEl espacio muestral se determina como:

2 n

(En la mayoría de los casos de evento simple)

Ejemplo: a.) Describe el espacio muestral al lanzar tres monedas.

b.) Extracción de dos canicas de una caja que contiene cuatro canicas blancas y tres negras.

Ejemplo de espacio muestralProcedimiento Ejemplo de

sucesoEspacio Muestral

completo

Un solo nacimiento

Niña ( suceso simple)

{f, m}

3 nacimientos 2 niñas y un niño(ffm, fmf, mff son eventos simples que dan como resutado 2 niñas y 1 niño)

{fff, ffm,fmf, fmm, mff,mfm, mmf,mmm}

Inténtalo¿Cuál seria es espacio muestral del

tiempo, con relación a la lluvia, que

hará durante tres días consecutivos?

Probabilidad Clásica o PrioriProbabilidad Simple

La probabilidad de éxito se basa en el conocimiento previo del proceso implicado. Es aquello que se puede deducir usando sólo la razón, sin recurrir a la experiencia.Es donde cada resultado es igualmente posible.

P(A) = Número de eventos clasificables como A Número total de eventos posibles

EjemplosEj. 1: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 al lanzar un dado?

Ej. 2: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par al lanzar un dado?

EjemplosEj. 3: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un numero primo al lanzar un dado?Ej. 4: ¿Cuál es la probabilidad de extraer un A de un paquete de 52 cartas? (casino)Ej. 5: Supón que se extraen 2 cartas de un paquete de 52. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean espadas?

Ej. 6: Se extrae una baraja de 40 cartas (españolas). ¿Cuál es la probabilidad de que…

a) una carta que sea denominada con el numero 1?b) que la carta sea oro?

Ej. 7: ¿Cuál es la probabilidad de obtener un total de 8 al lanzar 2 dados? (Encuentra primero el espacio muestral)

Ejemplos

La Regla de SumaLa regla de la suma sirve para determinar la

probabilidad de que ocurra algunos de

varios eventos posibles al mismo tiempo.

Para comenzar nuestro análisis,

supongamos que sólo existen dos eventos

posibles: A y B

Sucesos ComplementariosEl complemento de un suceso A, denotado

por Ã, consiste en todos los resultados en

los cuales el suceso A no ocurre.

Genero al nacerEn realidad nacen mas niños que niñas. En un Grupo típico , hay 205 bebes recién nacidos y 105 de ellos son niños. Si un bebe del grupo es seleccionado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un niño?

Ejemplo 8

Definición Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes

Los sucesos A y B son disjuntos (o mutuamente excluyentes) cuando ambos no pueden ocurrir al mismo tiempo. (Es decir, los sucesos disjuntos no se traslapan).

Definición Probabilidad compuesta para sucesos excluyentes

La probabilidad de ocurrencia de A ó B es igual a la probabilidad de que ocurra A más la probabilidad de que ocurra B menos la probabilidad de que ocurran ambos, A y B.

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

P AóB P A P B P AyB

P A B P A P B P A B

Supongamos que queremos determinar la probabilidad de sacar una A o un trébol de una baraja de cartas ordinarias.¿Por qué tenemos que restar la probabilidad de obtener un A y un trébol a la vez?

Ejemplo 9

Ejemplos Ej. 10: ¿Cuál es la probabilidad de elegir un 10 o un 4 al extraer una carta de una baraja ordinaria?

Ej. 11: Al lanzar un dado calibrado, ¿cuál es la probabilidad de obtener un 1 ó un número par?

Definición Probabilidad compuesta para sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. (De manera similar, muchos otros sucesos son independientes si la ocurrencia de cualquiera no afecta las probabilidades de la ocurrencia de los demás). Si A y B no son independientes, se dice que son dependientes.

P(A y B)=P(A)●P(B)

Ejemplos Ej. 12: Una bolsa contiene 3 canicas rojas y 5 azules. Se extrae una canica y después se reemplaza. Luego se extrae otra canica. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambas ocasiones se extraiga una canica azul?

Ej. 13: Se lanzan 2 monedas. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos lanzamientos se obtengas caras?

EjemplosEj. 14: Un dado tiene las letras A, B, C, D, E y F sobre sus caras. Otro dado tienes los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6 sobre sus caras. ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar ambos dados se obtenga la letra D y un numero impar? ¿Cuáles la probabilidad de obtener una vocal junto con el número 6?

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DefiniciónConteo (Regla fundamental del conteo)

Para una secuencia de dos sucesos en la que el

primero puede ocurrir de m formas y el segundo

puede ocurrir de n formas, los sucesos juntos

pueden ocurrir un total de m●n formas.

DefinicionesEn matemáticas se utiliza un lenguaje preciso:

Si el orden no importa, es una combinación.

Si el orden sí importa es una permutación.

DefiniciónPermutaciónTodas las posibles combinaciones de un conjunto

de cosas. Una permutación es una

combinación ordenada.

¡Así que esto se podría llamar "cerradura de permutación"!

Tipos de permutacionesDebemos recordar: "Permutación... Posición“

Se permite repetir:

como en la cerradura, podría ser "333".

Sin repetición:

por ejemplo los tres primeros en una carrera.

No puedes quedar primero y segundo a la vez.

Tipos de permutaciones1. Permutaciones con repetición

Son las más fáciles de calcular. Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = n r

Por ejemplo en la cerradura, hay 10 números para elegir (0,1,...,9) y eliges 3 de ellos:

10 × 10 × ... (3 veces) = 103 = 1000 permutaciones

2. Permutaciones sin repeticiónEn este caso, se reduce el número de

opciones en cada paso.

Por ejemplo, ¿cómo podrías ordenar 16

bolas de billar?

Tipos de permutaciones

Fórmula

donde n es el número de cosas que puedes

elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

)!(

!

rn

nPrn

Función factorial

La función factorial (símbolo: )

significa que se multiplican números

descendentes.

Ejemplos:

4! =

7! =

EjemplosEj. 15:Elige en orden 3 bolas de 16

Ej. 16:¿De cuantas maneras se pueden dar el primer y

segundo premio entre 10 personas?

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DefiniciónCombinación

La selección de un grupo de objetos a partir de un conjunto sin importar el orden.

Existen dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa)

Se puede repetir:como monedas en tu bolsillo:

5, 5, 5, 10, 25Sin repetición:

Como números de lotería: 2, 14, 15, 27, 30, 31

1. Combinaciones con repeticiónTipos de combinaciones

1 ( 1)!

!( 1)!

n r n r

r r n

EjemploEj. 17:Digamos que tenemos cinco sabores de helado:Banana, chocolate, limón, fresa y vainilla. Puedes tomar 3 de esos sabores. ¿Cuántas variaciones hay?

2. Combinaciones sin repeticiónImaginemos que son permutaciones pero no nos importa el orden.

En el ejemplo utilizado de las bolas de billar si queremos sacar 3 sin importar en orden podemos Ver estas opciones:123, 132, 213, 231, 312, 321 = 6 posibilidades = 3!

Tipos de combinaciones

FórmulaA esta formula también se le llama “coeficiente binomial”

Donde n es el numero de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas (no se puede repetir, el orden no importa)

!( , )

!( )!n

r n r

nnC n r C C

rr n r

EjemploEj. 17:Elige en orden 3 bolas de 16

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Esperanza Matemática - Valor

Esperado:Se define como esperanza matemática de una

variable aleatoria a la suma de la probabilidad

de cada suceso multiplicada por el resultado del

mismo.