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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004
Programa
• 16.1 Introducción• 16.2 El problema electrostático. Unicidad de la solución.• 16.3 La solución formal, mediante la función de Green, del problema
electrostático con condiciones de contorno.• 16.4 El método de las imágenes.• 16.5 El método de separación de variables.
Lección 16Teoría del potencial en electrostática
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004
Bibliografía
Benito (Problemas) Lecciones 4 y 5Griffiths Lección 3Pomer Lección 15Reitz-Milford-Christy Lección 3
Lección 16Teoría del potencial en electrostática
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0
2
ερ
φ −=∇
( )∫ ∫ ∂∂
=∇∇+∇V S
dSn
dv ψφψφψφ 2 ψφ =
( )∫ ∫ ∂∂
=∇+∇V S
dSn
dv φφφψφ 22
Teoría del potencial en electrostáticaEl problema electrostático. Unicidad de la solución
21 ; φφ21 φφφ −= 0=φ 0=
∂∂nφ
( )∫ ∫=∇+V S
dSdv )0()0()0( 2φφ
0=∇φ 21 φφ =cte=φ
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( ) Vrsir ∉= 0rφ
n∂∂
=φ
εσ 0nrr φετ 0−=
Teoría del potencial en electrostática
( ) ∫ ∫ ∈
′
−′∂
∂+′
′=
V S
VrsidSRRn
nRvd
Rrr
rrrr φφ
πρ
επφ
141)(
41
0
El problema electrostático. Unicidad de la solución
∫ ∫ ′
∇′−
∇′=
∇′−
∇′′
V S
SdRR
dvRR
rrr
φφφφ1111)( 22
0
2
ερ
φ −=∇
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( ) )(rfrL rr =φ ( ) )(,2 rrrrG ′−=′∇′rrrr
δ
( ) ),(4
1, rrFR
rrG ′+−=′ rrrr
π( ) 0,2 =′∇′ rrF rr
( ) ∫ ∫ ′
′∂
∂−′∂
∂+′′′−=
V S
Sdn
GnGvdrrrGr
φφρ
εφ )(),(1
0
rrrr
SrsirrG ∈′=′ rrr 0),(
( ) ( )∫ ∫ ′
′∂′∂′+′′′−=
V S
SdnrrGrvdrrrGrrr
rrrrr ,)()(),(1
0φρ
εφ
Teoría del potencial en electrostáticaLa solución formal, mediante la función de Green,
del problema electrostático con condiciones de contorno
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( ) 1,=′
′∂′∂
∫ SdnrrG
S
rr ( ) SrsiSn
rrG∈′=
′∂′∂ rrr 1,
( ) ( )∫ ∫ ′′∂′∂′−′′′−=
V SS Sd
nr
rrGvdrrrGr)(,)(),(1
0
rrrrrrr φ
ρε
φφ
),(),( rrGrrG rrrr ′=′
FRG += ln21 ( )222 )()( yyxxR ′−+′−=
FzzG +′−=21
Teoría del potencial en electrostáticaLa solución formal, mediante la función de Green,
del problema electrostático con condiciones de contorno
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( ) ∫ +′′
=V
hvdRr
r φρ
επφ
)(4
1
0
rr
02 =∇ hφ
∫ ∈=′′
Vh
i VrsivdRr rr
φρ
επ)(
41
0
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes
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( )
++−
−+=
22220 )(
1
)(
14
,dzrdzr
qzr
επφ
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes
Una carga puntual enfrente de un plano conductor a potencial cero
222 yxr +=
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Teoría del potencial en electrostática
( )
′−+′−+′−−
′++′−+′−=′
222222 )()()(
1
)()()(
141,
zzyyxxzzyyxxrrG
πrr
( ) 23220
02 dr
qdz z +
−=
∂∂
−== π
φεσ
El método de las imágenes
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( )
−+
′+
−+=
θθεπφ
cos2cos241,
22220 drdr
q
drdr
qzr
daq
q −=′
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes
),,(),,( θθ daRdadaR =′
Una carga puntual en presencia de una esfera conductora a potencial cero
dad
2
=′ar = 0=θ
πθ =
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Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes
Si el conductor permanece aislado, con o sin carga, tendremos que añadir una carga puntual en el centro para la conservación de la carga
Tendremos que añadir una carga puntual en el centro de la esferaqo =4πa εo φo
Una carga puntual en presencia de una esfera conductora a potencial φo
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)0()0( 21 === zz φφ0
22
0
11
==
∂∂
=
∂∂
zz zzφ
εφ
ε
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de las imágenes.
( )
++−
−+=
221
2211
)()(41,
dzr
q
dzr
qzr
επφ
qq21
211 εε
εε+−
=( )
−+=
222
22
)(41,
dzr
qzr
επφ qq
21
22
2εε
ε+
=
Una carga puntual situada en un dieléctrico ε1 que esta en contacto con otro dieléctrico ε2. La superficie de contacto es plana
222 yxr +=
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2
2
2
2
2
22 0
zyx ∂∂
+∂∂
+∂∂
==∇φφφ
φ
( ) )()()(,, zZyYxXzyx =φ 0=′′
+′′
+′′
ZZ
YY
XX
22
21
23
22
21 ;; kkk
ZZk
YYk
XX
+==′′
−=′′
−=′′
xsenkAxkAX 1211 cos +=
ysenkBykBY 2221 cos +=
zkshCzchkCZ 3231 +=
El método de separación de variablesCoordenadas cartesianas
Teoría del potencial en electrostática
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Planteamiento mas general
22
21
23
22
21 ;; kkk
ZZk
YYk
XX
−==′′
=′′
−=′′
xsenkAxkAX 1211 cos += yshkBychkBY 2221 += zkshCzchkCZ 3231 +=
El método de separación de variablesCoordenadas cartesianas
Teoría del potencial en electrostática
Las constantes de separación han de cumplir k12= k2
2+ k32
y serán reales o imaginarias dependiendo de las condiciones de contorno
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V
Ejemplo: Paralelepipedo con tres lados a potencial cero y uno a potencial V
Hay ceros repetidos en el eje x:Función trigonométrica
No hay ceros repetidos en el eje y:Función hiperbólica
( )( )DshkyCchkyBsenkxkxA ++= cosφ
Condiciones de contornox=0 φ=0 ∀ y ⇒ A=0x=a φ=0 ∀ y ⇒ B sen ka F(y)=0 ⇒ ka=nπ ⇒ k= nπ/a y=0 φ=0 ∀ x ⇒ C=0
( )( ) shkysenkxBshkyDsenkxB ′==φ
El método de separación de variablesCoordenadas cartesianas
Teoría del potencial en electrostática
x
y
a
b
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y=b φ=V ∀ x ⇒ V=B’ sen kx sh kbComo k= nπ/a la solución completa será superposición
=∑
∞
axnsen
aynshBn
ππφ
1
Multiplicando por sen nπx/a eintegrando entre 0 y a... a
abnshBdx
axnsenV n
a
21
0
=
∫
ππ
( ) ( ) ( )( )ππ
ππ
nabnsha
Vdxabnsen
abnsha
VBa
n cos122
0
−== ∫
( ) imparesnsiabnsha
VBn π4
=paresnsiBn 0=
El método de separación de variablesCoordenadas cartesianas
Teoría del potencial en electrostática
=∑
∞
axnsen
abnshBV n
ππ
1
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Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricas
2
2
2
2
22 110
zrrr
rr ∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
==∇φ
ϕφφ
φ
Simetría axial con invarianza longitudinal (solo depende de r)
0102 =
∂∂
∂∂
==∇r
rrr
φφ
21 ln krk +=φ
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Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricasInvarianza longitudinal (solo depende de r y ϕ)
2
2
22 110
ϕφφ
φ∂∂
+
∂∂
∂∂
==∇rr
rrr
)()( ϕφ QrP=
PPr
PPr
′′=′
+′′2 22 n
PPr
PPr =
′+′′ 2n
−=′′
( ) ϕϕϕ nsenAnAQ 21 cos += ( ) nn rCrCrP −+= 21
( ) ( )( )∑∞
− ++=1
2121 cos, ϕϕϕφ nsenAnArCrCr nnn
nn
n
00 2 =→= nCzonalaenestarSi
00 1 =→= nCzonalaenestanorSi
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Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricasSimetria axial (solo depende de r y z)
2
2
2
2
22 110
zrrr
rr ∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
==∇φ
ϕφφ
φ )()( zZrR=φ
ZZ
RRrR
R ′′−=
′+′′ 1
Tenemos dos posibilidades
shTzAchTzAzZTZZ
212 )( +=⇒=
′′ VTrhaciendo =
0012
2
==++ nconBesseltipoldiferenciaEcuaciónRdvdRvdv
Rd
1.-
)()( 0201 vNBvJBR += 00 2 =→= BzonalaenestarSi
20
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Teoría del potencial en electrostática
Función de Bessel de 1ª especie Función de Bessel de 2ª especie
El método de separación de variablesCoordenadas cilíndricas
21
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2.- senTzATzAzZTZZ
212 cos)( +=⇒−=
′′
)()( 0201 jTrNBjTrJBR +=
esp. 2ª de mod..)()( BesseldefunvKjvN nn =
modificada.)()( BesseldefunvIjvJ nn =
)()( 0201 TrKBTrIBR +=
00 2 =⇒= BincluidoestarSi
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricas
22
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Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricas
Asimetria total
2
2
2
2
22 110
zrrr
rr ∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
==∇φ
ϕφφ
φ )()()( zZFrR ϕφ =
shTzFchTzEzZ 11)( +=
)()cos()( ϕϕϕ nsenDnCF nn +=
)()()( TrNBTrJArR nnnn +=
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Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricas
Asimetria total(otra posibilidad)
2
2
2
2
22 110
zrrr
rr ∂∂
+∂∂
+
∂∂
∂∂
==∇φ
ϕφφ
φ )()()( zZFrR ϕφ =
senTzFTzEzZ 11 cos)( +=
)()cos()( ϕϕϕ nsenDnCF nn +=
)()()( TrKBTrIArR nnnn +=
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-V
V( ) ( )( )∑
∞− ++=
12121 cos, ϕϕϕφ nsenAnArCrCr nn
nn
nn
Condiciones de contornoEl eje dentro C2n=0La funcion no cambia de signo para 0 π y π 2 π.. A1n =0
( ) ( )( )∑∞
=1
21, ϕϕφ nsenArCr nn
n
( ) πϕϕ <<=∑∞
01
nsenaAV nn ( ) πϕπϕ 2
1
<<=− ∑∞
nsenaAV nn
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas cilíndricas
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Coordenadas cilindricasTeoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
=−∫ ∫ πϕϕϕϕ
π π
π
221
0
2n
naAdnsenVdnsenV
0=⇒ nAparesnSinn anVAimparesnSiπ4
=⇒
Coordenadas cilíndricas
=∫ πϕϕ
π
2212
0
nnaAdnsenV
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2
2
222
22 11110
ϕφ
θθφ
θθθ
φφ
∂∂
+
∂∂
∂∂
+
∂∂
∂∂
==∇senr
sensenrr
rrr
Simetría azimutal φ≠f(ϕ)
( )θφ Θ= )(rR
ΘΘ′
+ΘΘ′′
−=′
+′′
θtgRRr
RRr 122 )1(22 +=
′+′′
nnRRr
RRr
( ) )1(21
+−+= nn rArArR )1(1+−=
ΘΘ′
+ΘΘ′′
nntgθ
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas esféricas
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x=θcos
( ) ( ) 0121 2
22 =Θ++
∂Θ∂
−∂Θ∂
− nnx
xx
x
( ) ( )xQCxPC nn 21 +=Θ
Condiciones de contornoSi el origen esta en la region de interes A2=0Si los puntos θ=0, θ=π estan en la region de estudio C2 =0Ya que las funcion Qn contiene terminos ln(1+x/1-x) (x=cos θ)
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas esféricas
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Caso general
( ) ( )θϕφ ΘΨ= )(rR
ΨΨ ′′
−=
ΘΘ′
+ΘΘ′′
+′
+′′
θθ
22 12 sentgR
RrRRr
2m−=ΨΨ ′′
( ) ϕϕϕ senmAmA 21 cos +=Ψ
( )122 +−=′
+′′
nnRRr
RRr )1(
21)( +−+= nn rBrBrR
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas esféricas
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( ) 0112
2
=
−++
ΘΘ′
+ΘΘ′′
θθ senmnn
tgx=θcos
( ) 0112
2
=Θ
−++Θ′+Θ′′
θθ senmnn
tg )()( xBQxAP mn
mn +=Θ
nm
m
n
m
nm
mmm
n xdxd
nxxP
dxdxxP )1(
!2)1()()1()( 2
2/22/2 −
−=−=
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas esféricas
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Calculo del potencial en el interior de una esfera cuya superficie esta a potencial V
Condición de contorno φ(r=a)=f(θ)El problema no depende de ϕEl punto r=0 esta en la región de interésLos puntos θ =0 y θ =πestán contenidos
)(cosθφ nnPAr=
)()( θφ far ==
)(cos)( θθ nnPAaf =
∑=n
nn
n PrA )(cosθφ ∑ ∑====n n
nnn
nnnn
n PCaACPaAf )(cos)(cos)( θθθ
( ) ( ) ( )∑ ∫∫∫ +===
−−− nmmmmnnn mCdPCdPPCdPf
122coscoscos)(cos)( 2
1
1
1
1
1
1
θθθθθ
( )θθθ cos)(cos)(12
2 1
1
dPfm
C nm ∫−+
= ( )∑ ∫
+
=−n
n
n
n PardPf
m)(coscos)(cos)(
122 1
1
θθθθφ
Teoría del potencial en electrostática
ctef =)(θ2
)( 2 θθ ksenf =
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)()()(),,( ϕθϕθφ ΦΘ=rrR
r
0)1(22
2=
+− R
rnn
drRd
( ) 01
)1(12
22 =Θ
−−++
Θ−
µµµ
µmnn
dd
dd
022
2=Φ+
Φ mddϕ
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas esféricas
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V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004
∑ ∑∞
= −=+
+=
0,1
,, ),(),,(
nmn
n
nmnmnn
mn Yr
BrAr ϕθϕθφ
)(cos),(0
1θθφ ∑
∞
=+
+=
nnn
nnn P
rB
rAr
Teoría del potencial en electrostática
nn
nn rBrArR −+ += 1)(
)(cos)!(4
)!(12),(, θϕθ ϕ mn
immn Pe
mnmnnY
+−+
=
El método de separación de variablesCoordenadas esféricas
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Teoría del potencial en electrostática
+
++=
′−=
>
<
>
<
>L
2
001
44)(
zz
zz
zq
zzq
zπεπε
φ
El método de separación de variablesCoordenadas esféricas
( ) ( )∑∑∞
==
∞
=
→=0
00
)(cos),(n
nn
nn
nn zAPrAr θθθφ n
n zq
B1
04πε=
∑∑∞
=+=
∞
=+
→
=
010
01
)(cos),(n
nn
nnn
n
zB
PrB
r θθθφ1
104 +
=n
nz
qAπε
34
V. Muñoz Sanjosé Electromagnetismo Curso 2003-2004
)(cos44 0
100
θπεπε ∑
∞
=+
>
<
=
nnn
n
Pr
rqR
q
)(cos1
01
γ∑∞
=+
>
<
=n
nn
n
Pr
rR
)cos(coscoscos ϕϕθθθθγ ′−′+′= sensen
∑−=
′′+
n
nmmnmnn YY
nP ),(),(
124)(cos *
,, ϕθϕθϕ
∑ ∑∞
=+
>
<
−=
′′
+=
0
*,,1
),(),(12
141
nmnmnn
nn
nm
YYr
rnR
ϕθϕθπ
Teoría del potencial en electrostáticaEl método de separación de variables
Coordenadas esféricas