Pontificia Universidad Catolica de ChileFacultad de MatematicasSegundo semestre de 2012

MAT 210E - Calculo I

Pauta de la Interrogacion N 2

1. Considere la funcion f : R R definida por:

f(x) =

3x2 + b|x+ 3|+ 4x si x 0

sin(ax) + x2 + 3 si x < 0

a) Determine los valores de a y b para que f sea derivable en x0 = 0.

Solucion:

(i) Primero hay que determinar condiciones para que f sea continua en x0 = 0.Para esto, dbe ocurrir que:

lmx0

f(x) = lmx0+

f(x)

lmx0

f(x) = lmx0

sin(ax) + x2 + 3 = 3

lmx0+

f(x) = lmx0+

3x2 + b|x+ 3|+ 4x = 3b

Luego; b = 1

Por cada limite lateral: 0,7 puntos cada uno.Por la conclusion: 0.6 puntos

(ii) Para que f sea derivable en x0 = 0 el siguiente limite debe existir:

lmh0

f(0 + h) f(0)h

0.5 puntos

lmh0

f(0 + h) f(0)h

= lmh0

f(h) f(0)h

= lmh0

f(h) 3h

Limites laterales:

lmh0

f(h) 3h

= lmh0

sin(ah) + h2 + 3 3h

= lmh0

asin(ah)ah

+ h = a

lmh0+

3h2 + |h+ 3|+ 4h 3h

= lmh0+

3h2 + h+ 4hh

= 5

Luego a = 5

Cada limite latral: 0.5 cada unoConlusion: 0.5

b) Con los valores obtenidos en el inciso anterior, la funcion f es derivable entodo R?

Solucion:

a) Si x 0, entonces f(x) = 3x2+b|x+3|+4x = 3x2+5x+3, luego f es derivableya que es polinomio.

b) Si x < 0, entonces f(x) = sin(5x)+ x2+3, luego f es derivable ya que es sumade funciones derivables.

1 punto cada item.

MAS 1 PUNTO BASE.

2. a) La curva C de ecuacion C : y2 6x y + 6x2 + 1 = 0 , define a y como funcionimplcita de x. Determine los puntos de C, si existen, donde la tangente a lagrafica de C es paralela al eje X.

Solucion:

Derivando en la ecuacion de C implcitamente con respecto a x, se tiene:

2y y 6y 6x y + 12x = 0

= y = 6y 12x2y 6x

La tangente es paralela al eje X, cuando la tangente es horizontal, esto es, si:

6y 12x = 0 = y = 2x

Reemplazando en la ecuacion de C se tiene:

4x2 12x2 + 6x2 + 1 = 0

= 2x2 + 1 = 0 = x2 = 12

= x = 12

Luego los puntos de C donde la tangentes es horizontal son los puntos:( 1

2, 2

2

)y( 1

2,22

)

Derivar implcitamente y despejar y: 1 punto.Igualar a cero: 1 punto.Determinar los puntos: 1 punto.

b) Encuentre (f1)(2pi) si f(x) = 2x+ sin(x).

Solucion:

Por el Teorema de la funcion inversa:

(f1)(2pi) =1

f (x0)

donde x0 satisface:

2x0 + sin(x0) = 2pi

Luego; x0 = pi

f (x) = 2 + cos(x) f (pi) = 2 1 = 1

Por lo tanto:

(f1)(2pi) = 1

Aplicar el T.F.I.: 1 punto.Determinar x0: 0.5 puntos.Derivar f : 0.5 puntos.Conclusion final: 1 punto.

MAS 1 PUNTO BASE.

3. Sea:

f(x) =

x2 cos

(1x+pi

2

)si x 6= 0

0 si x = 0

a) Determine f (x) para x 6= 0.

Solucion:

La derivada de la funcin para puntos x 6= 0 ser, utilizando la regla del productoy de la cadena,

f (x) = 2x cos(1x+

1pi

)+ sin

(1x+

1pi

).

Asignar 1 punto por derivar correctamente el producto y 1 punto porutilizar correctamente la regla de la cadena

b) Determine si existe f (0).

Solucion:

Para calcular la derivada en x = 0 debemos hacerlo por definicin, es decir,

f (0) = lmh0

h2 cos(1h+

1pi

) 0

h

= lmh0

h cos(1h+

1pi

),

= 0.

Entregar 1 por saber que en el punto x = 0 se debia utilizar la definicinde derivada y utilzarla correctamente. Entregar 1 punto por calcularcorrectamente la derivadaSe concluye que la derivada de f es la funcin,

f (x)

2x cos

(1x+

1pi

)+ sen

(1x+

1pi

)x 6= 0

0 x = 0.

c) Determine los x R, para los cuales f (x) es una funcion continua.

Solucion:

Finalmente, es claro que la funcin f (x) es continua para puntos x R \ {0} yaque es producto de funciones continuas.Agregar 0, 5 puntos por esta partePara estudiar su continuidad en el punto x = 0 estudiamos el siguiente lmite,

lmx0

(2x cos

(1x+

1pi

)+ sin

(1x+

1pi

)).

Como

lmx0

sin(1x+

1pi

)no existe y

lmx0

2x cos(1x+

1pi

)= 0,

se tiene que el lmite pedido no existe y por lo tanto la funcin f no es continua enx = 0 Agregar 1 punto por calcular correctamente el limite requerido.Agregar 0, 5 puntos por concluir que la derivada no es una funcincontinua en el punto x = 0,

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