2011

Barreto

Particular

CÁLCULO –

I

22/03/201

2

CALCULO I

Autor Manoel Benedito Serra da Costa

2010

[

3

COSTA, Manoel Benedito Serra da. Cálculo I.Duque de Caxias :Escola Técnica Atenew, 2010,p.28

1ª imp ressão

Al: Francisco de Miranda, lt:09 – qd:01 Jardim Primavera – Duque de Caxias – RJ

25.215 – 425 www.atenew.com.br

4

ÍNDICE ÍTEM PÁG. 1 – FRAÇÕES .......................................................................................................... 04

A fração como uma parte de um conjunto ................................................................ 04

A fração como a divisão de uma grandeza contínua em partes iguais .................... 04

Frações próprias........................................................................................................ 05

Frações impróprias e números mistos...................................................................... 05

Frações aparentes .................................................................................................... 05

Frações equivalentes................................................................................................ 05

Simplificação de Frações.......................................................................................... 06

Fração decimal ......................................................................................................... 06

Exercícios – 1 .......................................................................................................... 06

2 - NÚMEROS DECIMAIS ....................................................................................... 09

Propriedades dos números decimais ....................................................................... 09

Transformação de fração decimal em número decimal............................................ 09

Transformação de fração em número decimal......................................................... 10

Operações com números decimais........................................................................... 10

Exercícios – 2 .......................................................................................................... 11

3 - MEDIÇÃO E AS UNIDADES DE MEDIDAS ....................................................... 12

Exercícios – 3 .......................................................................................................... 15

4 - GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS ........................................... 17

Exercícios – 4 .......................................................................................................... 18

5 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS ........................................ 19

Exercícios – 5 .......................................................................................................... 20

USO DA CALCULADORA ....................................................................................... 21

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 28

5

CÁLCULO – I 1 - FRAÇÕES: A fração como uma parte de um conjunto .

Neste sentido estamos lidando com objetos discretos (indivisíveis), isto é, que são

contados um a um.

Por exemplo: de um grupo com 12 pessoas, podemos escolher 5 pessoas para fazer

um passeio. Diremos, então, que as pessoas escolhidas representam a fração de

5/12 (cinco doze - avos) do grupo considerado.

A fração como a divisão de uma grandeza contínua em partes iguais .

Neste sentido queremos medir uma grandeza, ou seja, determinar a sua extensão

por comparação com outra, da mesma espécie, denominada unidade.

Medir é comparar. A medida nos diz quantas vezes a unidade escolhida cabe na

grandeza que desejamos medir.

Ao considerarmos a divisão de um todo em partes iguais, temos que:

- o número de partes em que o todo foi dividido dá nome a cada parte. É o

denominador .

- o número de partes consideradas é o numerador .

No símbolo que representa as frações utilizamos dois números naturais separados

por um traço horizontal:

n → numerador d → denominador e d ≠ 0

Desse modo, os números n e d representam ações sobre o todo e formam um novo

número a fração d

n. A seguir vamos comparar os valores do numerador e do

denominador para ver os tipos de fração que podemos ter.

Frações próprias :

Quando o numerador é menor que o denominador. A fração representa uma

parte da própria unidade.

Exemplos: 5

3 ;

2

1 ;

8

5 ;

7

3.

6

Frações impróprias e números mistos:

Quando o numerador é maior que o denominador. Tomamos mais de uma unidade.

Exemplos: 5

9 ;

2

3 ;

3

7.

Frações aparentes: Quando o numerador é múltiplo do denominador. A fração representará uma ou

mais unidades.

Exemplos: 4

12 ;

2

6 ;

3

3.

Frações equivalentes:

São frações que representam a mesma parte de um todo. Por exemplo, as frações

2

1,

4

2 e

8

4 são equivalentes.

Da equivalência de frações temos que: “Multiplicando-se (ou dividindo-se) o

numerador e o denominador de uma fração por um mesmo número, diferente de

zero, obtém-se uma fração equivalente à fração inicial”.

Considerando as frações do exemplo, temos que elas são numerais diferentes para

um mesmo número fracionário. Elas expressam a mesma parte do todo. Desse

modo podemos considerá-las como números iguais. Isto é, 2

1=

4

2 =

8

4.

Simplificação de frações:

Da equivalência de frações vimos que podemos escrever um mesmo número

fracionário de várias maneiras diferentes. Assim, podemos determinar um conjunto

de frações equivalentes a uma fração irredutível (fração cujo numerador e o

denominador são números primos entre si).

Logo, para obtermos uma fração irredutível equivalente a uma fração dada, basta

dividirmos o numerador e o denominador da fração dada por um mesmo número

natural, divisor de ambos. Este processo é o que chamamos simplificação de

frações.

7

Fração decimal:

São frações cujos denominadores são potências de 10.

Algumas frações podem ser transformadas em frações decimais equivalentes.

Exemplos: 10

4

5

2 = e 100

25

4

1 = .

Porém, há frações que não admitem essa transformação, por exemplo, 3

2, pois não

existe número natural que multiplicado por 3 dê uma potência de 10.

Uma potência de 10 é formada somente pelos fatores primos 2 e 5. Então, uma

fração irredutível só admite fração decimal equivalente se o seu denominador possui

apenas os fatores 2 ou 5.

Exercícios – 1

1 – Qual a fração cujo denominador é 15 e o numerador 9? Resposta – _________________________ 2 – Um mês tem trinta dias. Escreva a fração do mês correspondente a:

a) 1 dia - ______________ b) 5 dias - ______________ c) 17 dias - ______________ d) 29 dias - ______________

3 – Transforme em frações decimais equivalentes:

a) =

b) = c) =

1 5

3 4

3 25

8

4 – Indique as frações correspondentes a cada situação:

a) Carolina comeu 3 doces de uma caixa que continha 8 doces. Resposta __________ b) Janice comprou 7 cadernos de um pacote que continha 10 cadernos. Resposta __________

5 – Participam de uma conferência 9 brasileiros, 6 ingleses e 4 argentinos. Que

fração do total de membros da conferência representam os brasileiros? E os

ingleses? E os argentinos?

Respostas.

Brasileiros ___________

Ingleses ___________

Argentinos ____________

6 – Uma dúzia de balas deve ser dividida igualmente entre 3 garotos. Que parte

receberá cada um?

Resposta _____________

7 – Escreva uma fração equivalente a três quartos, sendo trinta e cinco a soma do

numerador com o denominador.

Resposta _____________

8 – Escreva uma fração equivalente a cinco sétimos cujo numerador seja quinze.

Resposta _____________

9

9 – Escreva uma fração equivalente a dois terços cujo denominador seja 18. Resposta _____________

10 – Monte as frações dadas e simplifique-as se for o caso:

a) Seis oitavos. ____________________

b) Doze quinze avos. ____________________

c) Dez dezesseis avos. ____________________

d) Sete trinta e cinco avos. ____________________

e) Quarenta e oito cento e vinte avos. ____________________

f) Cento e noventa e dois duzentos e quarenta avos. ____________________

g) Duzentos e trinta e quatro trezentos e noventa. ____________________

h) Cento e setenta e cinco vinte e cinco avos. ____________________

2 - NÚMEROS DECIMAIS:

Pelo fato de nosso sistema de numeração ser posicional de base 10, podemos

representar as frações na notação decimal, como números decimais. No nosso

modo de representar os números decimais a vírgula (ou o ponto) separa a parte

inteira da parte decimal: à esquerda da vírgula está a parte inteira e à direita a sua

parte fracionária ou decimal.

Propriedades dos números decimais;

(I) Um número decimal não se altera quando acrescentamos ou suprimimos

zeros à sua direita. Exemplo: 0,3 = 0,30 = 0,300; 3,12 = 3,120 = 3,1200

(II) Para multiplicar um número decimal por uma potência de 10, isto é por

“10”, basta deslocar a vírgula n ordens para a direita. (n є IN)

(III) Para dividir um número decimal por uma potência de 10, isto é por “10”,

basta deslocar a vírgula n ordens para a esquerda. (n є IN).

10

Transformação de fração decimal em número decimal;

Tomamos o numerador da fração decimal e deslocamos a vírgula n ordens para a

esquerda, conforme seja a potência de 10 do denominador.

Exemplos: 10

6= 0,6;

100

11 = 0,11;

100

125 = 1,25

Transformação de fração em número decimal;

Para transformar uma fração que não está na forma decimal em número decimal,

basta dividirmos o numerador pelo denominador da fração. Com isso pode ocorrer

que a fração:

a) Tenha notação decimal exata, isto é, ela equivale a uma fração decimal. A

divisão é, pois exata.

Exemplo: 5

3 = 0,6 e

4

5 = 1,25 (ver exemplo anterior)

b) Não tenha notação decimal exata, isto é, ela não é equivalente a uma

fração decimal. A divisão não é exata e gera uma dízima periódica .

Exemplo: 3

1 = 0,333...

6

5 = 0,8333...

Operações com números decimais;

Salvo o cuidado que se deve ter com a vírgula na notação decimal, há pequena

diferença entre o cálculo com números decimais e o cálculo com os inteiros.

I. Para somar ou subtrair decimais:

Devemos conservar as vírgulas em coluna, ou seja, vírgula debaixo de

vírgula. Igualamos o número de ordens decimais, acrescentando zeros à

parte decimal.

Efetuamos a adição ou subtração, mantendo a vírgula alinhada.

Exemplo 1: 10,08 + 1,351 =

+ 1,351 10,08 0

11,431

Zero acrescentado

11

Exemplo 2: 10,08 – 1,351 =

II. Para multiplicarmos decimais:

Fazemos a multiplicação como se fossem inteiros. Em seguida colocamos a

vírgula no produto, considerando o número de ordens decimais igual à soma

dos números de ordens decimais dos fatores.

Exemplo: 0,81 x 0,52 =

0,81 < 2 casas decimais

x 0,52 _ < + 2 casas decimais

0,4212 < 4 casas decimais

III. Para dividirmos decimais:

Fazemos a divisão como se fossem inteiros. Em seguida colocamos a vírgula, considerando o número de ordens decimais do quociente igual a diferença entre o número de ordens decimais do dividendo e do divisor (inclusive se houver acréscimos de zeros no dividendo).

Exemplo: 2,665 ÷ 1,3 =

Exercícios – 2 1 – Dada a fração decimal, diga que número decimal ela representa:

a) 45 = ______________ 10

b) 869_ = ______________

1000

- 1,351 10,08 0

8,729

Zero acrescentado

2,05

1300 2665 65

650 6500 0000

12

c) 123 = _______________ 100

d) _7_ = ______________ _

1000

e) 961 = ________________ 10 2 – Transforme as frações abaixo em números decimais:

a) _3_ = ________________ 4

b) _7_ = ________________ 5

c) _8_ = ________________ 25

d) _7_ = ________________

3

e) _17_ = ________________ 6

3 - MEDIÇÃO E AS UNIDADES DE MEDIDAS:

Desde os tempos mais remotos, os homens tiveram que descobrir meios de medir

coisas. Precisavam saber quanta terra eles haviam cultivado que quantidade de trigo

poderiam trocar por flechas, ou que tamanho de tecido precisariam para fazer uma

roupa. Enfim, precisavam comercializar produtos.

As primeiras unidades de medida que o homem utilizou foram baseadas no

seu próprio corpo... Mas estas maneiras de medir eram muito confusas... O processo

de medição precisava ser melhorado e o homem sentiu necessidade de medidas-

padrão que fossem mais universais.

Nos antigos sistemas de medida, os nomes das unidades não possuíam

relação entre suas medidas. Já no sistema métrico decimal, o nome dos múltiplos e

submúltiplos da unidade indica claramente o seu valor. Isto porque foram utilizados

prefixos gregos para sua denominação. [Centurión, 2002]

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Quadrado: A = a2

a a

b Retângulo: A = a x b

Paralelogramo: A = a x h

a

h

Trapézio: A =

a

b

a + b

2

r

Círculo: A = r2

Veja a tabela de múltiplos e submúltiplos da unidade-padrão (U)

Nome Quilo (U) Hecto (U) Deca (U) U Deci

(U)

Centi (U) Mili (U)

Significado U × 1000 U × 100 U × 10 U U ÷ 10 U ÷ 100 U ÷ 1000

O Sistema Internacional de Unidades define o símbolo e a unidade-padrão

para cada grandeza a ser medida, como a seguir.

Comprimento: Unidade: Metro (m). Superfície (área): Unidade: Metro quadrado (m2) Fórmulas para cálculo de área de algumas figuras pl anas:

14

2

a x h

a

Triângulo: A = h

a

Triângulo Equilátero: A =2a4

3

Volume (capacidade): Unidade: Metro cúbico (m3) Fórmulas para cálculo de volume de alguns sólidos:

V = a3 (a . a . a)

V = L . C . h

L = largura. C = comprimento. h = altura.

a = comprimento de um lado.

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Como conduzir as medições.

Para efetuar medidas é necessário fazer uma padronização, escolhendo

unidades para cada grandeza. Exercícios - 3

Comprimento: 1 – Faça as transformações: a) 3 km = m b) 12 m = dm c) 4 cm = mm d) 3,5 m = cm e) 7,21 m = mm

V = ππππ . r2. h

V = 4 3

ππππ r3

r = raio da esfera.

r = raio de uma face circular. h = altura do cilindro.

16

2 – Quanto vale em metros?

a) 3,6 km + 450 m = m

b) 6,8 hm + 0,34 dam = m

c) 16 dm + 54,6 cm + 200 mm = m

d) 2,4 km + 82 hm + 12,5 dam = m

e) 82,5 hm + 6 hm = m Superfície (área): 1 – Um paralelogramo tem 20 cm de base e 17 cm de altura. Qual a sua área. A = 2 - Temos um triângulo eqüilátero de lado 6cm. Qual é o perímetro (soma dos lados) e qual é a área deste triângulo? A = P = 3 - Um trapézio tem a base menor igual a 2, a base maior igual a 3 e a altura igual a 10. Qual a área deste trapézio? A = 4 - Sabendo que o perímetro (soma dos lados) de um quadrado é 24 cm, qual é a sua área? A = 5 - Calcule a área e o perímetro (soma dos lados), em metros quadrados dos retângulos descritos: a) a = 25 m e b = 12 m A = b) a = 14 m e b = 10 m A =

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Volume (capacidade):

1 - As arestas de um paralelepípedo reto-retângulo medem 2m, 3m e 5m. Qual é o seu volume? V = 2 - Uma piscina tem 10 m de comprimento, 7 m de largura e 1,80 m de profundidade. Qual o seu volume total? V = 3 - Se o volume total de um cubo é 27 m3, quanto mede sua aresta? Aresta = 4 – Uma esfera tem 2 m de raio, qual o seu volume? V = 5 – Um cilindro tem 15 cm de raio e 30 cm de altura, qual é o seu volume? V =

4 - GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS. A esteira de uma mina tem sua produção de transporte de minério de acordo com a tabela abaixo:

Tempo (min.) Produção (kg) 05 100 10 200 15 300 20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min → 100Kg 10 min → 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

5 min → 100Kg 15 min → 300Kg

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Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é

igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique, abaixo que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

Exercícios - 4

1 - A quantia de R$1280,00 deverá ser dividida entre 3 pessoas. Quanto receberá cada uma, se a divisão for feita em partes diretamente proporcionais a 8, 5 e 7? Resposta = 2 - Calcule o valor de x e y na proporção, = sabendo que x + y = 42.

Resposta =

3 - Dividindo-se 70 em partes proporcionais a 2, 3 e 5, a soma entre a menor e a maior parte será?

Resposta = 4 - Três pessoas montam uma sociedade, na qual cada uma delas aplica, respectivamente, R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00. O balanço anual da firma acusou um lucro de R$ 40.000,00. Supondo-se que o lucro seja dividido em partes diretamente proporcionais ao capital aplicado, quanto cada sócio receberá, respectivamente? 1 =

5 15

= 100 300

= 1 3

10 20

= 200 400

= 1 2

x y

2 5

19

2 = 3 =

5 - Separe em partes proporcionais a 0,2, 2 e 2/3 a quantia de R$ 129,00

1 =

2 =

3 =

5 - GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS.

Analisemos a seguinte tabela de velocidade utilizada e o tempo gasto para percorrer

certa distância.

Velocidade Tempo gasto 24 km 10 horas 30 km 8 horas 40 km 6 horas

120 km 2 horas

Observemos que os valores da velocidade utilizada e o tempo gasto para percorrê-la não formam uma múltipla igualdade de razões:

Mas, se, no entanto, relacionássemos os valores da velocidade utilizada e o inverso do tempo gasto para percorrê-la, teríamos uma múltipla igualdade de razões, assim:

ou 24 x 10 = 30 x 8 = 40 x 6 = 120 x 2 = 240 = k O produto K = 240 é o fator, constante ou coeficiente de proporcionalidade. Quando

isso ocorre diremos que os valores da primeira coluna (velocidade) são

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inversamente proporcionais aos correspondentes valores da segunda coluna (tempo

gasto), ou seja, os números 24, 30, 40 e 120 são inversamente proporcionais a 10,

8, 6 e 2. Com isso, podemos afirmar :

Uma sucessão numérica (a, b, c) é inversamente proporcional à sucessão numérica (m, p, q) se: Assim : os números 2, 3 e 6 são inversamente proporcionais a 6, 4 e 2, já que :

O fator k = 12 é o fator, constante ou coeficiente de proporcionalidade. Exemplo - Determine os valores de m e p para que os números 2, m e 12 sejam inversamente proporcionais a 18 , 4,5 e p. Como os números são inversamente proporcionais podemos escrever: 2 x 18 = 4,5 x m = 12 x p 36 = 4,5m = 12p m = 8 e p = 3 De um modo geral podemos afirmar que as sucessões ( a, b, c ) e ( x, y, z ) serão :

Diretamente Proporcionais se a/x = b/y = c/z

Inversamente Proporcionais se a.xb.y = c.z

Exercícios – 5 1 - A 60 km/h faço o percurso entre duas cidades em duas horas. trafegando a 80km qual o tempo estimado para percorrer este trajeto? Resposta = 2 - Um tecelão levou 12 horas para produzir um tapete, à razão de 6 metros por hora. Se ele trabalhasse à razão de 9 metros por hora, quanto tempo teria levado para tecer o mesmo tapete? Resposta = 3 - Utilizando copos descartáveis de 175 ml, eu consigo servir 12 pessoas. Se eu utilizar copos de 150 ml, quantas pessoas eu conseguirei servir com o mesmo volume de bebida? Resposta =

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4 - Preciso empilhar uma certa quantidade de caixas. Se eu fizer a pilha com 4 caixas na base, irei empilhar 6 fileiras de caixas, uma sobre a outra. Se eu fizer a base com 3 caixas, quantas fileiras irei precisar? Resposta = 5 - Com o dinheiro que possuo, posso comprar 21 passagens de ônibus ao custo unitário de R$ 1,80. Eu soube, porém que o valor da passagem está para aumentar para R$ 2,10. No novo valor, quantas passagens poderei comprar com a mesma quantia que tenho? Resposta =

USO DA CALCULADORA Introdução A matemática é uma ferramenta poderosa que desenvolve o raciocínio lógico e nos ajuda a resolver problemas e a tomar decisões de forma mais consciente. Uma das decisões que constantemente precisamos tomar diz respeito ao tipo de cálculo mais adequado a diferentes situações problema. De maneira geral poderíamos falar em quatro tipos de cálculo que deveriam ser explorados e exercitados na escola: o cálculo escrito (algoritmos), o cálculo mental exato, o cálculo mental aproximado (estimativas) e o cálculo feito com ferramentas de apoio, das quais a mais comum é a calculadora. Explore situações e estratégias específicas de cada uma dessas modalidades de cálculo, bem como ter certa margem de liberdade na escolha de que tipo de cálculo seria mais adequado aos problemas que resolva, de forma semelhante ao que ocorre fora da escola, quando escolhe livremente o procedimento de cálculo que mais lhe convém. É lógico que a calculadora não deve ter mais espaço que as outras formas de cálculo na escola, mas ela pode enriquecer muito a prática, se for mediada. Objetivos: Espera-se que ao final destas atividades você seja capaz de perceber quando a calculadora pode ou não ajudar-lhe a resolver alguns problemas que se apresentam cotidianamente. Conteúdos específicos - Utilização adequada da calculadora em situações em que é pertinente; - Identificação do procedimento mais adequado às diferentes situações-problema que se apresentam; - Sistema de numeração decimal; - Propriedades das operações; - Funcionamento da calculadora; - Observação de regularidades; - Levantamento de hipóteses; - Diferentes procedimentos de cálculo.

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Material necessário: Calculadora. Desenvolvimento: 1º passo: Explore livremente, num primeiro momento, com o objetivo de se familiarizar minimamente com ela.Tente responder as perguntas à seguir: 1 - Quais são as teclas numéricas que aparecem na calculadora? 2 - Quais são as teclas que indicam operações? 3 - Quais são as outras teclas que aparecem? Você as conhece? Continue à exploração da calculadora com alguns exercícios mais dirigidos, do tipo: a) Aperte a seguinte seqüência de teclas e observe o que acontece: 5 + 3 = = = = = = 3 x 2 = = = = = = 3 x = = = = = = Essa proposta deve ser seguida de uma discussão acerca da função da tecla igual (=) nas calculadoras, assim como de uma discussão acerca da estrutura de funcionamento das calculadoras, uma vez que você poderá encontrar diferentes resultados apertando essas seqüências de teclas em diferentes calculadoras. b) Conheça a utilização das teclas de memória. Experimente a seguinte utilização das teclas de memória e observe o que acontece: 50 M- 2x5 M+ 3x5 M+ MRC O que aconteceu? Veja a utilização das teclas de memória para a resolução de um problema com várias operações: Fui ao mercado e comprei 3 litros de leite por R$2,20 cada um, 2 pães integrais por R$3,50 cada e paguei com uma nota de R$20,00. Qual foi o meu troco? Experimente resolver o problema usando as teclas de memória. Existem também várias maneiras de utilização das teclas para a resolução desse problema. Uma delas é: 20 M- 3x2,2 M+ 2x3,5 M+ MRC 2º passo: Utilize a calculadora como instrumento de verificação de cálculos feitos de outras maneiras e, também, como instrumento de auto-correção. Neste passo você poderá resolver problemas por algoritmos ou por cálculo mental. Depois, a calculadora será utilizada para a verificação dos cálculos feitos. Exemplos de problemas:

a) Quantos dias aproximadamente você já viveu desde o seu nascimento?

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b) Quantos alunos há em sua escola?

Após a resolução, verifique os cálculos na calculadora. No caso de observar, reflita sobre os erros. Uma outra atividade interessante é a realização de vários cálculos serem realizados em duplas. Um dos alunos realiza os algoritmos conhecidos e o outro utiliza a calculadora. Ao final de cada cálculo comparam os resultados obtidos e refazem os procedimentos em caso de erro. Nessa atividade, os alunos podem se surpreender ao ver que nem sempre é aquele que faz os cálculos escritos que erra, e que mesmo usando a calculadora uma pessoa pode se equivocar nas teclas pressionadas. 3º passo: Utilize a calculadora como apoio na resolução de problemas complexos, com várias operações, muitos dados e números grandes. O objetivo desse passo não é a verificação das técnicas operatórias e, sim, a observação das estratégias e caminhos escolhidos para resolução dos problemas. Você ganhará tempo com a utilização da calculadora e poderá resolver uma quantidade bem maior de problemas. É falsa a impressão de que as pessoas não aprendem e ficam preguiçosas ao utilizarem a calculadora, pois a calculadora pode facilitar os cálculos, mas só fará os cálculos pensados pelo aluno, com os dados selecionados por ele. 4º passo: Faça um jogo de stop de operações, semelhante ao conhecido stop de palavras, com cálculos que estejam sendo trabalhados nas aulas. Por exemplo, o cálculo de porcentagens. Nesse jogo, calcule, usando a tabela abaixo, as várias porcentagens indicadas do número ditado por você. A utilização da calculadora será livre. Aquele que mais rapidamente preencher toda a linha de cálculos com o número ditado diz stop e todos os outros devem parar. Conferem-se os resultados e todos recebem 10 pontos por cálculo feito corretamente. Tabela: 50% 25% 10% 5% 1% 20% Pontos Nessa atividade, muito provavelmente você perceberá que aqueles que a realizam por cálculo mental são mais rápidos e acabam falando stop sempre antes dos que recorrem à calculadora. Essa constatação ajuda a desmistificar a calculadora como a solucionadora de todos os problemas relativos a cálculos, destacando o cálculo mental como um procedimento mais rápido e tão bom quanto a calculadora (ou melhor). 5º passo: Neste passo, você utilizará a calculadora para observar regularidades e formular algumas explicações sobre o que observou. Execute a lista de cálculos abaixo com a calculadora preenchendo as tabelas com os cálculos realizados e o registro posterior das “descobertas” feitas.

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Número por 0,1 ou 0,5: 96 x 0,1 = 100 ÷ 0,1 = 250 x 0,5 = 124 ÷ 0,5 = 500 x 0,1 = 360 ÷ 0,5 = Nessa atividade, você deverá concluir que: - um número multiplicado por 0,1 fica 10 vezes menor do que era; - um número dividido por 0,1 fica 10 vezes maior do que era; - um número multiplicado por 0,5 resulta na metade daquele número; - um número dividido por 0,5 resulta no dobro daquele número. É lógico que todas essas descobertas devem ser acompanhadas de discussões sobre o significado dessas operações, por exemplo, discutindo-se que, quando dividimos um número por 0,5, estamos dividindo aquele número em metades e que como um inteiro tem duas metades, ficamos com o dobro de metades em relação ao número inteiro. 6º passo: Nesse passo, a calculadora será usada como parte indispensável de uma problematização que, se feita sem a máquina, seria muito cansativa e aborrecida. Trata-se de um problema que explora características dos números e operações, colocando-as em primeiro plano, e que pode ser utilizado para a retomada dos conteúdos já trabalhados. a) Escolha um número de 3 algarismos e multiplique-o sucessivamente por 7, por 11 e por 13. Observe o resultado obtido e compare-o com o número escolhido por você. Faça o mesmo com outros números de 3 algarismos e observe se isso sempre acontece. O que aconteceu? Por quê? Ex.:237 x 7 x 11 x 13 = 237.237 b) O que deveríamos fazer para obter o mesmo efeito no resultado, multiplicando números de 2 algarismos? E de 4 algarismos? Com certeza você se surpreenderá com os resultados obtidos, mas pode ter alguma dificuldade em descobrir por que isso acontece. A explicação está no fato de que a multiplicação de7 x 11 x 13 resulta em 1001, e daí esse curioso resultado. A percepção de por que a multiplicação de 1001 causa esse efeito no resultado exige do aluno a compreensão de propriedades dos números e operações.

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7º passo: Participe de uma atividade em dupla ou grupo que exija um pouco de cada uma das habilidades trabalhadas nas atividades anteriores, ou seja, envolve conhecimentos sobre os números e operações, tomada de decisões, verificação, dedução etc. Trata-se de uma atividade simples, porém desafiadora. Usando apenas uma vez cada tecla numérica da calculadora e necessariamente as quatro operações fundamentais, também apenas uma vez, obtenha o maior número possível. Adapte o enunciado de acordo com os conteúdos trabalhados. Nessa proposta, você repensará questões como as abaixo, entre muitas outras: O que acontece se dividirmos um número por zero? E por 1? O que acontece se multiplicarmos um número por 9? E por 98? E se subtraímos 0 ou 1? Reflita sobre os procedimentos de cálculo mais adequados a cada problema. Por exemplo: Assinale o procedimento mais adequado, na sua opinião, para a resolução de cada problema abaixo: Três amigos foram a uma lanchonete e gastaram 45 reais. Quanto pagou cada um, se eles dividiram a conta igualmente? a) Cálculo escrito ( ) b) Cálculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( ) Uma moto pode ser paga em 39 vezes de 129 reais. Qual é o valor a ser pago pela moto? a) Cálculo escrito ( ) b) Cálculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( ) Um homem ganha R$ 4105,00 e gasta R$680,00 de aluguel, R$550,00 com alimentação, R$330,00 com transporte e R$2000,00 com saúde e educação. Quanto lhe sobra para outros gastos? a) Cálculo escrito ( ) b) Cálculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( ) Meu carro faz 10 km com um litro de gasolina e tenho ainda ¼ do tanque de combustível. Se o tanque tem aproximadamente 52 litros, será possível chegar a

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uma distância de 96 km? a) Cálculo escrito ( ) b) Cálculo mental ( ) c) Estimativa ( ) d) Uso da calculadora ( )

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: Ayres Jr ., Frank; Matemática Financeira; São Paulo; McGrawn-Hill do Brasil, 1981. Centurión , Marília; Números e Operações; São Paulo; Ed Scipione, 2002. Gonçalves , Dalton. Física do Científico e do Vestibular. RJ: Ao Livro Técnico, 1973. Rubinstein , Cléa e outros. Matemática para o Curso de Formação de Professores, São Paulo. Moderna, 1997.

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