Universidad Publica de El Alto Carrera de Ingeniera Civil

Primer Semestre 2014 La Paz - Bolivia.

Docente: .

Examen FINAL de Ecuaciones Diferenciales Jueves 10 de Julio del 2014

C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Puntaje: 25 Puntos

Paterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Materno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

(5 puntos). [Ecuacion Diferencial Exacta] Escribe cada una de las siguientes ecuaciones en laforma P (x, y)dx+Q(x, y)dy = 0, comprueba su exactitud y resuelve si es exacta:

(2xyex

2y + y2exy2

+ 1)dx+

(x2ex

2y + 2xyexy2

2y)dy = 0.

(5 puntos). [factor integrante] Calcula la solucion general de las siguientes ecuaciones diferen-ciales buscando un factor integrante adecuado para el siguiente ejercicio xy + y log x = y log y + y.

(5 puntos). [Ecuacion de Bernoulli] Consideramos a una constante positiva y una funcionpositiva de t en [0, 1) y considere siguiente ecuacion de Bernoulli P aP = a(t)P 2. (a). Suponga que

P (0) = P0 > 0, encuentre P (t) para t > 0. (b). Suponiendo que el limite lmt

eat t

a

(s)eas ds = L

existe, encuentre lmt

P (t).

(5 puntos). [Metodo de variacion de parametros] La ecuacion diferencial para un determinadocircuito es:

Ld2q

dt2+R

dq

dt+

q

C= e(t)

donde R es la resistencia (en ohmios), L es la autoinduccion (en henrios) y C es el condensador (enfaradios). Ademas, sabemos que R,L, C > 0. (a) Escribe la solucion de la ecuacion homogenea en funcion

de los valores de R,L, C. Sugerencia: Observe que hay tres casos posibles R2 4L

C> 0, R2 4

L

C= 0 y

R2 4L

C< 0 (b) Resuelve el problema para L = 0,4, C = 0,025, R = 10 y e(t) = sin(t), y condiciones

iniciales q(0) = 1, q(0) = 0.

(5 puntos). [Ecuacion diferencial de segundo orden.] Una ecuacion de la format2x + atx + bx = 0,

donde a y b son numeros reales es una ecuacion de Euler. Demuestra que el cambio de variable in-dependiente s = ln t transforma transforma una ecuacion de Euler en una lineal de coeficientes con-stantes para la nueva variable dependiente y(s) = x(es). Aplica lo anterior para resolver la ecuaciont2x 4tx 6x = 0 para t > 0.