CONJUNTOS NUMERICOS PARTE I

PSU MATEMATICA2020

Clase 1

OBJETIVOS

• Identificar y utilizar los distintos conjuntos numéricosen sus diversas formas de expresión.

• Aplicar la operatoria básica en los númerosnaturales, cardinales, enteros y racionales

Recuerda apagar tureproductor de músicay celular por favor.

1. Números Naturales (lN)

1.1 Consecutividad numérica

Este conjunto está formador por:

IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …}

Es un conjunto infinito, ordenado y discreto.

Sucesor:

Todo número natural tiene un sucesor, y se obtienesumando 1 al número, es decir:

Si n pertenece a lN, su sucesor será n +1.

Conjuntos Numéricos

Números Naturales Consecutivos

Antecesor:

Todo número natural (exceptuando el 1), tiene un antecesor, y se obtiene restando 1 al número, es decir:

Si n pertenece a lN, su antecesor será n -1

Ejemplo:

Tres números naturales consecutivos se pueden representar por:

n, n+1, n+2

n-1, n, n+1

n+10, n+11, n+12

n - 1 n + 1n

antecesor sucesor

1.2 Paridad e Imparidad

Números Pares

Son de la forma 2n, con n perteneciente a los naturales.

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18……, 2n}

Sucesor par:

Se obtiene sumando 2 alnúmero. Si el número es2n, entonces su sucesorpar será 2n+2.

Antecesor par:

Se obtiene restando 2 alnúmero. Si el número es2n, entonces su antecesorpar será 2n-2.

2n - 2 2n + 22nantecesor par sucesor par

Sucesor impar:

Se obtiene sumando 2 alnúmero impar. Si elnúmero es 2n+1,entonces su sucesorimpar será 2n+3.

Números Impares

Son de la forma 2n+1 (o 2n-1), con nperteneciente a los naturales

{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17…… ,2n+1}

Antecesor impar:

Se obtiene restando 2 alnúmero impar. Si el númeroes 2n+1,entonces, suantecesor impar será 2n-1.

2n - 1 2n + 32n+1antecesor impar sucesor impar

1.3 Números Primos

Son aquellos números naturales que son sólo tienen dos divisores el 1 y el mismo número:

{ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,31 …}

El 1 NO es primo nicompuesto

1.4 Números Compuestos

Son aquellos números naturales que no son primos, es decir,los que tienen algún divisor natural a parte de él mismo y del1.

{ 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, ….}

Divisores

Se llama “divisor” de un número a aquel que lo divide enforma exacta, es decir cabe en él una cantidad exacta deveces.

Por ejemplo:

Los divisores de 36 son los números que lo dividenexactamente:

{1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 y 36}

1.5 Múltiplos y Divisores

Múltiplos

Se llama “múltiplo” de un número, a aquel que se obtiene almultiplicar dicho número por otro cualquiera.

Por ejemplo:

3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, son múltiplos de 3.

Mínimo Común Múltiplo

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de dos o másnúmeros, corresponde al menor de los múltiplos quetienen en común.

Ejemplo:

El m.c.m. entre 4, 9 y 12 es 36.

El 36 es el menor múltiplo en común que presentan.

Algunos múltiplos de 4 son:

{4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, …}

Algunos múltiplos de 9 son:

{9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, …}

Algunos múltiplos de 12 son:

{12, 24, 36, 48, 60, 72,…}

m.c.m. = 2·2·3 ∙3 =36

Existe un método para determinar el m.c.m que simplifica elproceso anterior .

4 9 12 Se divide cada número por númerosprimos hasta que en cada columnaquede 1.

Si no lo divide, el número se baja.

Finalmente el producto de estosfactores primos corresponderá alm.c.m.

Ejemplo:

Determinar el m.c.m. entre 4, 9 y 12

2 9 6

1 9 3

3 1

1

2

2

3

3

Máximo Común Divisor

El máximo común divisor (M.C.D.) de dos o más números,corresponde al mayor número que los divide a todossimultáneamente.

Ejemplo:

El M.C.D. entre 18,30 y 42 es 6.

EL 6 es el mayordivisor en comúnque presentan.

Los divisores de 18 son:

{1, 2, 3, 6, 9, 18}

Los divisores de 30 son:

{1, 2, 3, 5, 6,10, 15, 30}

Los divisores de 42 son:

{1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42}

18 30 42

Se divide por números primosque sean divisores de todos losnúmeros simultáneamente.

El proceso termina cuando yano se pueda dividir a todos enforma simultánea.

Finalmente el producto deestos factores primoscorresponderá al M.C.D.

M.C.D. = 2 ∙ 3 = 6

Obviamente existe un método para determinar el M.C.D.que simplifica el proceso anterior .

Ejemplo:

Determinar el M.C.D. entre 18, 30 y 42

9 15 21 3

3 5 7

2

1.6 Operaciones en lN

Adición, sustracción, multiplicación y división

Propiedades de la Adición:

a) Clausura: La suma de dos números naturales siempre nosentrega como resultado otro número natural.

b) Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces secumple que:

Ejemplo: 7 + 9 = 9 + 7a + b = b + a

a + b = c, donde a y b sumandos y c suma.

c) Asociativa:Si a, b y c son números naturales, entonces secumple que:

a +(b+c) = (a+b) + c

Ejemplo: 10 +(1+3) = (10+1) + 3

10 + (4) =(11) + 3

14 = 14

a) Clausura: El producto de dos números naturales essiempre un natural.

b) Conmutativa: Si a y b son números naturales, entonces secumple que:

a ∙ b = c, donde a y b factores y c producto.

El elemento neutro multiplicativo es el 1.

Propiedades de la Multiplicación:

Ejemplo: 2 ∙ (6∙3) = (2∙6) ∙ 32 ∙ (18) = (12) ∙ 3

36 = 36

Ejemplo: 8∙7 = 7∙8 = 56

a ∙(b ∙ c) = (a ∙ b) ∙ c

c) Asociativa: Si a, b y c son números naturales, entonces secumple que:

a∙b = b∙a

En el conjunto de los naturales no existe elemento neutro aditivo.

Sustracción (resta o diferencia):

a - b = c, donde a minuendo, b sustraendo y c diferencia.

20-23 ¿Pertenece a los números naturales?

División (cuociente)

a : b = c

Ejemplo

24 : 8 = 3 cuociente

dividendodivisor

Si la división NO es exacta se tiene:

Ejemplo:

39 : 7 = 5

4

Por lo tanto:

39= 7·5 + 4

dividendo cuociente

divisor

resto

2. Números Cardinales (lN0)

2.1 Operaciones en lN0

Adición, sustracción, multiplicación y división

Se cumplen las mismas propiedades que en los naturales.Ahora debido a la incorporación del cero se tiene:

Existe un elemento neutro aditivo: el cero

Existe un elemento absorbente en la multiplicación: el cero

Este conjunto está formador por:

lNo = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 …}

Es un conjunto infinito, ordenado y discreto.

a + 0 = 0 + a = a

a · 0 = 0 · a = 0

3. Números Enteros (Z)

Z = Z- U lN0

Z = Z- U {0} U Z+

Este conjunto está formador por:

Z = {…. -5, -4, -3, -2, -1, 0,1, 2, 3, 4, 5, …}

Es un conjunto infinito, ordenado y discreto.

Se puede representar por:

Z- Z+

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

∞- ∞+

3.1 Paridad e Imparidad

Números Pares

Son de la forma 2n, con n perteneciente a los enteros.

{-4,-2, 0, 2, 4, 6, 8…, 2n}

Números Impares

Son de la forma 2n+1 (o 2n-1), con n perteneciente a losenteros

{-9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11,…… , 2n+1}

2n - 2 2n + 22nantecesor par sucesor par

Secuencia de números pares

2n - 1 2n + 32n+1antecesor impar sucesor impar

Secuencia de números impares

Valor absoluto:

El valor absoluto de un número representa la distancia a la cualse encuentra el número del cero en la recta numérica.

Por ejemplo, la distancia del 4 al origen es cuatro unidades, aligual que la distancia del -4 al origen.

La notación es: |4| = 4 y |-4| = 4

4 unidades 4 unidades

-4 0 4

3.2 Operaciones en Z

Al realizar operaciones con los números enteros debemosconsiderar algunas reglas con respecto a los signos:

Sean a y b son números enteros, entonces se cumple que:

a) Al sumar enteros de igual signo, se suman los valoresabsolutos de los números y se mantiene el signo.

Ejemplo:

11+17 = +28 -3 + - 5 = - 8

b) Al sumar enteros de distinto signo, se calcula la diferenciaentre sus valores absolutos, conservando el signo del quetiene mayor valor absoluto.

-25 + 9 = -16 18 + -6 = +12

Ejemplo:

c) Al restar dos enteros, se debe sumar al minuendo elinverso aditivo del sustraendo.

a – b = a + - b Ejemplo: 1 – 4 = 1 + - 4 = – 3

a – (-b) = a + b Ejemplo: 11 – (– 7) = 11 + 7 = 18

-8 ∙ -4 = +32

d) Si a y b son dos númerosenteros de igual signo,entonces:

El producto y el cuocienteentre ellos es positivo.

Ejemplo:

-72 : -6 = +12

e) Si a y b son dos númerosenteros de distinto signo,entonces:

El producto y el cuocienteentre ellos es negativo

-3 ∙ 7 = -21

Ejemplo:

-24 : -8 = +3

3.3 Propiedades

La suma de números enteros cumple con la propiedad deClausura, Conmutatividad y Asociatividad.

La suma de números enteros tiene “elemento neutro”: elcero.

Cada número entero posee inverso aditivo u opuesto.

Ejemplo:

El inverso aditivo de 13 es -13

El inverso aditivo de –9 es 9

3.4 Prioridad en las operaciones

Al trabajar con expresiones que combinan distintasoperaciones a la vez, se debe respetar el siguiente orden:

1. Resolver los paréntesis, partiendo desde los interiores alos exteriores.

2. Realizar las potencias.3. Realizar multiplicaciones y/o divisiones, de izquierda a

derecha.4. Realizar adiciones y/o sustracciones, de izquierda a

derecha.

-8 + (13 - (4 - 2) + 7 ): 6 · 2 + 1= ?

Ejemplo:

Res:-1

Ejemplos PSU

Ejemplos PSU

3 ∙ −3 + 1 − −2 − 1 =

3 ∙ −2 − −3 =

−6 + 3 = −3

2𝑥 + 1 + 2𝑥 + 3 + 2𝑥 + 5 = 1527

6𝑥 + 9 =1527

6𝑥 =1518→ 𝑥 =1518

6= 253

507, 509, 509

634812𝑃𝑢𝑒𝑠 (6 + 3 + 4 + 8 + 1 + 2) = 24 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑜𝑝 3

A trabajar