La accin

Alvaro Martnez

La accin en fsica terica es una cantidad abstracta que describe el movimiento de un sistemafsico en su totalidad. Teniendo esto en cuenta se puede analizar el movimiento de un sistema desdedos puntos de vista uno; local y uno panormico. La vista local caracteriza el movimientoinstante a instante, desde el punto de vista panormico la accin es la cantidad numrica especificaque caracteriza el movimiento relacionando las condiciones iniciales y finales de ste.

En mecnica clsica se define a la accin por medio del calculo de variaciones y la lagrangiana delsistema a tratar como la integral:

tomada a lo largo de dos posiciones distintas del sistema correspondientes a dos instantes dados t1 yt2 . Cuando hacemos variar la accin por medio de diferentes caminos en el sistema se comparan losvalores de esta integral para estas trayectorias vecinas a la real que tienen los mismo lmites q(t1) yq(t2), el movimiento real corresponde cuando la integral que llamamos accin tiene su valor lmite.Mediante este anlisis se puede definir la accin de la siguiente manera: Una magnitud quecaracteriza el movimiento a lo largo de las trayectorias reales(Landua, Lifshitz, 1994, p.167), aquconsideramos la integral de accin como una funcin de de las coordenadas del lmite superior de laintegral, por lo tanto la accin tambin queda definida como una funcin explicita del tiempo yaque las trayectorias dependen de t1 y t2.

De esta forma segn el punto de vista se puede definir a a la accin de muchas formas. Podemosdecir que es la funcional de las coordenadas y velocidades(Abers,2004, p.2):

La mecnica newtoniana es equivalente cuando este funcional es un extremo, mediante los dosmtodos podemos llegar a ecuaciones del movimiento que describen el mismo fenmeno fsico .

El primero en hablar de accin fue Maupertuis (1698-1759) con su trabajo le principe de la moindrequantit daction, el principio de mnima accin. Segn su pensamiento , proclamo que este sencillaley causa que la naturaleza actu de alguna forma tal que cierta cantidad, que l llamo accin sea unmnimo. Maupertuis postul que la accin debera depender de la masa, velocidad y la distancia asdefini la accin como el producto de estas tres magnitudes. Este razonamiento fue en su mayorametafsico y emprico, no es sino hasta Euler (1707-1793) en 1744, aos despus del trabajo deMauppertuis, que se publica el principio de mnima accin como un teorema en dinmica que fue elprincipio de como conocemos hoy a este principio en el calculo de variaciones.

Euler enuncio este principio de la manera siguiente: Una partcula puede viajar a lo largo de unatrayectoria entre dos puntos fijos con cualquier energa dada, y se mueve de tal forma que ladiferencia entre la integral vds evaluada a lo largo de la trayectoria real y la misma integralevaluada en otra trayectoria virtual en la vecindad de la real entre los dos puntos dados es unacantidad infinitesimal de segundo orden; si la partcula viaja por la trayectoria virtual con la

S=t1

t2

L dt

S=t1

t2

L(r 1 ... rk , r1 ... rk ,t )dt=t1

t2

L(r ,r , t)dt

misma velocidad para la cual la energa es dada. La condicin es :

Donde P y Q son los puntos iniciales y finales, y denota la variacin de la integralbajo las restricciones dadas.

Euler identifico su integral con la cantidad llamada accin por Maupertuis y su teorema con elprincipio de mnima accin de Maupertius. Entonces la accin de cada partcula se definira como laintegral vds .

Como se observa en las distintas maneras de abordar la accin siempre esta ligada con el principiode mnima accin que actualmente se le llama el principio de Hamilton ya que despus de lostrabajos de Euler hubieron formalizaciones matemticas modernas debidas a Lagrange y por ltimoa Hamilton que son en las que actualmente se basa la teora de la mecnica analtica. De cualquier forma desde el postulado de Maupertuis hasta la formalizacin matemtica moderna elconcepto de accin tiene el mismo significado con la diferencia que los tratados modernos,demuestran que esta cantidad llamada accin no es mnima en algunos casos sino mas estrictamentecumple la condicin de extremo para trayectorias reales del sistema fsico que se este tratando.

En conclusin la accin se puede definir de muchas formas y generalmente depende del campo dela fsica en el que se la aborde, pero la idea de que el mundo fsico cumple ciertas reglas que hacenque esta cantidad llamada accin describa cuantitativamente el fenmeno dinmico tratado sea conuno o con otro mtodo matemtico es la forma mas elegante que la fsica hasta ahora hadesarrollado para abordad problemas de este tipo y tiene implicaciones muy fuertes en muchas otrasreas de la fsica terica.Este concepto de la accin llevo a desarrollos que me atrevo a decir, hasta el mismo Newton sesorprendera por su bella simplicidad y elegancia, al mismo tiempo esta teora es una herramientamuy poderosa para resolver problemas prcticos y tericos. Por estas razones me parece que ste esuno de los conceptos mas importantes en la fsica y el cimiento para toda la mecnica analtica.

Sin embargo el concepto de accin no se puede definir unvocamente y menos separarlo delprincipio de mnima accin histricamente llamado as, ya que la definicin y comprensin delconcepto de accin depende primordialmente de la manera y la forma en que este principio seatratado y enunciado.

Referencias

1. Landua & Lifshitz, Curso de Fsica Teorca, 2da ed. (Revert S.A., Vol II, Barcelona, 1994),p. 167.

2. Yourgrau, Variational principles in dynamics and quantum theory, , 2 th ed. (PitmanPublishing Corporation, Great Britain, 1990), p. 25.

3. Abers, Quantum Mechanics, 1st ed. (Pearson education inc., New Jersey, 2004), p. 2.

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