Post on 07-Feb-2015
Recursos matemáticos para física
Un vector es un segmento orientado en el espacioque se caracteriza por:
Origen o punto de aplicación y extremo
Dirección: la recta que lo contiene
Sentido: el que indica la flecha
Módulo: longitud del segmento.Indica el valor numérico de la magnitud en la unidad elegida
O
A
A'
v
E
Linea de acción
Origen
Extremo
Vector
Suma de vectores
a
b
R
a
b
c d
R
OO
a
b
a
-b
R=a+ (-b)
Diferencia de vectores
La suma presenta las siguientes propiedades:
1. Conmutativa:
a + b = b + a
2. Asociativa:
a + (b + c) = (a + b) + c
Suma y diferencia de vectores
Dados dos vectores a y b, se define la suma, o resultante, de ambos al vector R, obtenido al unir el punto O, origen del primero (a) con el extremo del vector b, aplicado al extremo del vector a.
Producto de un escalar k por un vector a
El producto de un vector a por un escalar k es otro vector de igual dirección y sentido que el vector y de módulo "k" veces el módulo del vector a.
R = k . a
Las propiedades que presenta el producto de un escalar por un vector son:
1. Conmutativa: k . a = a . k
2. Asociativa respecto del escalar: k1. (k2 . a) = k2. (k1. a)
3. Distributiva respecto a la suma de escalares:
(k1 + k2) . a = k1. a + k2. a
4. Distributiva respecto a la suma de vectores:
k .(a + b) = k. a + k. b
X
Y
Z
a
a
a
ak
i j
x
y
z
Componentes de un vector
ax = |a| cos ,
ay = |a| cos
az = |a| cos
denominándose a cos , cos , cos los cosenos directores del vector.
a = a i + a j + a kx y z
Y el módulo vale
donde
a+a+a = a 2x
2y
2x
X
Y
a
j
i
a
ay
x
Si trabajamos en el plano, como y son complementarios, se cumple que:
cos = sen
a = a cos a = a cos = a sen
x
y
Y el módulo vale
Componentes de un vector en el plano
a+a = a 2y
2x
http://iris.cnice.mec.es/fisica/probar.php?applet_id=74
Producto escalar de dos vectores
Se define el producto escalar de dos vectores a y b como un escalar cuyo valor es:
a . b = |a| . |b| cos ;
donde es el ángulo que forman los dos vectores y está comprendido entre 0 y
(0 )
b
a
proyección
También se puede definir como el producto del módulo de un vector por la proyección del otro sobre él.
Propiedades del producto escalar
1. Conmutativa : a . b = b . a
2. Distributiva respecto de la suma :
a . (b + c) = a . b + a . c
3. Asociativa respecto de un escalar:
k (a . b) = (k a) . b = a . (k b) = (a. b) k
Expresión en función de las componentes:
a . b = (ax i + ay j +az k). (bx i + by j + bz k) = ax bx i . i + ax by i . j + ax bz i . k + ay bx j . i + ay by j . j + ay bz j . k + az bx k . i + az by k . j + az bz k . k =
ax bx + ay by + az bz
luego
a . b = ax bx + ay by + az bz
ya que i . j = j . i = 0 ; i . k = k . i = 0 ; j . k = k . j = 0 ; i . i = j . j = k . k = 1
4. a. a = ax2 + ay
2 + az2 = a2
5. Si a y b pero a . b = 0, entonces el cos = 0, luego a b.
Aplicaciones del producto escalar
r
b
u
r
Proyección
1. Cálculo de la proyección de un vector sobre una dirección
Si definimos un vector unitario u en la dirección de la recta sobre la que vamos a calcular la proyección, se cumple
proyr b = b cos = b . u
b
a
2. Determinación del ángulo
que forman dos vectores
cos µ = a.ba.b
=ax.bx + ay.by +az.bz
a2x + a2
y + a2z b2
x + b2y + b2
z
Aplicaciones del producto escalar
3. Cálculo de cosenos directores
r . i = r cos
De igual manera calcularemos el cos y cos
4. Ley de los cosenos
a
b
c
a - b = c ;
(a - b) . (a - b) = c . c
a . a - a . b - b . a - b . b = c. c
a2 - 2 a . b - b2 = c2
a2 - 2 a . b .cos + b2 = c2
r + r + r
r= r + r + r
.0r + .0r + .1r = r
r.icos
2z
2y
2x
x
2z
2y
2x
zyx=
Producto vectorial de dos vectores
p
b
a
Se define el producto vectorial de dos vectores como un vector cuyo módulo es:
| p | = | a ^ b | = | a | | b | sen , donde (0 ), la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores y el sentido el que indica la regla del sacacorchos o del tornillo.
Propiedades del producto vectorial
1. No conmutativa: a ^ b = - b ^ a
2. Distributiva respecto de la suma:
a ^ (b + c) = (a ^ b) + (a ^ c)
3. Asociativa respecto de un escalar:
k (a ^ b) = (k a) ^ b = a ^ (k b) = (a ^ b) k
4. a ^ a = 0
5. Si a 0 y b 0 pero a ^ b = 0, entonces el sen = 0, luego a es paralelo a b.
Expresión del producto vectorial en función de las componentes
a ^ b = (ax i + ay j +az k) ^ (bx i + by j + bz k) = ax bx i ^ i + ax by i ^ j +
+ ax bz i ^ k + ay bx j ^ i + ay by j ^ j + ay bz j ^ k + az bx k ^ i + az by k ^ j +
+az bz k ^ k = ax by k - ax bz j - ay bx k + ay bz i + az bx j - az by i =
i j k
= ax ay az
bx by bz
ya que: i ^ i = j ^ j = k ^ k = 0 ;
i ^ j = - j ^ i = k ;
-i ^ k = k ^ i = j ;
j ^ k = - k ^ j = i
http://iris.cnice.mec.es/fisica/probar.php?applet_id=77
i
j
k
Aplicaciones del producto vectorial
a
b
S = a ^ b
h
90º
1. El área del paralelogramo formado por los dos vectores se puede definir como el producto vectorial de los dos vectores.
S = a . h = a . b .sen = | a ^ b|
2. Representación vectorial de una superficie:
Como consecuencia de la aplicación anterior, cualquier superficie se puede dividir en pequeñas superficies elementales en forma de paralelogramos, pudiendo representar cada uno de ellos por un vector perpendicular a su superficie. Como todos tendrían la misma dirección y sentido se pueden sumar. Por lo que cualquier superficie la podemos representar como un vector perpendicular a ella, de tal forma que, su módulo sea el área de la superficie y su sentido el del sacacorchos que gire en el sentido del recorrido de su periferia.
Aplicaciones del producto vectorial3. Ley de los senos
a + b = c ; a ^ (a + b) = a ^ c
(a ^ a) + (a ^ b) = a ^ c
a . b . sen ( -) = a . c . sen
a . b .sen = a . c . sen
b sen = c sen
b
a
c
S = a^b
h= c sen 90º
4. El producto mixto representa el volumen del paralelepípedo formado por los tres vectores.
c. (a ^ b) = c. S = c.S.sen =
S.h = Vol =
cx cy cz
ax ay az
bx by bz
Momento de un vector deslizante respecto a un punto
Or
M
a
P
d
90º
Sea el vector deslizante a, define el momento del vector a con respecto a un punto O, como el producto vectorial del vector r , cuyo origen es el punto O y el extremo un punto de la recta donde se aplica el vector, por el vector a.
M = r ^ a M = r. a. sen = a . d
El momento no varia tanto si desplaza el vector sobre su recta de acción como si desplaza el punto O sobre una paralela a ella.
Teorema de Varignon
Si consideramos varios vectores deslizantes que sean concurrentes, el momento de la suma de estos vectores respecto a un punto O es igual a la suma de los momentos de los vectores componentes respecto al mismo punto O.
Momento de un vector respecto a un eje
ar
r'
P
Q
O
O'
e
M'oMo
M'e
Me
u
'Se define como la proyección sobre dicho eje del momento del vector con respecto a un punto cualquiera del eje.
El momento del respecto a un eje no depende del punto que
tomemos sobre el eje.
Mo = r ^ a
Mo' = r' ^ a = (O’O + r) ^ a = (O’O ^ a)+ + r ^ a = (O’O ^ a) + Mo
Los momentos respecto al eje, los podemos escribir como el producto escalar de los momentos respecto a los puntos por el vector unitario en la dirección del eje (u)Me = Mo . u = Mo . 1. cos = Mo . cos
Me' = Mo' . u = [(O’O ^ a) + Mo] . u = (O’O ^ a) . u + Mo . u = Mo . U
cero
Par de vectores
-a
a
d
O
O'
r
r'1
r'2
r2
r1
Se define el par de vectores como un sistema formado por dos vectores deslizantes de la misma magnitud y sentidos opuestos, situados en dos rectas paralelas
Su resultante es cero y el momento resultante respecto de cualquier punto del plano vale:
Mo = r1 ^ (+a) + r2 ^ (-a) = (r1 - r2) ^ a = r ^ a
siendo el módulo:
Mo = r . a . sen = d . a
donde d es la distancia entre las dos direcciones y se denomina brazo del par.También se cumple:
Mo' = (r1' ^ a) + [r2' ^ (-a)] = (r1' - r2') ^ a = r ^ a
1
1
2
2
3
3
3
3
4
Intersección de las superficies equiescales con el plano
Líneas vectoriales del campo
Unidad de superficie
a
a
aa
a
Derivada de un vector respecto de un escalar
A
Bhh( )
h()hO
Sea una magnitud vectorial, h(), que depende de un escalar , generalmente el tiempo.
Si consideramos, respecto a unos ejes coordenados, la curva que describen los extremos del vector h cuando varia por variar el escalar , como se observa en la figura tenemos:
h = h( +) - h()
Al multiplicar dicho vector por (1/), tenemos un nuevo vector h/ que tendrá la misma dirección que h.Por analogía con el concepto de derivada de una función escalar definimos la derivada de un vector con respecto a un escalar como el límite a que tiende el vector h/cuando tiende a cero.
h lim =
)h(-) +h(lim =
d
h00
d
Derivada de un vector respecto de un escalar
Por lo que la derivada de un vector h respecto de un escalar, es un vector cuya dirección es tangente a la curva descrita por los extremos del vector h en el punto considerado, y cuyas componentes son las derivadas de cada una de las componentes del vector h respecto del escalar.
Como h = hx i + hy j + hz k , podemos
escribir que:
kddh + j
ddh
+ iddh =
d
h zyx
d
Derivada de un vector respecto de un escalar: consecuencias
a) Si al variar el escalar, el vector h sólo varía en dirección pero no en módulo, sus extremos describen una circunferencia, entonces h y dh/d son perpendiculares.b) Si el vector h sólo varía módulo pero no en dirección, sus extremos describirán una recta, luego h y dh/d tienen la misma dirección.
u
h
dhd
dhd u
hddu
X
Y
Zc) Si ponemos el vector h como h = h u
Al derivar dicha expresión tenemos:
dhdµ
=dhdµu +hdu
dµlo que nos indica que la derivada de un vector se puede descomponer como la suma de dos vectores, uno en la dirección del vector y otro en la dirección perpendicular.
Físicamente estos dos vectores nos indican las variaciones del módulo dhdµu
y la variación en la dirección hdudµ
Derivada parcial
Si tenemos una magnitud escalar f(x,y,z), que es función de x, y, z , se define la derivada parcial, respecto a una variable x:
f f (x+x,y,z f (x,y,z ----lim ---------------------------- x xx
es decir, se calcula la derivada de la función con respecto a la variable considerando las otras variables como constantes.
De la misma forma podemos definir la derivada parcial de un vector a respecto a x, como a a (x+x,y,z) - a (x,y,z) ---- = lim ----------------------------xx x
de igual manera podríamos definir respecto a las otras variables.