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-ndice

- ndice..

- Introduccin terica..

- Formalismo terico.

- Desarrollo experimental.

- Tablas.

- Datos..

- Clculos.

- Grfcas..

- Anlisis.

- Aportaciones de meora..

- Conclusiones

- !iblio"ra#$a..

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INTRODUCCION

Todos hemos experimentado en alguna ocasin la sensacin de estar perdiendo el tiempo al esperar en unacola. El fenmeno de las colas nos parece natural: esperamos en el coche al estar en un tapn, o un semforomal regulado, o en un peaje; esperamos en el telfono a que nos atienda un operador y en la cola de unsupermercado para pagar....

eneralmente como clientes no queremos esperar, los gestores de los citados ser!icios no quieren queesperemos.... "#or qu hay que esperar$

%a respuesta es casi siempre simple, en alg&n momento la capacidad de ser!icio ha sido 'o es( menor que lacapacidad demandada. Esta limitacin se puede eliminar in!irtiendo en elementos que aumenten la capacidad.En estos casos la pregunta es: ")ompensa in!ertir$

%a teor*a de colas intenta responder a estas preguntas utili+ando mtodos matemticos anal*ticos

n sistema de colas se puede descri-ir como: clientes/ que llegan -uscando un ser!icio, esperan si este no esinmediato, y a-andonan el sistema una !e+ han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que losclientes a-andonan el sistema si se cansan de esperar.

El trmino cliente/ se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significarpie+as esperando su turno para ser procesadas o una lista de tra-ajo esperando para imprimir en una impresoraen red.

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Objetivos de la Teora de Colas

%os o-jeti!os de la teor*a de colas consisten en:

0dentificar el ni!el ptimo de capacidad del sistema que minimi+a el coste glo-al del mismo.

E!aluar el impacto que las posi-les alternati!as de modificacin de la capacidad del sistema tendr*an en elcoste total del mismo.

Esta-lecer un -alance equili-rado '1ptimo1( entre las consideraciones cuantitati!as de costes y lascualitati!as de ser!icio.

2ay que prestar atencin al tiempo de permanencia en el sistema o en la cola: la 1paciencia1 de los clientesdepende del tipo de ser!icio espec*fico considerado y eso puede hacer que un cliente 1a-andone1 el sistema.

MARCO TEORICO

%a teor*a de colas es el estudio matemtico de las colas o l*neas de espera dentro de un sistema. 3sta teor*aestudia factores como el tiempo de espera medio en las colas o la capacidad de tra-ajo del sistema sin quellegue a colapsarse. 4entro de las matemticas, la teor*a de colas se englo-a en la in!estigacin deoperaciones y es un complemento muy importante a la teor*a de sistemas y la teor*a de control. 5e trata as* deuna teor*a que encuentra aplicacin en una amplia !ariedad de situaciones como negocios, comercio,industria, ingenier*as, transporte y log*stica o telecomunicaciones.

En el caso concreto de la ingenier*a, la teor*a de colas permite modelar sistemas en los que !arios agentes quedemandan cierto ser!icio o prestacin, confluyen en un mismo ser!idor y, por lo tanto, pueden registrarseesperas desde que un agente llega al sistema y el ser!idor atiende sus demandas. En este sentido, la teor*a es

muy &til para modelar procesos tales como la llegada de datos a una cola en ciencias de la computacin, lacongestin de red de computadoras o de telecomunicacin, o la implementacin de una cadena producti!a enla ingenier*a industrial.

El matemtico dans 6gner 7rarup Erlang, tra-ajador de la )openhagen Telephone Exchange, pu-lic elprimer art*culo so-re la teor*a de colas en 899.8 Espec*ficamente se preocup del estudio del pro-lema dedimensionamiento de l*neas y centrales de conmutacin telefnica para el ser!icio de llamadas.

n sistema de colas se puede descri-ir como: clientes/ que llegan -uscando un ser!icio, esperan si este no esinmediato, y a-andonan el sistema una !e+ han sido atendidos. En algunos casos se puede admitir que losclientes a-andonan el sistema si se cansan de esperar.

El trmino cliente/ se usa con un sentido general y no implica que sea un ser humano, puede significarpie+as esperando su turno para ser procesadas o una lista de tra-ajo esperando para imprimir en una impresoraen red.

Ejemplo de 5istema

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%a primera aplicacin de la que se tiene noticia es del matemtico dans Erlang so-re con!ersacionestelefnicas en 899, para el clculo de tamao de centralitas. 4espus se con!irti en un concepto terico queconsigui un gran desarrollo

5eis son las caracter*sticas -sicas que se de-en utili+ar para descri-ir adecuadamente un sistema de colas:

a( #atrn de llegada de los clientes

-( #atrn de ser!icio de los ser!idores

c( 4isciplina de cola

d( )apacidad del sistema

e(

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Patrn de lleada de los clientes

En situaciones de cola ha-ituales, la llegada es estocstica, es decir la llegada depende de una cierta !aria-lealeatoria, en este caso es necesario conocer la distri-ucin pro-a-il*stica entre dos llegadas de clientesucesi!as. 6dems ha-r*a que tener en cuenta si los clientes llegan independiente o simultneamente. En estesegundo caso 'es decir, si llegan lotes( ha-r*a que definir la distri-ucin pro-a-il*stica de stos.

Tam-in es posi-le que los clientes sean impacientes/. Es decir, que lleguen a la cola y si es demasiado largase !ayan, o que tras esperar mucho rato en la cola decidan a-andonar.

#or &ltimo es posi-le que el patrn de llegada !ar*e con el tiempo. 5i se mantiene constante le llamamosestacionario, si por ejemplo !ar*a con las horas del d*a es noGestacionario.

!"#"! Patrones de servicio de los servidores

%os ser!idores pueden tener un tiempo de ser!icio !aria-le, en cuyo caso hay que asociarle,

para definirlo, una funcin de pro-a-ilidad. Tam-in pueden atender en lotes o de modo indi!idual.

El tiempo de ser!icio tam-in puede !ariar con el n&mero de clientes en la cola, tra-ajando

Cs rpido o ms lento, y en este caso se llama patrones de ser!icio dependientes. 6l igual que el

5e ha implantado una notacin para representar los pro-lemas de colas que consta de ? s*m-olos separadospor -arras.

6 = > = J = K = L

6: la distri-ucin de tiempo entre llegadas consecuti!as

>: alude al patrn de ser!icio de ser!idores

J: n&mero de canales de ser!icio

K: restriccin en la capacidad del sistema

L: disciplina de la cola

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%a tarea de un analista de colas puede ser de dos tipos:

a( Esta-lecer mecanismo para medir la efecti!idad del sistema-( 4isear un sistema optimo/ 'con alg&n criterio(

4isear eficientemente consiste en definir un sistema cuyo coste 'de diseo u operacin( se justifique por elser!icio que da. 5e puede e!aluar mediante el coste de no darlo/.

#ara poder tomar decisiones hacen falta datos que la teor*a de colas puede dar en alguno de los siguientes tresaspectos:

a( Tiempo de espera 'en el total del sistema o la cola(-( )antidad de clientes esperando 'en el sistema o en las colas(c( Tiempo ocioso de los ser!idores 'total o particular de cada ser!icio(

Nmero de llegadas por unidad de tiempo Nmero de servicios por unidad de tiempo si el servidor est ocupadoc Nmero de servidores en paralelo

=

c

Congestin de un sistema con parmetros (, ,c)

N(t) Nmero de clientes en el sistema en el instante tNq(t) Nmero de clientes en la cola en el instante tNs(t) Nmero de clientes en servicio en el instante tPn(t) Probabilidad que haa !n" clientes en el sistema en el instante

t#Pr$N(t)#n%N Nmero de clientes en el sistema en el estado establePn Probabilidad de que haa !n" clientes en estado estable Pn#Pr$N#n%

& Nmero medio de clientes en el sistema&q Nmero medio de clientes en la cola'q epresenta el tiempo que un cliente invierte en la cola epresenta el tiempo de servicio

'#'q* epresenta el tiempo total que un cliente invierte en el sistema+q # -'q. 'iempo medio de espera de los clientes en la cola+ # -'. 'iempo medio de estancia de los clientes en el sistema

r Nmero medio de clientes que se atienden por t/rmino medioPb Probabilidad de que cualquier servidor est/ ocupado

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DE$ARRO%%O E&PERIMENTA%

0 continuacin se mostraran los datos de este traba1o, todo acompa2ado de su respectivoanlisis3

legimos un puesto de 1ugos del que uno de nosostros

Primero comen4amos con la tabla de datos que se obtuvieron al observar el traba1oreali4ado en el puesto de 1ugos3

)liente 2ora de arri-o'aprox(

2ora deatencin'aprox(

2ora de fin deser!icio 'aprox(

Irden 'aprox(

8 MCujer N:8@ G N:8? Ougo !erde ch. GCujer N:8@ N:8? N:8P Ougo ch.@ MCujer N:8N G N: Ougo ch.Q GCujer N:8N G N: Ougo ch.

? M2om-re N:8 G N:@ %icuado pltanoP M2om-re N:N G N:@ O. !erde ch.R GCujer N:N N:9 N:@ O. ch com-inadoN G2om-re N:9 N:@ N:@8 "$9 GCujer N:9 N:@8 N:@ O. !erde ch.8 MCujer N:QN G N:QN O. !erde ch.88 G2om-re N:QN N:QN N:?8 O. -eta-el puro8 MCujer N:?@ G N:?? 8 licuado8@ M2om-re N:?R G N:?N O. ch com-inado8Q MCujer N:?N G N:?N ' seg( O. ch8? MCujer N:?9 G 9: O. !erde ch8P M2om-re 9:8 G 9:Q O. !erde gr 8R MCujer 9:88 G 9:88 ' seg( O. ch8N MCujer 9:8? G 9:8R O. !erde gr 89 G2om-re 9:8R G 9:89 )octel frutas ch MCujer 9: G 9:Q O. ch8 G2om-re 9:@ 9:Q 9:N QS? O. ch G2om-re 9:P 9:N 9:@ %icuado@ M2om-re 9:@9 G 9:Q8 O. gr Q GCujer 9:Q8 G 9:Q O. !erde ch? GCujer 9:Q8 9:Q 9:QQ O. gr P G#areja 9:Q@ 9:QQ 9:QR O. !erdes chR GCujer 9:Q@ 9:QP 9:QN O. !erde chN G2om-re 9:QP 9:QR 9:Q9 O. ch9 G2om-re 9:Q9 G 9:?8 )octel frutas ch

@ MCujer 9:? 9:?Q O. !erdes ch@8 M#areja 9.?N G 8:@SQ 'sefueron a

comprar decomer(

O. gr H O !erdegr

@ G#areja 8:8 8: 8:Q O. gr H O. !erdech

@@ MCujer 8:? G 8:9 O. ch@Q G2om-re 8:P 8:N 8:8Q O. ch H O. gr

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@? G2om-re 8:9 8:8@ 8:8? O. gr @P G#areja 8:9 8:8Q 8:8P O. ch@R GCujer 8:8 G 8:8Q "$@N GCujer 8:8 8:8? 8:89 O. gr H O. ch@9 GCujer 8:8? 8:8P 8: O. gr H O. !erde

ch

Q GCujer 8:89 8: 8:@ O. !erdes chQ8 G#areja 8:89 8:8 8:Q O. gr

i se deseara reali4ar un anlisis mu e5haustivo se podr6an utili4ar datos como el se5odel comprador o incluso que productos se vend6an ms, sin embargo para este traba1onicamente nos interesan los tiempos en que cierto cliente ingresa a la 7ila de espera, eltiempo que empie4a a ser atendido el tiempo en que sale del sistema3

Nota8 9onde se menciona el se5o del cliente se colocaron los s6mbolos de !:" !;!, loscuales signi7ican8

: 8 l cliente es aislado, llega en un tiempo !considerable" despu/s del ltimo cliente3

; 8

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)0 &0(+ **& &0(+& )*) &0(++ )** )&(&& )*, )&(&+

* )&()& **+ )&()+ ,

),&minutos

)clientes

)1),& clientes por minuto&.,)+ clientes por minuto

elacin de tiempo deespera en la cola

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%uestras

Tiempo 2aprox.en se"3

) )*&* )*&, )*&

)*&+ )*& )*&/ &' &0 )*&

)& &)) &)* )*&), &

) ,&)+ &) )'&)/ ,&)' )*&)0 )*&*& )*&*) &** )*&*, )*&* &*+ &* &

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*/ )'&*' &*0 )*&,& )*&,) ,&

,* &,, *&, )*&,+ *&, ,&&,/ *&,' ,&&,0 && &) )*&

0&'*.,,,,,,,*.&&'),&&'

456*min1persona

'abla de relacin detiempo de servicio

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%uestras

Tiempo 2aproxen se"3

) )*&* &, )*&

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) ,&)+ &) )'&)/ ,&)' )*&)0 )*&*& )*&*) *&** )*&*, )*&* &*+ )*&* )'&*/ )*&*' )*&*0 )*&,& )*&,) ,&,* )*&,, *&, *&

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++&&0)./*.*,+//*,

76 *.*min1persona

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C'%CU%O$ ( AN'%I$I$

n base a las tablas anteriores se puede calcular el tiempo promedio que un cliente pasaen el sistema (+s)3

Ws=Wq+1

Ws=2minutos+1

2.2=2+.45=2.45minutos

n promedio, un cliente pasa ?3@A minutos en el sistema3 9onde ? minutos los pasa en lacola @A segundos recibiendo servicio3

Para calcular el nmero medio de clientes en la cola (&q) se utili4ar la e5presin8

Lq=Wq

Lq=0.315clientes

minutos2minutos=0.63 clientes

Bn nmero bastante bueno, signi7ica que los clientes irn llegado de una manera 7luida,sin llegar a amontonarse demasiado3

Para calcular cual es el nmero de clientes en el sistema (&s)8

Ls=Ws

Lq=0.315clientes

minutos2.45minutos=0.772clientes

n promedio ha 3DE clientes en el sistema3 sto quiere decir que el servidor puedeatender satis7actoriamente a un cliente mientras se prepara para atender al siguiente3

&a probabilidad que un cliente llegue tenga que esperar, suponiendo que estar comoprimer cliente en la cola8

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Pn=(1 )( )n

Pn=

(1

0.315

2.2

)(0.315

2.2

)

1

=.01227=12.27

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Pese a que el sistema puede atender a sus clientes de una manera e7ica4, lo cierto es queha algunos puntos que podr6an aumentar la e7icacia del mismo, ganando unos cuantossegundos, pero me1orndolo3

F) Colocar, al menos, un cartel in7ormativo sobre los distintos productos que o7rece,acompa2ado de su precio3 0ctualmente cuenta con varios carteles, pero se limitan

a dar in7ormacin mu bsica como8 !e venden 1ugos de naran1a, toron1a,mandarina, licuados cocteles de 7ruta" en ve4 de tener a la vista una especie detabla8

Productos

PrecioChico Mrande

ugo naran1a, mandarina,

toron1a

OE OF?

ugo combinado OF OFAugo verde OF OFH

&icuado (pltano, chocolate) OF?Coctel de 7rutas OF? O?

9esde cierta perspectiva, esto hace que los clientes, una ve4 que de1an la 7ila de esperapara ser atendidos por el servidor, si no estn 7amiliari4ados con los productos sedemoren en preguntar por precios o productos= aumentando el tiempo de espera de losdems clientes con el riesgo de perder a algunos de ellos3

?) Contratar a otro servidor3 9ebido a ciertas circunstancias slo ha un servidor en elsistema, provocando que cuando ha varias personas en la 7ila de espera, algunospedidos se atrasen3 'eniendo, al menos, otro servidor se aumentar6a la cantidad

de productos que pueden ser vendidos3 >ientras un servidor se encarga depreparar los 1ugos, el otro puede encargarse de preparar los cocteles o loslicuados (que requieren ms tiempo)3

a3 Bna ve4 teniendo a otro servidor, se podr6a pensar en invertir en otrae5primidora el/ctrica (actualmente slo tienen una)3 n palabras de ladue2a, ha veces que una sola persona (o varias en un per6odo corto detiempo) pide varios litros de 1ugo haciendo que satis7acer otros pedidos(como licuados, cocteles o 1ugos !especiali4ados") se haga ms lento3

I) stablecer un orden en la 7ila de espera3 Como es un negocio que no posee unlocal, la gente suele llegar no sabe si los dems clientes que a estaban ah6 ahicieron su pedido o no, iniciando un desorden (en cuanto a pedidos se re7iere)3

CONC%U$IONE$

Con bastante 7recuencia, las empresas (aunque no slo se limita a las grandescorporaciones) deben tomar decisiones con respecto a los productos o servicios queo7recen3 in embargo, muchas veces es casi imposible predecir con una buena e5actituden que momento llegarn los clientes que demandan sus servicios o que tiempo es el

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indicadonecesario para proveer ese servicio= pues incluso tener clientes esperando enuna 7ila se genera un costo que podr6a ser ms alto de lo que algunos imaginar6an3

&a importancia de la !'eor6a de colas" es enorme, pues permite optimi4ar de la me1ormanera posible tiempos de espera servicio= evitando p/rdidas de tiempo caos entreusuarios3 Q, como se mencion antes, no slo se en7oca en mbitos puramente laborales,

sino que puede ser aplicado incluso a nuestra vida diaria, permiti/ndonos aumentarnuestra productividad o la de nuestra 7amilia u hogar3