RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE DETERMINANTES

TEMA 3

Un determinante de una matriz cuadrada es un número real que se obtiene operando de forma determinada los elementos de dicha matriz

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales

Aplicaciones de los determinantes:

Cálculo del rango de una matriz

Cálculo de la inversa de una matriz

DETERMINANTES DE ORDEN 2:

51·23·13121

·· 211222112221

1211

aaaaaaaa

16491405243·1·30·1·24·7·55·1·14·3·20·7·3014371523

············

············

113223332112312213133221312312332211

333231

232221

131211

113223332112312213133221312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

DETERMINANTES DE ORDEN 3:

1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta:

41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211

111011

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1210111

111

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o columna de ceros, el determinante es cero.

0000111

111

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

3. Si se permutan dos filas o columnas de una matriz cuadrada, el determinante cambia de signo:

4111211

011

41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211

111011

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

4. Si en una matriz cuadrada , hay dos filas o columnas iguales, su determinante vale cero.

0111111011

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

5. Si multiplicamos por el mismo número todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada, el determinante queda multiplicado por ese número:

20211

555011

41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1211

111011

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales, su determinante vale cero

0111022011

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

7.

333231

232221

131211

333231

232221

131211

33323231

23222221

13121211

abaabaaba

aaaaaaaaa

abaaabaaabaa

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

8. Si a una fila o columna de una matriz cuadrada, le sumamos una combinación lineal de otras filas o columnas paralelas, su determinante no varía

2133 ·5 ,4157

111011

41·1·12·1·11·1·01·1·10·1·12·1·1·211

111011

FFFF

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

9.Si una matriz cuadrada tiene una fila (columna) que es combinación linela de otras paralelas, su determinante vale cero

213 ·2 : 3 fila la ,0110112011

FFF

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

10.

BABA ··

EJERCICIO 2 , PÁGINA 79

2754321532

·1

:a elemento del Adjunto

2754321532

: a de erariocomplementMenor 7564321153126420

2112

12

12

33

A

A

EJERCICIO 2 , PÁGINA 79

108764512620

·1

:a elemento del Adjunto

108764512620

: a de erariocomplementMenor 7564321153126420

3333

33

33

33

A

A

16311512620

·1

:a elemento del Adjunto

16311512620

: a de erariocomplementMenor 7564321153126420

3443

43

43

43

A

A

EJERCICIO 2 , PÁGINA 79

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.

ELEGIMOS CUALQUIER FILA O COLUMNA, GENERALMENTE LA QUE TIENE MÁS CEROS O NÚMEROS MÁS SENCILLOS Y DESPUÉS EL CÁLCULO ES COMO SE MUESTRA:

Fotos : Gabriel de Castro Manzano

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.

EJEMPLO :

1165362917

·7)821362917

·1·(18211165917

0)821

1165362

·1·(4

82711161536029147

·7·1·0·4

82711161536029147

42322212

AAAA

“DESARROLLO POR ADJUNTOS DE UNA LÍNEA”

DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA. CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A TRES.

Cuantos más ceros tenga la línea elegida, más fácil será el cálculo

¡Si no hay ceros , los haremos utilizando la propiedad nº 8!

RANGO DE UNA MATRIZ A PARTIR DE SUS MENORES

MÁXIMO ORDEN DE SUS MENORES NO NULOS

RANGO DE UNA MATRIZ : NÚMERO DE FILAS(COLUMNAS)LINEALMENTE INDEPENDIENTES

Nº DE FILAS LINEALMENTE INDEPENDIENTES

RANGO DE UNA MATRIZ

654113012133215021031

EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo

55031

F1 y F2 son l.i

2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)

0213

150031

3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)

0113

250131

0

013350231

04113150031

05113250131

06113350231

F3 depende linealmente de F1 y F2

F4 depende linealmente de F1 y F2

654113012133215021031

A

Ran (A)=2

La matriz A tiene solo dos filas linealmente independientes por tanto:

2201832773151012

D

EJEMPLO: CALCULAR EL RANGO DE 1º Miro si la F1 y la F2 son linealmente independientes :Busco un menor de orden dos no nulo

31512

F1 y F2 son l.i

2º Miro si la F3 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo(utilizando las 3 filas : F1, F2 y F3)

0327315

012

3º Miro si la F4 depende linealmente de la F1 y F2 :Busco un menor de orden tres no nulo (utilizando las 3 filas : F1, F2 y F4)

0827715112

F3 depende

linealmente de F1 y F2.

0201315

012 0

201715112

F4 no depende

linealmente de F1 y F2

TEOREMA DE ROUCHE

El sistema será compatible si y solo si

)()( 'AranAran Si el rango es menor que el nº de incógnitas : Infinitas soluciones ; Sistema Compatible Indeterminado

Si el rango es igual que el nº de incógnitas : Solución única ; Sistema Compatible determinado

DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

111

azyxzayxzyax

¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?

TEOREMA DE ROUCHE

El sistema será compatible si y solo si

)()( 'AranAran

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes

21231111

1111

233 aaaaaaaaa

aa

21

021

con empiezadiscusión la que Así .3)(0

2

aa

aa

AranASi

1)()(

111111111111

y 111111111

'

'

AranAran

AA

¡Empezamos la discusión!

Si a=1,

SISTEMA COMPATIBLE INDETERMINADO, INFINITAS SOLUCIONES.

111

azyxzayxzyax

Si a = -2,

02-1

12- ejemplopor que ya ,2)(

121111211112

y 211

121112

'

Aran

AA

3)(

09122114111121112

?)(¿

'

'

Aran

Aran

)()( 'AranAran

111

azyxzayxzyax

)()( 'AranAran

SISTEMA INCOMPATIBLE , SIN SOLUCIÓN

Si a = -2,

Sistema compatible determinado, solución única. Lo resolvemos por CRAMER

2y 1 aasi

3)()( ' AranAran

DISCUSIÓN DE SISTEMAS MEDIANTE DETERMINANTES

757143

157

zxmzyxzy

¿Para qué valores del parámetro “ a” este sistema tiene o no tiene solución?

TEOREMA DE ROUCHE

El sistema será compatible si y solo si

)()( 'AranAran

Estudiamos el rango de la matriz de los coeficientes

24549507

43570

mm

5024549

con empiezadiscusión la que Así .3)(0

mm

AranASi

04370

,2)(

750715437570

y 507543570

'

Aran

AA

¡Empezamos la discusión!

Si m=5,

757143

157

zxmzyxzy

¿Ran(A’)?

0707143770

¿Ran(A’)?

Ran(A’)=2

Si m =5, Ran(A)=2, Ran(A’)=2

Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones

750715437570

'A

Si m ≠5, Ran(A)=3, Ran(A’)=3

Sistema compatible determinado, solución única

En este caso, si nos piden resolverlo, lo haríamos por Cramer dejándolo en función de m

332313

322212

3121111

1

333231

232221

131211

1

) ( entonces

AAAAAAAAA

AA

AadjuntamatrizA

aaaaaaaaa

Atraspuesta

CÁLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ

EJEMPLO:

:que así inversa, tiene0, A de tedeterminan como

11110111101011

; 111101011

AA

10111

21111

11101

11101

11101

01111

11001

11101

11110

332313

322212

312111

AAA

AAA

AAA

111101011

A

121110111

121110111

A Entonces

11

-1

AA