Sabiendo que p = (a, a+2 ) pertenece a la recta de ecuación 2x + 3y - 1 = 0, Calcular las coordenadas de dicho punto.

¿Cuál es la posición de la recta R de ecuación 6x + 4y = 0 en relación con recta S de ecuación 9x + 6y – 1 = 0?

Problema: calcular la distancia entre los puntos A(2, 3) y B (5, 7).

Tenemos el siguiente gráfico:

2 5

3 -

7 -

3

4

A

B

P

Y

X

Según este gráfico podemos observar que el segmento corresponde a la hipotenusa del triángulo APB, siendo (5,3) las coordenadas del punto P. Aplicando Pitágoras tendremos:

AB

5 AB

25AB

43AB

PBAPAB

2

222

222

/

Respuesta: la distancia entre los puntos A y B es 5 unidades.

En general, para calcular la distancia entre dos puntos del plano cartesiano P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2), utilizamos, igual que en el problema anterior, el teorema de Pitágoras:

x1 x2

y1 -

y2 -

x2-x1

y2-y1 P1

P2

Q

Y

X

d

En ∆P1QP2, rectángulo en Q:

212

212

212

212

2

22

21

221

)y(y)x-(xd

)y(y)x-(xd

)(QPQ)(P)P(P

“Fórmula para la distancia entre dos puntos”

“Fórmula para la distancia entre dos puntos”

Ejercicio: Demuestre que el triángulo con vértices en los puntos A(2, 8), B(0, 3) y C(7, 6) es isósceles.

Determinemos las coordenadas del punto medio del trazo de extremos en P1(X1, Y1) y P2(X2, Y2).

Llamaremos M al punto buscado y supongamos que sus coordenadas son (x, y).

Si observamos la figura podremos darnos cuenta de que los triángulos P1PM y MQP2 son congruentes:

x1 x2

y1 -

y2 -

x-x1

x-x2 P1

P2

Q

Y

X x

P

M y -

Entonces, se verifica que:

x – x1 = x – x2

Resolviendo la ecuación anterior para la incógnita x:

2

2

21

21

xxx

xxx

Análogamente,

Entonces

221 yy

y

2

,2

2121 yyxxM

“Coordenadas del punto medio”“Coordenadas del punto medio”

Ejercicio: Demuestre que el cuadrilátero con vértices en los puntos A(1, 2), B(4, 4), C(5, 9) y D(2, 7) es un paralelógramo.