Sec 2.3

Funciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas

Una ecuación cuadrática es una ecuación que se

puede escribir de la forma

ax2 + bx + c = 0, a 0,

donde a, b, y c son números reales.

Una ecuación cuadrática escrita de esta forma se

dice que está en la forma general.

Funciones cuadráticas

Una función , f , es una función cuadrática si

f(x) = ax2 + bx + c ,

donde a , b , y c son números reales y a ≠ 0.

La gráfica de una función cuadrática, f , es una parábola.

f(0) es el int-y de la gráfica de f.

Noten: f(0) = c, o sea (0,c) es el int-y.

Si b = 0 y c ≠ 0 , entonces f(x) = ax2 + c .

La gráfica es una parábola con intercepto en y en (0, c)

.

Si b = 0 y c = 0 , entonces f(x) = ax2 .

La gráfica es una parábola con con intercepto en y en

(0, 0) .

Funciones cuadráticas

Identificar a, b, c y el int-y de las siguientes funciones cuadráticas.

f(x) = 2x2 + 3x + 10

a = 2 b=3 c=10

f(0) = 10

g(x) = 4x2 – 5x + 9

a = 4 b=-5 c=9

g(0) = 9

h(x) = 7x – 5x2 – 30

a = -5 b=7 c=-30

h(0) =-30

p(w) =1.34w – 21.054 – 0.5w2

a = -0.5 b= 1.34 c= -21.054

p(0) = -21.054

Funciones cuadráticas

Los ceros de una función cuadrática

f (x) = ax2 + bx + c, a 0,

1. son los interceptos en x de la gráfica de f .

2. son soluciones de la ecuación cuadrática

ax2 + bx + c = 0.

3. pueden ser valores reales o imaginarios.

4. pueden ser 2, 1 ó 0 (en cantidad)

Funciones cuadráticas

Gráficas de funciones cuadráticas:

Dos interceptos en x

(la función tiene dos ceros)

Un intercepto en x

(la función tiene un cero)

NO hay intercepto en x

(la función NO tiene

ceros reales)

Revisión de factorización de ecuaciones

cuadráticas

Algunas ecuaciones cuadráticas se pueden resuelven mediante la factorización, un método que expresa una ecuación como el producto de sus factores.

Ejemplo: Factorizar 3x2 – 9x

Se factoriza removiendo el factor común mayor de ambos términos:

3x2 y 9x tienen un factor común ( o máximo común divisor) de 3x.

Factorizamos 3x2 – 9x = 3x( - )

3x(x - )

3x(x - 3)

Revisión de factorización

Factores que sumen 19

Factorizar: 6x2 + 19x + 10 Modelo: ax2 + bx + c (a = 6 b = 19 c = 10)

(a)(c) = (6)(10) = 60

Hallamos los factores de 60

Escribimos la ecuación original usando 4x y 15x

6x2 + 19x + 10 = (6x2 + 4x) + (15x + 10)

2x (3x + 2) + 5(3x + 2)

(2x + 5) (3x + 2)

6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2)

(1)(60) (3)(20) (4)(15) (2)(30) (5)(12) (6)(10)

1+60=61 3+ 20= 23 5+12=17 2+30=32 4+15= 19

6+10= 16

Revisión de factorización

Factores que sumen 5

Factorizar: 2x2 + 5x – 25 Modelo: ax2 + bx + c (a = 2 b = 5 c = -25)

(a)(c) = (2)(-25) = -50

Hallamos los factores de - 50

Escribimos la ecuación original

2x2 + 5x – 25 = (2x2 - 5x) + (10x - 25)

x (2x - 5) + 5 (2x - 5)

(x + 5) (2x - 5)

2x2 +5x – 25 = (x + 5) (2x - 5)

(1)(-50) (2)(-25) (-2)(25) (-1)(50) (5)(-10) (-5)(10)

1+-50=-49 2 + -25= -23 5+ -10= -5 -1+50=49 -2 + 25= 23

-5+ 10= 5

Resolver ecuaciones cuadráticas

Para resolver una ecuación cuadrático necesitamos recordar

El principio de productos que dan cero:

Si ab = 0 , entonces a = 0 o b = 0,

Si a = 0 o b = 0, entonces ab = 0.

Ejemplo: Resolver 6x2 + 19x + 10 = 0

Ya vimos que 6x2 + 19x + 10 = (2x + 5) (3x + 2).

Aplicando el principio

6x2 + 19x + 10 = 0

(2x + 5) (3x + 2)=0

2x + 5 =0 3x + 2 = 0

x =

2

5

3

2x =

Ejemplo

Solución

Resolver 2x2 x = 3.

2x2 x 3

2x2 x 3 0

x 1 2x 3 0

x 1 0 or 2x 3 0

x 1 or 2x 3

x 1 or x 3

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Principios para resolver ecuaciones

El Principio de la raiz cuadrada

Si x2 = k, entonces

Ejemplo

Resolver 2x2 10 = 0.

Solución

2x2 10 0

2x2 10

x2 5

x 5 or x 5

5 .Las soluciones: y 5

La Fórmula Cuadrática

Las soluciones de ax2 + bx + c = 0, a 0, son dadas

por

Esta fórmula se puede usar para resolver

CUALQUIER ecuación cuadrática.

x b b2 4ac

2a.

Ejemplo

Solución:

3x2 + 2x 7 = 0 a = 3, b = 2, c = 7

Resolver 3x2 + 2x = 7. Aproximar la solución a tres lugares decimales.

Las soluciones aproximadas son –1.897 y 1.230.

x 2 22 4 3 7

2 3 2 4 84

62 88

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Discriminante

El valor b2 4ac, se conoce como el discriminante.

Para ax2 + bx + c = 0, donde a, b, and c son números:

b2 4ac = 0 Una solución real;

b2 4ac > 0 Dos soluciones reales diferentes;

b2 4ac < 0 NO tiene soluciones reales.

Discriminante

Determinar el número de solucones reales en cada

caso:

1) f(x) = x² − 2x + 1

2) g(x) = 3x2 + 4x – 9

3) h(x) = ½ x2 +9x – 4