Post on 30-Sep-2018
La ley de cosenos
• La ley de cosenos se puede aplicar
para encontrar las partes restantes de
un triángulo oblicuo(resolver el
triángulo) dado cualquiera de los
siguientes:
dos lados y el ángulo entre ellos
tres lados
Comentarios • Si A = 90 ° en la fórmula,
entonces cos A = 0 y la ley de los cosenos se reduce a a2 + b2 = c2.
• Dado dos lados de un triángulo y el ángulo incluido, podemos usar la ley de los cosenos para encontrar el tercer lado.
• Luego, se puede utilizar la ley de los senos para terminar de resolver el triángulo.
• Cuando un ángulo se encuentra por medio de la ley de los cosenos, no hay ningún caso ambiguo, ya que siempre se obtiene un ángulo único entre 0 ° y 180 °.
Ejemplo • Dos lados de un triángulo miden 6 cm y 10 cm, y el
ángulo que forman es de 120°. Resuelva el
triángulo.
• Solución:
• Supongamos que a = 6, b = 10, C =120° , y el lado
desconocido es c.
• Usaremos la ley de cosenos
Continuación del ejemplo • Para hallar ángulo B, usaremos la ley de los senos
11/1/2012 6
sin(𝐶)
c=sin(𝐵)
b
sin(𝐵) =𝑏sin(𝐶)
𝑐
sin(𝐵) =10sin(120°)
14
sin(𝐵) =5 3
14≈ 0.61
𝐵 = sin−15 3
14 ≈ 38.2°
Para hallar A, usamos la propiedad A + B + C = 180. Entonces, A = 180 – (120 + 38.2) A ≈ 21.8°
Ejemplo • Usando la ilustración, con los elementos conocidos
del triángulo ABC, hallar la medida del ángulo B.
Solución:
En este caso debemos trabajar con la ley del coseno
y despejar para el ángulo, es decir:
𝑐𝑜𝑠𝐵 =
𝑎2 + 𝑐2 − 𝑏2
2𝑎𝑐
𝑐𝑜𝑠𝐵 =182 + 92 − 252
2(18)(9)
𝑐𝑜𝑠𝐵 = −55
81
𝐵 = cos−1 −55
81 ≈ 132.8°
Area de un triángulo • Las leyes del seno y del coseno se pueden utilizar para derivar
fórmulas para calcular el área del triángulo. Dado el triángulo
nombrado como se muestra:
1. El área de un triángulo es la mitad del producto
del largo de dos lados cualesquiera y el seno del
ángulo incluido entre ellos.
𝐴𝑟𝑒𝑎 = 1
2b ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐴 =
1
2a ∙ 𝑏 ∙ sin 𝐶 =
1
2a ∙ 𝑐 ∙ sin 𝐵
2. Fórmula de Herón
𝐴𝑟𝑒𝑎 = 𝑠 ∙ 𝑠 − 𝑎 𝑠 − 𝑏 𝑠 − 𝑐
donde 𝑠 =1
2𝑎 + 𝑏 + 𝑐
s es llamado el semi-perímetro
Ejemplo • Aproximar el área del triángulo ABC si
a = 2.20 cm, b = 1.30 cm, and
C = 43.2°.
• Solución
Ejemplo Un campo triangular tiene lados con longitudes de
125 m, 160 m , y 225 m.
Calcule su área con la fórmula de Herón.
Solución:
Encontrar primero el semi-perímetro del campo y los
valores de s – a, s – b, and s – c .