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Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
1xCscxCot
1xCotxscCZn ; nRx ; 1xCotxCsc
1xSecxTan
1xTanxSecZn ;
21)(2nRx ; 1xTanxSec
xSen1xCos
xCos1xSenRx ; 1xCosxSen
22
2222
22
2222
22
2222
UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA
CEPUNS Ciclo 2013-III
TRIGONOMETRÍA “Identidades Trigonométricas del
ángulo doble y mitad” Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V.
Objetivos:
Discrimar información relevante, sintetizar y construir conocimientos para resolver problemas con Identidades trigonométricas.
Aplicar técnicas de comprobación en diversas identidades trigonométricas.
IDENTIDADES TRIGONOMETRICAS DEL
ÁNGULO DOBLE
También:
Ejemplos:
Sen80° = 2Sen40°Cos40°
2Sen3xCos3x = Sen6x
Cos72° = Cos236° – Sen236°
Cos10x = 2Cos25x – 1
Cos5x = 1 – 2Sen2
2
x5
2Cos2
8
– 1 = Cos
4
1 – 2Sen225° = Cos50°
30Tg
15Tg1
15Tg2
2
Triángulo del Ángulo Doble:
Así tenemos:
Ejemplos:
Sen18° =
9Tg1
9Tg2
2
Cos8x =
x4Tg1
x4Tg1
2
2
Fórmulas de Degradación:
sen2 = 2sen cos
sen2 =
sen40º =
sen8 =
cos = cos - sen 2 2
2
cos2 =
cos40º =
cos4 =
tan2 =
tan2 = __________________
tan2 =
__________________
2tan
1 - tan
2
xSen21x2Cos 2
1xCos2x2Cos 2
2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan22Sen
Tan22
Tan1
2
Tan1
2
2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan22Sen
Tan22
Tan1
2
Tan1
2
2
2
2
Tan1
Tan12Cos
Tan1
Tan22Sen
Tan22
Tan1
2
Tan1
2
x4Cosx2Cos43xCos8x2Cos1xCos2
x4Cosx2Cos43xSen8x2Cos1xSen2
42
42
x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222
x2Csc2TanxCotx
x2Cot2TanxCotx x2Csc4xCscxSec222
x2Csc2TanxCotx
1x2SecTanx
x2Tan1x2SecxTanx2Tan
Semana Nº 9
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
cos1
sen
cos1
sen
4Cos8
3
8
5CosSen
4Cos4
1
4
3CosSen
66
44
Ejemplos:
2Sen43x = 1 – Cos 6x
2Cos218
= 1 + Cos9
1 – Cos60° = 2Sen230°
1 + Cos74° = 2Cos37° Cot15° + Tg15° = 2Csc30° Cot3x – Tg3x = 2Cot6x
Sen415° + Cos
415° =
4
1
4
3 Cos60°
Sen6
8
+ Cos6
8
= 2
Cos8
3
8
5
IDENTIDADES DEL ÁNGULO MITAD
NOTA: el signo (±) se elige según el
cuadrante del arco 2
y de la R.T. a la
que afecta.
AUXILIARES
radicalesn
senn
""
2...2222
21
radicalesn
n
""
2...2222
cos21
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Halle “x”
A) 17
15
B) 8
15 C) 1
15 D) 4
15
E) 5
18
RESOLUCIÒN
2
2tgtg2
1 tg
2
12
4tg2
11
4
1
82tg2 tg215 15
16
8 x 1 32x 1
15 4 15
; 17x
15
RPTA.: A
2. Si: 94
tg
Halle E = 2ctg
A) - 9
40 B) 5
18 C) 1
40 D) 11
40 E) 1
25
RESOLUCIÒN
tg tgx 9
4
; x x4 4
M ctg2 ctg 2 x
4
M ctg 2x tg2x
2
2 2
2 92tgx 18M
1 tg x 1 811 9
18M
80
9M
40
RPTA.: A
3. Reduce:
2x xE ctg 2cos ctgx
2 2
A) 1 B) cos x C) sen x D) tg xE) ctg x RESOLUCIÒN
2x xE ctg 2cos ctgx
2 2
E csc x ctgx 1 cosx ctgx
E csc x ctgx ctgx cosxctgx
21 cosx 1 cos
E cosxsenx senx senx
1x2SecTanx
x2Tan1x2SecxTanx2Tan
1 cossen
2 2
1 coscos
2 2
1 costg
2 1 cos
tg csc ctg2
ctg csc ctg2
1
4
x
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
2sen x
Esenx
E senx RPTA.: C
4. Reduce: x
tg ctgx2
Mx
ctgx ctg2
A) 1 B) -1 C) 0 D) ½ E) 1/3 RESOLUCIÒN
x
ctgx tg2
Mx
ctgx ctg2
ctgx csc x ctgxM
ctgx csc x ctgx
ctgx csc x ctgx csc xM
ctgx csc x ctgx csc x
M = 1 RPTA.: A
Problemas DE CLASE
1) Si tg +Ctg= 9
40 , entonces el valor de
sen2, es;
a) 9/10 b) 9/20 c) 19/25 d) 11/13 e) 19/20
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2009 - III
2) Si: , entonces el máximo valor de:
; es
a) -2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
3) Del grafico mostrado, Hallar “x”
a) X = 6 b) X = 8 c) x = 10 d) x = 12 e) x = 14
4) Si:
2
2.2.4
Csc
SecCtgSenK donde:
28
3
;
se afirma que:
a) K > 0 b) K = Sen2 c) K = Sen4
d) K = 0 e) K = Cos2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
5) Si: 2
2
2
2 1
4;
1
4 n
mCtg
n
mTg
: entonces
2
44
nnm es igual a:
a)
2
sen
b)
2
Tg
c)
2
Ctg
d)
2
Sec
e)
2
Csc
6) Si: Tg2 +ctg2= 66; y 24
; entonces, el
valor de Ctg2es:
a) 2 b) 3 c) -3 d) -4 e) 5
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
7) Si: x = 11º25`; entonces el valor de E, tal que
xxxx
senE 2cos.cos.2
cos.2
.8, es
a) 2
2 b) 1 c) 2 d) 2 e) 2 2
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 - III
8) Si: 2sen2x – 3cos2x = 3 ; calcular el valor de
0;2sec52csc62 CosxxxP
A) -13 B) 39 C) 13 D) -39 E)1
9) Si: a = sen – cos , b= cos2 ; entonces, se puede afirmar que:
A) 02 224 baa B) 03 224 baa
C) 0224 baa D) 0224 baa
E) 022 224 baa
10) Si: x ε IIIC tal que Csc 2 2x = 1.75 ,
Calcular Tg7x + Ctg7x
A) 737 B) 742 C) 763 D) 791 E) 794
11) Si:3
1Senx ; Calcular
24
2 xTg
A) ½ B) ¼ C) 1/6 D) 1/9 E) 4/9
12) Determinar la variación numérica de:
CtgCosCosCosCtgE .2
.2.2
2
0
2
ctgctgE
Lic. Edgar Fernández C. Rodolfo Carrillo V. Trigonometría.
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Centro Preuniversitario de la UNS S-09 Ingreso Directo
A)
16
1;
16
1 B)
8
1;
8
1
C)
4
1;
4
1
D)
2
1;
2
1 E) 1;1
13) Si:
31
96 ;
Calcular
16842
CscCscCscCscCsc
A)0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
14) Si: , entonces
es igual a:
a) b) c)
d) e)
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
15) Si: tg ) = 2 y tg() = 3, calcular: 2cos27 senK
a) 1 b) 0 c) -1 d) 2 e) -2
3º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2011 III
16) Si 8
,0
x , al reducir:
xCos4222
2
,
se obtiene:
a) Senx b) Cosx c) Secx d) Cscx e) Tgx
2º EXAMEN SUMATIVO – UNS 2012 I
17) Si: x, y ε R+ y x + y = 1, determine el máximo
valor de M si Myx
11
11
Sugerencia: utilice identidades del ángulo doble
A)6 B) 8 C) 9 D) 12 E) 18
18) Simplificar la expresión:
(
)
( )
a) sen2x b) sen4x c) csc2x
d) e) csc4x
19) Calcular el valor de k que satisface la igualdad:
a) 2 b) 4 c) 6
d) 1/2 e) ¼
20) Si: (
) (
)
Calcular:
(
)
a) k b) 1/k c) 2/k
d) e)
21) Del grafico mostrado , calcular el valor de:
yx2x
a) 1 b) 2 c) 3
d) 4 e) 5
22) Si: ( )( )( ) ( ) ( ) Calcular:
a) 0 b) 1 c) 2
d) 3 e) 4
2,sec2 nntgxx
3
33
cos
cos
xsenx
xxsen
2
3
nn
2
1
nn
2
1
nn
2
3
nn
2
2
nn