Separación Ciega de Fuentes:Caso indeterminado

Luis Vielva

�

Ainhoa Subinas, Eva Navas, Inmaculada Hernaez

�

,

Pau Bofill�

Ingenierıa de Comunicaciones, Universidad de Cantabria

�

Electronica y Telecomunicacion, Universidad del Paıs Vasco

�

Arquitectura de Computadores, Universidad Politecnica de Cataluna

�

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.1/11

Esquema de la presentación

Planteamiento del problema general.

Separación ciega de fuentes.Tantas medidas como fuentes.Caso indeterminado.

Interpretación geométrica.Estimación de la matriz de mezclas.Criterios de inversión.Resultados obtenidos.

Conclusiones y líneas futuras.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.2/11

Planteamiento del problema general

� � ��� � �

� fuentes desconocidas: � �

,

atraviesan un sistema desconocido:��� � �

.

Si se dispone de � medidas:��� � � � � � �

,

¿cómo recuperar las fuentes?

Si existe el sistema inverso, ;

si no, .

Deconvolución, bss, modelos con retraso, . . .

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.3/11

Planteamiento del problema general

� � ��� � �

� fuentes desconocidas: � �

,

atraviesan un sistema desconocido:��� � �

.

Si se dispone de � medidas:��� � � � � � �

,

¿cómo recuperar las fuentes?

Si existe el sistema inverso, ;

si no, .

Deconvolución, bss, modelos con retraso, . . .

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.3/11

Planteamiento del problema general

� � ��� � � ��� � ��� � � � � �

� fuentes desconocidas: � �

,

atraviesan un sistema desconocido:��� � �

.

Si se dispone de � medidas:��� � � � � � �

,

¿cómo recuperar las fuentes?

Si existe el sistema inverso, �� � � � � � �

;

si no, .

Deconvolución, bss, modelos con retraso, . . .

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.3/11

Planteamiento del problema general

� � ��� � � ��� � ��� � � � � �

� fuentes desconocidas: � �

,

atraviesan un sistema desconocido:��� � �

.

Si se dispone de � medidas:��� � � � � � �

,

¿cómo recuperar las fuentes?

Si existe el sistema inverso, �� � � � � � �

;

si no,

� �� �� � �

.

Deconvolución, bss, modelos con retraso, . . .

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.3/11

Planteamiento del problema general

� � ��� � � ��� � ��� � � � � �

� fuentes desconocidas: � �

,

atraviesan un sistema desconocido:��� � �

.

Si se dispone de � medidas:��� � � � � � �

,

¿cómo recuperar las fuentes?

Si existe el sistema inverso, �� � � � � � �

;

si no,

� �� �� � �

.

Deconvolución, bss, modelos con retraso, . . .

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.3/11

Separación ciega de fuentes

Mezcla lineal instantánea sin ruido.

Modelo:

��� � �, � � � �

.

� fuentes se combinan linealmente en � medidas.

Separación ciega: no se conoce�

.

Solución:Estimación de la matriz de mezclas .Si , es cuadrada y .Si , . Pseudo inversa .Si , indeterminado, ¿qué podemos hacer?

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.4/11

Separación ciega de fuentes

Mezcla lineal instantánea sin ruido.

Modelo:

��� � �, � � � �

.

� fuentes se combinan linealmente en � medidas.

Separación ciega: no se conoce�

.

Solución:

Estimación de la matriz de mezclas .Si , es cuadrada y .Si , . Pseudo inversa .Si , indeterminado, ¿qué podemos hacer?

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.4/11

Separación ciega de fuentes

Mezcla lineal instantánea sin ruido.

Modelo:

��� � �, � � � �

.

� fuentes se combinan linealmente en � medidas.

Separación ciega: no se conoce�

.

Solución:Estimación de la matriz de mezclas

�

.

Si , es cuadrada y .Si , . Pseudo inversa .Si , indeterminado, ¿qué podemos hacer?

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.4/11

Separación ciega de fuentes

Mezcla lineal instantánea sin ruido.

Modelo:

��� � �, � � � �

.

� fuentes se combinan linealmente en � medidas.

Separación ciega: no se conoce�

.

Solución:Estimación de la matriz de mezclas

�

.Si �� �, �

es cuadrada y �� ��� � �

.

Si , . Pseudo inversa .Si , indeterminado, ¿qué podemos hacer?

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.4/11

Separación ciega de fuentes

Mezcla lineal instantánea sin ruido.

Modelo:

��� � �, � � � �

.

� fuentes se combinan linealmente en � medidas.

Separación ciega: no se conoce�

.

Solución:Estimación de la matriz de mezclas

�

.Si �� �, �

es cuadrada y �� ��� � �

.Si � � �, � �� � � �

. Pseudo inversa

� � � � � � � �

.

Si , indeterminado, ¿qué podemos hacer?

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.4/11

Separación ciega de fuentes

Mezcla lineal instantánea sin ruido.

Modelo:

��� � �, � � � �

.

� fuentes se combinan linealmente en � medidas.

Separación ciega: no se conoce�

.

Solución:Estimación de la matriz de mezclas

�

.Si �� �, �

es cuadrada y �� ��� � �

.Si � � �, � �� � � �

. Pseudo inversa

� � � � � � � �

.Si � � �, indeterminado, ¿qué podemos hacer?

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.4/11

Tantas medidas como fuentes

�� �� �

.

�: dos distribuciones uniformes independientes.

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x 2

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

b1

b 2

θ

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.5/11

Tantas medidas como fuentes

�� �� �

.

�: dos distribuciones uniformes independientes.

�� � ���

� ����

� � �� � � �

� � � �� �

� �� �

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x 2

�

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

b1

b 2

θ

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.5/11

Tantas medidas como fuentes

�� �� �

.

�: dos distribuciones uniformes independientes.

�� � ���

� ����

� � �� � � �

� � � �� �

� �� �

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x 2

�

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

b1

b 2

θ

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.5/11

Tantas medidas como fuentes

�� �� �

.

�: dos distribuciones uniformes independientes.

�� � ���

� ����

� � �� � � �

� � � �� �

� �� �

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

x1

x 2

��� �

−0.5 0 0.5−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

b1

b 2

θ

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.5/11

Caso indeterminado

Menos medidas que fuentes: � � �.

Infinitas soluciones: no es suficiente con conocer .

Pseudo inversa: solución con norma mínima.

Otros criterios de selección de solución.HeurísticosGeométricosAnalíticos

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.6/11

Caso indeterminado

Menos medidas que fuentes: � � �.Infinitas soluciones: no es suficiente con conocer

�

.

Pseudo inversa: solución con norma mínima.

Otros criterios de selección de solución.HeurísticosGeométricosAnalíticos

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.6/11

Caso indeterminado

Menos medidas que fuentes: � � �.Infinitas soluciones: no es suficiente con conocer

�

.

Pseudo inversa: solución con norma� � mínima.

Otros criterios de selección de solución.HeurísticosGeométricosAnalíticos

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.6/11

Caso indeterminado

Menos medidas que fuentes: � � �.Infinitas soluciones: no es suficiente con conocer

�

.

Pseudo inversa: solución con norma� � mínima.

Otros criterios de selección de solución.HeurísticosGeométricosAnalíticos

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.6/11

Interpretación geométrica

�� �

fuentes y �� �

medidas.

Si �� es la columna

�

-ésima de

�

,

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

.

Fuentes poco densas.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.7/11

Interpretación geométrica

�� �

fuentes y �� �

medidas.

Si �� es la columna

�

-ésima de

�

,

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

.

Fuentes poco densas.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.7/11

Interpretación geométrica

�� �

fuentes y �� �

medidas.

Si �� es la columna

�

-ésima de

�

,

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

�� � � � �� � � � � � � � �� � �� �� .

Fuentes poco densas.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.7/11

Interpretación geométrica

�� �

fuentes y �� �

medidas.

Si �� es la columna

�

-ésima de

�

,

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

�� � � � �� � � � � � � � �� � �� �� .

Fuentes poco densas.URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.7/11

Estimación de la matriz de mezclas

Factores de densidad

���

�

y

���

�

.

−5 0 5−4

−2

0

2

4

(a)0

0

0.5

1

(b) π

−2 0 2 4

−2

0

2

(c)0

0

5

10

15

20

(d) π

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.8/11

Criterios de inversión

�� � � � �� � � � � � � � �� � �� �� .

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

a1

a2

a3

b1

b 2

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.9/11

Criterios de inversión

�� � � � �� � � � � � � � �� � �� �� .

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

a1

a2

a3

b1

b 2

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.9/11

Criterios de inversión

�� � � � �� � � � � � � � �� � �� �� .

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

a1

a2

a3

b1

b 2

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

a1

a2

a3

b1

b 2

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.9/11

Criterios de inversión

�� � � � �� � � � � � � � �� � �� �� .

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

a1

a2

a3

b1

b 2

−4 −2 0 2 4

−3

−2

−1

0

1

2

3

a1

a2

a3

b1

b 2

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.9/11

Resultados obtenidos

Pseudo inversa.

Criterios 1D, �-D, y �-D � �

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−10

−5

0

5

10

15

20

25

30

35

40

Tasa de ceros de las fuentes

SN

R (

dB)

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.10/11

Conclusiones y líneas futuras

Tres fases para separar fuentes cuando � � �:

Representación en un dominio apropiado.Estimación de la matriz de mezclas.Criterio de selección de la solución.

Buenos resultados:Función de la densidad de las señales.Representación en dominios poco densos.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.11/11

Conclusiones y líneas futuras

Tres fases para separar fuentes cuando � � �:Representación en un dominio apropiado.Estimación de la matriz de mezclas.Criterio de selección de la solución.

Buenos resultados:Función de la densidad de las señales.Representación en dominios poco densos.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.11/11

Conclusiones y líneas futuras

Tres fases para separar fuentes cuando � � �:Representación en un dominio apropiado.Estimación de la matriz de mezclas.Criterio de selección de la solución.

Buenos resultados:Función de la densidad de las señales.Representación en dominios poco densos.

URSI 2001. Separacion Ciega de Fuentes: Caso Indeterminado – p.11/11