Bioestadística

Sesión11:ModelosdeprobabilidadJoséAurelioPinaRomero

Ja.pina@ua.esBioestadística– GradoEnfermeríaUA-DepartamentodeEnfermería

Variablealeatoria•  Elresultadodeunexperimentoaleatoriopuedeserdescritoenocasionescomounacantidadnumérica.

•  Enestoscasosaparecelanocióndevariablealeatoria•  Funciónqueasignaacadasucesounnúmero.

•  Lasvariablesaleatoriaspuedenserdiscretasocontinuas(comoenelprimertemadelcurso).

•  Enlassiguientestransparenciasvamosarecordarconceptosdetemasanteriores,juntoconsunuevadesignación.Losnombressonnuevos.Losconceptosno.

2

Funcióndeprobabilidad(V.Discretas)

Sedefinecomofuncióndeprobabilidaddeunav.a.Xaunafunciónp(x)=P(X=x0)queparacadaunadelosvaloresdelavariableleasignaunaprobabilidad

•  Frecuenciarelativaydiagramadebarras.•  0≤P(X=x0)≤1

Ejemplo•  Númerodecarasallanzar3monedas.•  Númerodeingresoshospitalarios/día

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

0 1 2 3 3

Funcióndedistribución(V.Discretas)

Se define como la función de distribución de lavariableX,comounafunciónF(x)queasigna,paracada valor concreto, la probabilidad de que lavariabletomeunvalormenoroigualaél,esdecir

4

F (x0) = P X ≤ x0( ) = p x( )x =0

x0

∑

Nºingresos Funcióndeprobabilidadp(x)=P(X=x) FuncióndedistribuciónF(X)=P(X≤x)

0 0,1 0,1

1 0,15 0,25

2 0,2 0,45

3 0,26 0,71

4 0,21 0,92

5 0,08 1

Algunaspreguntas•  Lafuncióndedistribucióndeunavariablealeatoriadiscretatomavaloresmayoresde1onegativos.

•  Lafuncióndedistribucióndeunavariablealeatoriadiscretatomavaloresentre0y1.

•  Lafuncióndeprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscretatomavaloresentre0y1.

•  Lafuncióndeprobabilidaddeunavariablealeatoriadiscretatomavaloresmayoresde1.

5

Algunosmodelosdev.a.•  Modelosdistribucióndiscretos(Sesión11)(Cuandounafunciónasignaprobabilidadalosvaloresquepuedetomarunav.a)•  Bernoulli•  Binomial•  Poisson

•  Modelosdistribucióncontinuos(Sesión12)(Cuandolav.a.puedetomarlosinfinitosvaloresdeunintervalo)

•  Normal

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DistribuciónbinomialSea un fenómeno aleatorio que dá como resultado dossucesos.Unoconprobabilidadpyotroconprobabilidad1-p.Si se tienen n obsevaciones independientes delfenómeno aleatorio correspondiente a n individuos. Laprobabilidadqueseobservelaocurrenciadelsuceso,enkdelosnindividuospodrádeterminarseatravésdeunafuncióndeprobabilidaddelabinomial.Sea X la v.a. nº de individuos en los que se observa elsucesoAàX=B(n,p)Funcióndeprobabilidad

7

P (X = k ) = nk

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟p

kq n−k ,0 ≤ k ≤ n

Distribuciónbinomial

8

nk

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

n !(n − k )! ⋅k !

Númeroscombinatorios-Ejemplos

9

62

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

6!(6− 2)! ⋅2!

=

65

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

6!(6−5)! ⋅5!

=

6! = 6 ⋅5 ⋅4 ⋅3 ⋅2 ⋅1=

61

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ =

6!(6−1)! ⋅1!

=

DistribuciónbinomialMedia:Varianza:Media=númeroesperado

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µ = E X( ) = n ⋅ p

σ 2 =Var X( ) = n ⋅ p ⋅q

Ejercicio1

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Sesabequeel35%delosdiabéticostipoIIsontratadosconinsulina,sienunaconsultadeenfermeríasedisponede6dosisdeinsulinayentran15sujetos.•  i.¿Cualeselnúmeroesperadodeinsulinodependientes?•  IiDesviacióntipicaesperadadeinsulinodependientes.•  ii.¿Cualeslaprobabilidadexactadeutilizarlasseisdosis?X=númerodepacientesdiabéticostipoIItratadosconinsulina.X=B(n=15,p=0,35)

P (X = k ) = nk

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟p

kq n−k ,0 ≤ k ≤ n

Ejercicio2

12

El número de ítems a cumplimentar de un parte dedeclaracióndeunaenfermedadpara llevarunregistrode lasmismasesde10.Suponiendoindependienteelhechodequeunítemnoestécumplimentadoparaqueloestéotroyqueelporcentajedequeunítemnoestécumplimentadoesde0,1i.¿Cualeslaprobabilidadquedeesténcumplimentadostodoslosítems?ii.¿Cualeslaprobabilidaddequenoestécumplimentadoningúnítem?iii.¿Cualeslaprobabilidaddeque5ítemsnoesténcumplimentados?X=númerodeítemsacumplimentardelparteX=B(n=10,p=0,9)

Ejercicio3

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La probabilidad de que un estudiante obtenga del Grado deEnfermeríaobtengael títuloesde0,85. Si enel aulahay80alumnos.Calcule:i.Probabilidaddequeningunofinaliceelgrado.ii.Probabilidaddequefinalicentodos.iii.Probabilidadquealmenos40terminen.iv.Probabilidaddequealmenos78terminenlacarrera.iv.Hallalamediayladesviacióntípicadelnúmerodealumnosqueacabenlacarrera.X=númerodealumnosdelGradodeEnfermería.X=B(n=80,p=0,85)

Ejercicio4

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Unprominentemédicoafirmaqueel70%delospacientesconcáncer de pulmón son fumadores empedernidos. Si suafirmaciónescorrecta,determinari.laprobabilidaddequede10pacientesrecientementeingresadosenunhospital,menosdelamitadsonfumadoresempedernidosX=númerodepacientesconcancerdepulmónX=B(n=10,p=0,70)

DistribucióndePoissonSeaλelpromediodeocurrenciasdeundeterminadosucesoenunintervalodetiempooespacio.Ademássupóngasequeseverificanlassiguientescondiciones:1.Lasocurrenciasdelsucesosonindependientes.

2.EsposibleobservarunnúmeroinfinitodeocurrenciasencadaIntervalo.3.Laprobabilidaddeocurrenciadelsucesoenunintervaloesproporcionalasuamplitud.

Lav.a.X=númerodeocurrenciaseneseintervalodetiempooespaciosedistribuyesegúnàX=P(λ)

15

DistribucióndePoissonQuedacaracterizadaporunúnicoparámetroλ(queesasuvezsumediayvarianza.)Funcióndeprobabilidadmedia=E(x)=λvarianza=V(x)=λ

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,... 2 , 1 , 0 , !

] [ = = = - k k

e k X P

k λ λ

Ejercicio1

17

Elnúmeroanualdeaccidentestetránsitoeneltramodelaautopista entre Vinarós y Oropesa sigue una distribuciónPoissonconunamediadeλ=10accidentesaño.i.Calculelaprobabilidaddeobservarexactamente10accidentesen1997.ii.Calculelaprobabilidaddeobservarmásde2accidentesen1997.X=númerodeaccidentesdetráficoX=P(λ=10)

,... 2 , 1 , 0 , !

] [ = = = - k k

e k X P

k λ λ

Ejercicio2

18

El número de ingresos hospitalarios es de 4 ingresos-día.Paraundíacualquiera,i.Calculelaprobabilidaddequeseproduzcanmásde5ingresos.ii.Calculelaprobabilidaddequeseproduzcanentre2y5ingresos.iii.Calculeeinterpreteelnúmeroesperadodeingresoenunasemanaysudesviacióntípica.X=númerodeingresoshospitalarios.X=P(λ=4) ,... 2 , 1 , 0 ,

! ] [ = = =

- k k

e k X P

k λ λ

Ejercicio3

19

Elnúmeromediodellamadasparaasistenciadomiciliariaaunserviciodeurgenciases7llamadas-noche.Sisólosepuedenatender10llamadas.i.Calculelaprobabilidaddequeseproduzcanmásde10llamadasenunanocheii.Calculelaprobabilidaddequeseproduzcan10llamadasenunfindesemana(SábadoyDomingo)iii.Calculelaprobabilidaddequeseproduzcan20omásllamadasenlasdosnochesiv.Calculelaprobabilidaddequeseproduzcanmásde10llamadascadaunadelasdosnoches.,semanaysudesviacióntípica.X=númerodellamadashospitalarias.X=P(λ=7)

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Funcióndedensidad(V.Continuas)

•  Definición•  Esunafunciónnonegativadeintegral1.

•  Piénsalocomolageneralizacióndelhistogramaconfrecuenciasrelativasparavariablescontinuas.

•  ¿Paraquélovoyausar?•  Nuncalovasausardirectamente.•  Susvaloresnorepresentanprobabilidades.

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¿Paraquésirvelaf.densidad?

•  Muchosprocesosaleatoriosvienendescritosporvariablesdeformaquesonconocidaslasprobabilidadesenintervalos.

•  Laintegraldefinidadelafuncióndedensidadendichosintervaloscoincideconlaprobabilidaddelosmismos.

•  Esdecir,identificamoslaprobabilidaddeunintervaloconeláreabajolafuncióndedensidad.

DistribuciónnormalodeGauss

• Aparecedemaneranatural:•  Erroresdemedida.•  Distanciadefrenado.•  Altura,peso,propensiónalcrimen…•  Distribucionesbinomialesconngrande(n>30)y‘pnipequeño’(np>5)‘nigrande’(nq>5).

• Estácaracterizadapordosparámetros:Lamedia,μ,yladesviacióntípica,σ.

•  Sufuncióndedensidades:

22

23

N(μ,σ):Interpretaciónprobabilista• Entrelamediayunadesviacióntípicatenemossiemprelamismaprobabilidad:aprox.68%

• Entrelamediaydosdesviacionestípicasaprox.95%

Algunascaracterísticas•  Lafuncióndedensidadessimétrica,mesocúrticayunimodal.

•  Media,medianaymodacoinciden.

•  Lospuntosdeinflexióndelafun.dedensidadestánadistanciaσdeμ.

•  Sitomamosintervaloscentradosenμ,ycuyosextremosestán…•  adistanciaσ,ètenemosprobabilidad68%•  adistancia2σ, ètenemosprobabilidad95%•  adistancia2’5σ ètenemosprobabilidad99%

•  Noesposiblecalcularlaprobabilidaddeunintervalosimplementeusandolaprimitivadelafuncióndedensidad,yaquenotieneprimitivaexpresableentérminosdefunciones‘comunes’.

•  TodaslasdistribucionesnormalesN(μ,σ),puedenponersemedianteunatraslaciónμ,yuncambiodeescalaσ,comoN(0,1).Estadistribuciónespecialsellamanormaltipificada.•  Justificalatécnicadetipificación,cuandointentamoscompararindividuos

diferentesobtenidosdesendaspoblacionesnormales.

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Tipificación•  Dadaunavariabledemediaμydesviacióntípicaσ,sedenominavalortipificado,z,deunaobservaciónx,aladistancia(consigno)conrespectoalamedia,medidoendesviacionestípicas,esdecir

•  EnelcasodevariableXnormal,lainterpretaciónesclara:AsignaatodovalordeN(μ,σ),unvalordeN(0,1)quedejaexáctamentelamismaprobabilidadpordebajo.

•  Nospermiteasícompararentredosvaloresdedosdistribucionesnormalesdiferentes,parasabercuáldelosdosesmásextremo.

z = x −µσ

Tema 4: Modelos probabilísticos 25

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TablaN(0,1) Z es normal tipificada. Calcular P[Z<1,85]

Solución: 0,968 = 96,8%

27 Bioestadística. U. Málaga.

TablaN(0,1) Z es normal tipificada. Calcular P[Z<-0,54]

Solución: 1-0,705 = 0,295

28

TablaN(0,1) Z es normal tipificada. Calcular P[-0,54<Z<1,85]

Solución: 0,968-0,295= 0,673

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Ejemplo:Cálculoconprobabilidadesnormales

• Elcolesterolenlapoblacióntienedistribuciónnormal,conmedia200ydesviación10.

•  ¿Quéporcentajedeindivíduostienecolesterolinferiora210?

• Quévalordelcolesterolsóloessuperadoporel10%delosindividuos.

30

•  Todaslasdistribucionesnormalessonsimilaressalvotraslaciónycambiodeescala:Tipifiquemos.

31

•  Elvalordelcolesterolquesólosuperael10%delosindividuoseselpercentil90.Calculemoselpercentil90delaN(0,1)ydeshacemoslatipificación.

Tema 5: Modelos probabilísticos

32

Bio

esta

díst

ica.

U. M

álag

a.

Como ZA>ZB, podemos decir que el porcentaje de compañeros del mismo sistema de estudios que ha superado en calificación el estudiante A es mayor que el que ha superado B.

Podríamos pensar en principio que A es mejor candidato para la beca.