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Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 7
Algebra y Matematica Discreta
Sesion de Teorıa 7
(c) 2013 Leandro Marın, Francisco J. Vera, Gema M. Dıaz
7 Oct 2013 - 13 Oct 2013
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 7
Grafos
Grafos Hamiltonianos
Definicion
Un grafo se dice Hamiltoniano, cuando contiene un ciclo querecorre todos los vertices sin repetir ninguno.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 7
Grafos
Grafos Hamiltonianos
Definicion
Un grafo se dice Hamiltoniano, cuando contiene un ciclo querecorre todos los vertices sin repetir ninguno.
Hay diversos algoritmos que nos permiten encontrar cicloshamiltonianos, pero en este curso no vamos a ver ninguno.
Algebra y Matematica Discreta Sesion de Teorıa 7
Grafos
Grafos Hamiltonianos
Definicion
Un grafo se dice Hamiltoniano, cuando contiene un ciclo querecorre todos los vertices sin repetir ninguno.
Hay diversos algoritmos que nos permiten encontrar cicloshamiltonianos, pero en este curso no vamos a ver ninguno.
Resolveremos los problemas de grafos hamiltonianosestudiando directamente cada caso.
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Grafos
Grafos Hamiltonianos
Definicion
Un grafo se dice Hamiltoniano, cuando contiene un ciclo querecorre todos los vertices sin repetir ninguno.
Hay diversos algoritmos que nos permiten encontrar cicloshamiltonianos, pero en este curso no vamos a ver ninguno.
Resolveremos los problemas de grafos hamiltonianosestudiando directamente cada caso.
Para grafos pequenos es mas efectivo que la aplicacion dealgoritmos generales.
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Grafos
Grafos Hamiltonianos
Ejemplo: Dodecaedro
Este es un ejemplo muy conocido de grafo Hamiltoniano.
0
1
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7
8
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11
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19
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Grafos
Grafos Hamiltonianos
Ejemplo de No Hamiltoniano
??
Si este grafo tuviera un ciclo hamiltoniano, dicho ciclo tendrıaque pasar por todos los vertices, en particular tendrıa quepasar por los vertices 1, 2 y 3, pero como tiene que entrar ysalir, necesariamente tiene que usar todas las aristas.
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Grafos
Grafos Hamiltonianos
Ejemplo de No Hamiltoniano
??
Si este grafo tuviera un ciclo hamiltoniano, dicho ciclo tendrıaque pasar por todos los vertices, en particular tendrıa quepasar por los vertices 1, 2 y 3, pero como tiene que entrar ysalir, necesariamente tiene que usar todas las aristas.Y eso es imposible sin pasar dos veces por 0 o por 3.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento
Hasta ahora no nos hemos planteado el problema de pintar elgrafo.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento
Hasta ahora no nos hemos planteado el problema de pintar elgrafo.
Elegıamos cualquier posicion de los vertices y ponıamos lasaristas, sin preocuparnos de lo complicado o simple quepudiera quedar el dibujo.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento
Hasta ahora no nos hemos planteado el problema de pintar elgrafo.
Elegıamos cualquier posicion de los vertices y ponıamos lasaristas, sin preocuparnos de lo complicado o simple quepudiera quedar el dibujo.
Cuando se producıan cruces de aristas sin ser un vertices,simplemente no ponıamos el punto del vertice y ya esta.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento
Hasta ahora no nos hemos planteado el problema de pintar elgrafo.
Elegıamos cualquier posicion de los vertices y ponıamos lasaristas, sin preocuparnos de lo complicado o simple quepudiera quedar el dibujo.
Cuando se producıan cruces de aristas sin ser un vertices,simplemente no ponıamos el punto del vertice y ya esta.
Existen situaciones en que esto puede ser importante.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento
Hasta ahora no nos hemos planteado el problema de pintar elgrafo.
Elegıamos cualquier posicion de los vertices y ponıamos lasaristas, sin preocuparnos de lo complicado o simple quepudiera quedar el dibujo.
Cuando se producıan cruces de aristas sin ser un vertices,simplemente no ponıamos el punto del vertice y ya esta.
Existen situaciones en que esto puede ser importante.
Por ejemplo, si el grafo corresponde a conexiones electricas enuna placa de circuito, estamos interesados en saber si esposible pintarlo sin que haya cruces.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento
Hasta ahora no nos hemos planteado el problema de pintar elgrafo.
Elegıamos cualquier posicion de los vertices y ponıamos lasaristas, sin preocuparnos de lo complicado o simple quepudiera quedar el dibujo.
Cuando se producıan cruces de aristas sin ser un vertices,simplemente no ponıamos el punto del vertice y ya esta.
Existen situaciones en que esto puede ser importante.
Por ejemplo, si el grafo corresponde a conexiones electricas enuna placa de circuito, estamos interesados en saber si esposible pintarlo sin que haya cruces.
Los grafos que se pueden pintar en un plano sin que hayacruces de aristas fuera de los vertices es lo que se conocecomo grafo plano.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento II
Demostrar que un grafo es plano consiste en encontrar unarepresentacion plana del mismo. Dicha representacion recibirael nombre de mapa.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento II
Demostrar que un grafo es plano consiste en encontrar unarepresentacion plana del mismo. Dicha representacion recibirael nombre de mapa.
El problema esta cuando no la encontramos.
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Grafos Planos
Planteamiento II
Demostrar que un grafo es plano consiste en encontrar unarepresentacion plana del mismo. Dicha representacion recibirael nombre de mapa.
El problema esta cuando no la encontramos.
Puede ser poque el grafo no sea plano o porque no somos losuficientemente listos para encontrarla.
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Grafos Planos
Planteamiento II
Demostrar que un grafo es plano consiste en encontrar unarepresentacion plana del mismo. Dicha representacion recibirael nombre de mapa.
El problema esta cuando no la encontramos.
Puede ser poque el grafo no sea plano o porque no somos losuficientemente listos para encontrarla.
Demostrar que no es posible encontrarla es complicado.
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Grafos
Grafos Planos
Planteamiento II
Demostrar que un grafo es plano consiste en encontrar unarepresentacion plana del mismo. Dicha representacion recibirael nombre de mapa.
El problema esta cuando no la encontramos.
Puede ser poque el grafo no sea plano o porque no somos losuficientemente listos para encontrarla.
Demostrar que no es posible encontrarla es complicado.
Hay dos grafos muy famosos que se sabe que no son planos.
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Grafos
Grafos Planos
Grafo K5
??
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Grafos
Grafos Planos
Grafo K3,3
??
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Grafos
Grafos Planos
Extensiones Esenciales
Supongamos que tenemos un grafo G que no es plano, y encualquier arista le anadimos en medio de ella un vertice,partiendo la arista en dos. El grafo resultante sigue sin serplano.
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Grafos
Grafos Planos
Extensiones Esenciales
Supongamos que tenemos un grafo G que no es plano, y encualquier arista le anadimos en medio de ella un vertice,partiendo la arista en dos. El grafo resultante sigue sin serplano.
Si al grafo G le anadimos una arista nueva entre dos verticesy G no era plano, entonces el grafo resultante tampoco esplano.
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Grafos
Grafos Planos
Extensiones Esenciales
Supongamos que tenemos un grafo G que no es plano, y encualquier arista le anadimos en medio de ella un vertice,partiendo la arista en dos. El grafo resultante sigue sin serplano.
Si al grafo G le anadimos una arista nueva entre dos verticesy G no era plano, entonces el grafo resultante tampoco esplano.
Dado un grafo G , diremos que G′ es una extension esencial de
G si G ′ se puede construir haciendo una o varias veces lasoperaciones anteriores al grafo G .
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Grafos Planos
Extensiones Esenciales
Supongamos que tenemos un grafo G que no es plano, y encualquier arista le anadimos en medio de ella un vertice,partiendo la arista en dos. El grafo resultante sigue sin serplano.
Si al grafo G le anadimos una arista nueva entre dos verticesy G no era plano, entonces el grafo resultante tampoco esplano.
Dado un grafo G , diremos que G′ es una extension esencial de
G si G ′ se puede construir haciendo una o varias veces lasoperaciones anteriores al grafo G .
Si G no es plano, ninguna extension esencial suya puede serplana.
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Grafos
Grafos Planos
Teorema de Kuratowski
Caracterizacion de Grafos Planos
Un grafo G es plano si y solo si no contiene ninguna extensionesencial de K5 ni de K3,3.
Cuando tengamos un grafo que sospechemos que no es planoy queramos demostrarlo, este teorema no los permite.
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Grafos Planos
Teorema de Kuratowski
Caracterizacion de Grafos Planos
Un grafo G es plano si y solo si no contiene ninguna extensionesencial de K5 ni de K3,3.
Cuando tengamos un grafo que sospechemos que no es planoy queramos demostrarlo, este teorema no los permite.
Tenemos que buscar dentro del grafo a K5 o a K3,3 comoextension esencial.
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Grafos Planos
Teorema de Kuratowski
Caracterizacion de Grafos Planos
Un grafo G es plano si y solo si no contiene ninguna extensionesencial de K5 ni de K3,3.
Cuando tengamos un grafo que sospechemos que no es planoy queramos demostrarlo, este teorema no los permite.
Tenemos que buscar dentro del grafo a K5 o a K3,3 comoextension esencial.
Si somos capaces, entonces el teorema nos demuestra que noes plano, si no lo somos, podemos intentar seguir buscando unmapa.
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Grafos
Grafos Planos
Formula de Euler
Cuando tenemos un mapa de un grafo, este mapa nos defineuna serie de regiones encerradas entre aristas.
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Grafos
Grafos Planos
Formula de Euler
Cuando tenemos un mapa de un grafo, este mapa nos defineuna serie de regiones encerradas entre aristas.
Consideraremos siempre la region exterior como una regionmas.
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Grafos
Grafos Planos
Formula de Euler
Cuando tenemos un mapa de un grafo, este mapa nos defineuna serie de regiones encerradas entre aristas.
Consideraremos siempre la region exterior como una regionmas.
Si llamamos V al conjunto de vertices, E al de aristas y R alde regiones se cumple siempre la siguiente formula:
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Formula de Euler
Cuando tenemos un mapa de un grafo, este mapa nos defineuna serie de regiones encerradas entre aristas.
Consideraremos siempre la region exterior como una regionmas.
Si llamamos V al conjunto de vertices, E al de aristas y R alde regiones se cumple siempre la siguiente formula:
|R |+ |V | = |E |+ 2
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Grafos Planos
Formula de Euler
Cuando tenemos un mapa de un grafo, este mapa nos defineuna serie de regiones encerradas entre aristas.
Consideraremos siempre la region exterior como una regionmas.
Si llamamos V al conjunto de vertices, E al de aristas y R alde regiones se cumple siempre la siguiente formula:
|R |+ |V | = |E |+ 2
Fijemonos que el el caso de los arboles, solo tenemos unaregion, la region exterior y aplicando la formula se obtiene quelos arboles cumplen que 1 + |V | = |E |+ 2, o lo que es lomismo, |V | = |E |+ 1, que es la formula que caracterizaba losarboles.
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Grafos
Grafos Planos
Poliedros
Los poliedros son un caso muy interesante de grafos planos.
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Grafos
Grafos Planos
Poliedros
Los poliedros son un caso muy interesante de grafos planos.
Podemos pensar en ellos como metidos dentro de una esfera,que podemos extender en un mapa como se hace con losmapamundis.
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Grafos
Grafos Planos
Poliedros
Los poliedros son un caso muy interesante de grafos planos.
Podemos pensar en ellos como metidos dentro de una esfera,que podemos extender en un mapa como se hace con losmapamundis.
En el caso de los poliedros, las regiones pasan a ser las carasdel poliedro.
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Grafos
Grafos Planos
Poliedros
Los poliedros son un caso muy interesante de grafos planos.
Podemos pensar en ellos como metidos dentro de una esfera,que podemos extender en un mapa como se hace con losmapamundis.
En el caso de los poliedros, las regiones pasan a ser las carasdel poliedro.
Y se puede aplicar la formula de Euler, caras + vertices =aristas + 2.
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Grafos
Grafos Planos
Grafo Dual
Cuando tenemos un grafo plano, podemos construir lo que seconoce como su grafo dual.
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Grafos
Grafos Planos
Grafo Dual
Cuando tenemos un grafo plano, podemos construir lo que seconoce como su grafo dual.
Es el que tiene como vertices las regiones del grafo original ycada una de las conexiones entre las regiones.
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Grafos Planos
Grafo Dual
Cuando tenemos un grafo plano, podemos construir lo que seconoce como su grafo dual.
Es el que tiene como vertices las regiones del grafo original ycada una de las conexiones entre las regiones.
Habitualmente nos aparecera un multigrafo, incluso puedesalir un pseudografo.
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Grafo Dual
Cuando tenemos un grafo plano, podemos construir lo que seconoce como su grafo dual.
Es el que tiene como vertices las regiones del grafo original ycada una de las conexiones entre las regiones.
Habitualmente nos aparecera un multigrafo, incluso puedesalir un pseudografo.
Lo veremos con distintos ejemplos al hacer ejercicios.