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MANUAL DE LECTURAS DEL CURSO:

Introducción a la Topologı́a y la Teorı́a deHomotopı́as

FREDY VIDESCentro de Innovación en Cómputo Cientı́fico e Industrial

Escuela de Matemática y Ciencias de la ComputaciónUniversidad Nacional Autónoma de Honduras

E-mail: [email protected]

17 de Enero de 2021

Presentación

En este documento presentaremos algunas técnicas y resultados topológicos junto con algunosproblemas y ejercicios de práctica.

El material presentado en este documento está orientado a estudiantes avanzados e interme-dios de Matemática aplicada a nivel de licenciatura. Es recomendable que el lector tenga conoci-mientos sólidos en matemática discreta, cálculo avanzado, y funciones de una variable compleja.

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Índice general

I Topologı́a General 7

1. Topologı́a General 91.1. Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.1. La Topologı́a Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2. Sub-Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3. Continuidad de Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4. Base de una Topologı́a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5. Axiomas de Separación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.6. Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6.1. Compacidad Local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.7. Conectividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8. Conectividad por Trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9. Productos Finitos de Espacios Topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.9.1. Ejercicios Resueltos Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.10. Topologı́a Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.10.1. Ejercicios Resueltos Complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.11. Ejercicios de Práctica del Capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II Teorı́a de Homotopı́as 27

2. Teorı́a de Homotopı́as 292.1. Elementos de Teorı́a de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Principios de Homotopı́as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.3. Trayectorias Homotópicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3.1. Discusión Complementaria: Cómputo de homotopı́as . . . . . . . . . . . . . . 362.3.2. Casos de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.3. Cómputo de Homotopı́as de Parametrizaciones y Productos de Trayectorias 412.3.4. Discusión Complementaria: Cómputo de homotopı́as . . . . . . . . . . . . . . 422.3.5. Casos de Estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.3.6. Cómputo de Homotopı́as de Parametrizaciones y Productos de Trayectorias 47

2.4. Operaciones Inducidas en Clases de Homotopı́a de Trayectorias . . . . . . . . . . . . 482.5. El Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.5.1. Isomorfismos inducidos por trayectorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.6.1. Principios de Cómputo de Algunos Grupos Fundamentales Elementales . . . 552.6.2. Grupos Fundamentales de Espacios Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

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6 ÍNDICE GENERAL

2.6.3. Espacios de Cubrimiento y Grupos Fundamentales Cı́clicos Infinitos . . . . . 562.7. Homomorfismos Inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.7.1. Homomorfismos Inducidos y Cómputo de Índices . . . . . . . . . . . . . . . . 602.7.2. Proyectos Computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8. Mapas Homotópicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 652.9. Ejercicios de Práctica del Capı́tulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

A. Ejercicios Resueltos Selectos 77A.1. Elementos de Espacios Topológicos y Cómputo de Homeomorfismos . . . . . . . . . 77A.2. Operaciones Inducidas en Clases de Homotopı́a de Trayectorias . . . . . . . . . . . . 80A.3. El Grupo Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.4. Homomorfismos Inducidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86A.5. Elementos de Cómputo en Grupos Fundamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Parte I

Topologı́a General

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Capı́tulo 1

Topologı́a General

Objetivos

1. Definir las conceptos fundamentales de espacios topológicos.

2. Presentar las propiedades y resultados fundamentales en espacios topológicos.

1.1. Espacios Topológicos

Dado un conjunto cualquiera A escribiremos P(A) para denotar el conjunto potencia o departes de A definido por P(A) = {S ⊆ A}.

Dado un conjunto X diremos que el conjunto T ⊆ P(X) es una topologı́a sobre X si se cum-plen las sisguientes condiciones.

T1: Tenemos que ∅ ∈ T y X ∈ T .

T2: Dado S ⊆ T , tenemos que⋃S =

⋃S∈S S ∈ T .

T3: Dado Sn = {S1, . . . , Sn} ⊆ T (note que Sn está restringido por la condición |Sn| ≤ n < ∞),tenemos que

⋂Sn =

⋂S∈Sn S =

⋂1≤j≤n Sj ∈ T .

Un espacio topológico (ET) es un par (X, T ), donde X es un conjunto y T ⊆ P(X) es unatopologı́a sobre X . Los elementos en la lista se denominan conjuntos abiertos o abiertos en Xcon respecto a T . En otras palabras U ⊆ X es abierto ssi U ∈ T . Aquı́ y en lo sucesivo escribimosssi para abreviar si y solo si.

Dado un ET (X, T ) decimos que S ⊆ X es cerrado en X con respecto a T si X\S ∈ T . Siconsideramos la colección X\T = {X\U |U ∈ T } de conjuntos cerrados en X con respecto a T ,tenemos que por las condiciones T1-T3 y las leyes de De Morgan:

T1’: Tenemos que ∅ ∈ X\T y X ∈ X\T .

T2’: Dado C ⊆ X\T , tenemos que⋂C =

⋂C∈C C ∈ X\T .

T3’: Dado Cn = {C1, . . . , Cn} ⊆ X\T (note que Cn está restringido por la condición |Cn| ≤ n <∞), tenemos que

⋃Cn =

⋃C∈Cn C =

⋃1≤j≤nCj ∈ X\T .

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10 CAPÍTULO 1. TOPOLOGÍA GENERAL

Cada vez que se escribe que un conjunto X es un ET, asumimos que esto se afirma con respec-to a alguna topologı́a T sobre X , cuyo nombre explı́cito omitiremos cuando no se presente unaconfusión potencial entre varias posibles topologı́as sobre X .

Dado un punto x en un ET X (con respecto a alguna topologı́a T ), un vecindario V de x es unconjunto V ⊆ X tal que existe U ∈ T con x ∈ U y U ⊆ V .

Dado un conjunto S ⊆ X en un ET X , decimos que un punto x ∈ X es un punto interior de Ssi S es un vecindario de x. El conjunto de todos los puntos interiores de S se denotará por int(S),y se denomina el interior de S.

Dado un conjunto S ⊆ X en un ETX , decimos que un punto x ∈ X es un punto de adherenciade S si todo vecindario V de x cumple que V ∩S 6= ∅. El conjunto de todos los puntos de adherenciade S se denotará por S, y se denomina la clausura o cerradura de S.

Observación: Es un ejercicio interesante para el lector verificar las siguientes condiciones paraun conjunto S ⊆ X , con X ET.

int(S) ⊆ S ⊆ S

Propiedades: Dado un ET X y dados S, T ⊆ X :

1. int(S) es abierto en X .

2. S es abierto en X ssi int(S) = S.

3. T es cerrado en X .

4. T es cerrado en X ssi T = T .

Dada una sucesión {xn}n≥1 ⊆ X , con X ET, decimos que {xn} converge a x ∈ X si paracualquier vecindario U de x existe N ∈ Z+ tal que xj ∈ U , j > N . Escribiremos xn → x paradenotar que {xn} converge a x ∈ X , de ser necesario especificar la topologı́a T sobre X conrespecto a la cual se considera la convergencia, escribiremos xn →T x.

Propiedad: Dado un ET X y dados {xn} ⊆ S ⊆ X , si xn → x ∈ X entonces x ∈ S.

Dado S ⊆ X con X ET, x ∈ X se dice punto frontera de S si x ∈ S y x ∈ X\S. El conjunto detodos los puntos frontera del conjunto S se denota por ∂S, con base en la defición previa es claroque.

∂S = S ∩X\S = ∂(X\S)

De aquı́ en adelante escribiremos t para denotar la operación de unión disjunta de conjuntos.

Propiedad: Dada un ET X y dado S ⊆ X , S = int(S) t ∂S.

1.1.1. La Topologı́a Métrica

Dado un conjunto X se denomina métrica en X a cualquier función d : X × X → R (convalores en los números reales) que cumple con las siguientes restricciones.

M1: d(x, y) ≥ 0 para cada x, y ∈ X .

M2: d(x, y) = 0 ssi x = y.

M3: d(x, y) = d(y, x) para cada x, y ∈ X .

M4: (Desigualdad triangular) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para cada x, y, z ∈ X .

1.1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 11

Dado un conjunto X y una métrica d en X , el par (X, d) se denomina espacio métrico (EM).Cuando escribimos que X es un EM, se entiende que existe una métrica dX tal que (X, dX) deter-mina un EM.

Dados x ∈ X con (X, d) EM y dado r > 0. Escribimos B(x; r) para denotar el conjunto quellamaremos bola abierta con centro en x y radio r, el cual estará definido por la expresión.

B(x; r) = {y ∈ X | d(y, x) < r} (1.1.1)

Dado S ⊆ X con (X, d) EM, decimos que x ∈ X es un punto interior de S si existe r > 0 talque B(x; r) ⊆ S. Escribiremos int(S) para denotar el conjunto de puntos interiores de S, el cualllamaremos interior de S. Decimos que S ⊆ X es abierto en X (con respecto a la métrica d), siS = int(S).

Dado S ⊆ X con (X, d) EM, decimos que x ∈ X es un punto de adherencia de S si para cadar > 0 B(x; r) ∩ S 6= ∅. Escribiremos S para denotar el conjunto de puntos de adherencia de S, elcual llamaremos clausura o cerradura de S. Decimos que S ⊆ X es cerrado en X (con respecto ala métrica d), si S = S.

Observación: Dado S ⊆ X con X EM.

int(S) ⊆ S ⊆ S

Dado un EM (X, d) se demonina topologı́a métrica (inducida por la métrica d), a la topologı́amás pequeña sobre X que contiene el conjunto AX = {S ⊆ X|int(S) = S}, donde el interior decada conjunto en X se calcula con respecto a las bolas abiertas determinadas por d. EscribiremosTd para denotar la topologı́a métrica sobre X inducida por d.

Dado un ET (X, T ) diremos que el espacio topológico X es metrizable, si existe una métrica dpara X tal que T = Td.

Dada una sucesión {xn}n≥1 ⊆ X con (X, d) EM, decimos que {xn} converge a x ∈ X , siĺımn→∞ d(xn, x) = 0, escribiremos xn → x para indicar que la sucesión converge a x.

Propiedad El lı́mite de toda sucesión convergente en un EM es único.

Decimos que una sucesión {sn} ⊆ X con (X, d) EM, es de Cauchy si ĺımn,m→∞ d(sn, sm) = 0,es decir, dado ε > 0 existe N ∈ Z+ tal que d(sn, sm) < ε para cada n,m ≥ N .

Propiedades. Dado un EM (X, d):

Si {xn}n≥1 ⊂ X es convergente, entonces es de Cauchy.

Si {xn}n≥1 ⊂ X es de Cauchy, y si {xnk}k≥1 ⊂ {xn}n≥1 es una subsucesión tal que xnk → x,entonces xn → x.

Un EM (X, d) se dice completo si toda sucesión de Cauchy en X converge en X , es decir, sipara cada sucesión de Cauchy {tn}n≥1 ⊆ X existe t ∈ X tal que tn → t.

Propiedades. Dado un EM (X, d):

Si X es completo, todo subespacio cerrado Y ⊂ X es completo.

Todo subespacio Y ⊂ X completo es cerrado en X .


1.2. Sub-Espacios Topológicos

Dado un conjunto S ⊆ X con X ET con respecto a alguna topologı́a T , es fácil verificar que elconjunto S∩T = {S∩U |U ∈ T } define una topologı́a sobre S. Denotaremos por TX|S la topologı́aS ∩ T , la cual llamaremos topologı́a relativa o de sub-espacio topológico (SET) respecto de T ,diremos además que S es un sub-espacio topológico de X con respecto a la topologı́a relativadespecto (heredada) de X .

Observación: Note que V ⊆ S es un abierto relativo en S, ssi V = S ∩U para algún abierto Uen X . De forma equivalente, C ⊆ S es un cerrado relativo en S, ssi S\C es un abierto relativo enS, es decir, si S\C = S ∩G para algún abierto G en X .

Dado E ⊆ S con S SET de un ET X , escribimos ES para denotar la clausura relativa de E enS.

Propiedades: Dado un ET X y un SET S ⊆ X :

1. E es cerrado relativo en S, ssi E = S ∩ F para algún F ⊆ X cerrado en X .

2. ES = E ∩ S, donde E es la clausura de E en X .

Dado S ⊆ X con X ET, decimos que S es denso en X , si S = X . Decimos que un ET Y esseparable si contiene una sucesión densa, es decir, si existe {yn}n≥1 ⊆ Y tal que {yn}n≥1 = Y .

Decimos que un EM (X, d) es totalmente acotado (TA) si para cada ε > 0 existen x1, . . . , xn ∈ Xtales que:

X ⊆⋃

1≤j≤nB(xj ; ε)

1.3. Continuidad de Funciones

De aquı́ en adelante escribiremos Y X para denotar el conjunto de funciones del conjunto X alconjunto Y .

Dada f ∈ Y X con X e Y ET, decimos que f es continua en X , si para cada V ⊆ Y abierto enY , f−1(V ) es abierto en X . Escribimos C(X,Y ) para denotar el conjunto de funciones continuasde X a Y .

Dada f ∈ Y X con X e Y ET, diremos que f es continua en el punto x ∈ X , si para cualquiervecindario abierto V de f(x), existe un vecindario abierto U de x tal que f(U) ⊆ V .

Definición 1.3.1. Dada una función f : X → Y entre espacios métricos X,Y , se dice que f escontinua en el punto x ∈ X si para cada {xn}n≥1 ⊂ X tal que xn → x se cumple que f(xn)→ f(x).Al igual que en el caso general de espacios topológicos, se dice que f es continua en X si f escontinua en cada punto de X .

Propiedades: Dados ET X,Y y Z:

1. f ∈ C(X,Y ) ssi f es continua en cada punto x ∈ X .

2. Si f ∈ C(X,Y ) y g ∈ C(Y, Z), entonces g ◦ f ∈ C(X,Z).

Lema 1.3.2. (Lema de Pegamiento.) Sean X,Y espacios topológicos, A,B ⊆ X conjuntos cerrados, f ∈C(A, Y ), g ∈ C(B, Y ). Si f |A∩B = g|A∩B entonces la única función h : A ∪ B → Y tal que h|A = f |A,h|B = g|B es continua.

1.4. BASE DE UNA TOPOLOGÍA 13

Dados ET X e Y , decimos que f ∈ Y X es un homeomorfismo de X a Y , si f es biyectiva ybicontinua, es decir, si f es inyectiva, sobreyectiva, f ∈ C(X,Y ) y f−1 ∈ C(Y,X). Cuando existeun homemorfismo f entre dos ET X,Y decimos que X e Y son homeomorfos, lo cual denotamospor X 'H Y .

Observación: Es posible observar que la relación'H entre espacios topológicos es una relaciónde equivalencia.

Dado un ET X , una propiedad o caracterı́stica P[X] del ET X que puede ser expresada entérminos de sus conjuntos abiertos (o cerrados), se denomina propiedad topológica de X . En par-ticular, si un ET X tiene una propiedad P, y si cada Y 'H X tiene dicha propiedad, P es unapropiedad topológica.

1.4. Base de una Topologı́a

Dado un ET (X, T ) decimos que un conjunto B ⊆ T es una base de T si cada elemento de Tes una unión de elementos de B, es decir, T = {∪S|S ⊆ B}.

Propiedades: Dado un ET (X, T ):

1. Un conjunto B ⊆ T es base de T ssi, para cada x ∈ X y cada vecindario U ⊆ X de x, existeV ∈ B tal que x ∈ V ⊆ U .

2. Un conjunto B̂ ⊆ P(X) es base de T ssi B̂ tiene las siguientes propiedades:

Para cada x ∈ X , existe V ∈ B̂ tal que x ∈ V .Si U, V ∈ B̂ y x ∈ U ∩ V , existe W ∈ B̂ tal que x ∈W ⊂ U ∩ V .

Dado un ETX y dada una colección C ⊆ P(X) de abiertos enX , decimos que C es una cubiertaabierta de X si X ⊆ ∪C. Decimos además que S ⊆ C es una sub-cubierta (abierta) de X conrespecto a C, si X ⊆ ∪S.

Un ET (X, T ) se dice segundo contable si existe una base contable {Bn}n≥1 para T .Dados X,Y EM decimos que f ∈ Y X es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe

δ > 0, tal que para cada x, y ∈ X tales que dX(x, y) < δ, se tiene que dY (f(x), f(y)) < ε.

Propiedades: Dado un ET X segundo contable.

1. Teorema de Lindelöf. Toda cubierta abierta abierta de X tiene una sub-cubierta contable.

2. X es separable.

1.5. Axiomas de Separación

Diremos que un ET (X1, T1) es T1 si para cada x, y ∈ X1 tales que x 6= y, existe U ∈ T1 tal quey ∈ U y x /∈ U .

Observación: Es posible observar que un ET (X, T ) es T1 ssi para cada x ∈ X , X\{x} ∈ T . Esdecir, X es T1 ssi para cada x ∈ X , {x} es cerrado con respecto a T .

Un ET (X2, T2) se denomina Hausdorff o T2 si para cada x, y ∈ X2 tales que x 6= y, existenU, V ∈ T2 que cumplen con las siguientes restricciones.

x ∈ Uy ∈ VU ∩ V = ∅


Un ET (X3, T3) se denomina regular si para cada x ∈ X3 y cada F ⊆ X3 cerrado tales quex /∈ F , existen U, V ∈ T3 que cumplen con las siguientes restricciones.

x ∈ UF ⊆ VU ∩ V = ∅

Un ET se dice T3 si es regular y T1.Un ET (X4, T4) se denomina normal si para cada E,F ⊆ X4 cerrados tales que E ∩ F = ∅,

existen U, V ∈ T4 que cumplen con las siguientes restricciones.E ⊆ UF ⊆ VU ∩ V = ∅

Un ET se dice T4 si es normal y T1.

Observación: T4 =⇒ T3 =⇒ T2 =⇒ T1Propiedad: Todo EM es T4.

Propiedad: Un ET X es normal ssi para cada E ⊂ X cerrado y cada W ⊂ X abierto tal queE ⊂W , existe U ⊂ X abierto tal que E ⊂ U y U ⊂W .

Propiedad: (Lema de Urysohn) Dados dos conjuntos cerrados disjuntosE y F en un ET normalX , existe f ∈ C(X, [0, 1]) tal que f = 0 en E y f = 1 en F.

1.6. Compacidad

Decimos que un ET X es compacto si toda cubierta abierta de X tiene una sub-cubierta finita.Es decir, si para toda colección de abiertos C ⊆ P(X) enX tales queX ⊆

⋃C, existen C1, . . . , Cn ∈

C tales que X ⊆⋃

1≤j≤nCj .Dado un conjunto S ⊆ X decimos que S es compacto (como sub-espacio topológico de X) con

respecto a la topologı́a relativa en X , si para toda colección de abiertos D ⊆ P(X) en X tales queS ⊆

⋃D, existen D1, . . . , Dm ∈ D tales que S ⊆

⋃1≤j≤mDj .

Propiedades Dados ET X e Y .

1. Toda unión finita de sub-conjuntos compactos de X es compacta.

2. Si C ⊆ X es cerrado y X es compacto, entonces C es compacto.

3. Si S ⊂ X es compacto y X es T2. Para cada x ∈ X\S existen abiertos U, V ⊂ X tales quex ∈ U , S ⊂ V y U ∩ V = ∅.

4. Si X es compacto y T2, entonces X es normal.

5. Si X es compacto y f ∈ C(X,Y ), entonces f(X) es compacto.

6. Si X es compacto, Y es Hausdorff, f ∈ C(X,Y ) y f : X ↪→ Y , entonces f es un homeomor-fismo de X a f(X).

Propiedades Dados EM X e Y .

1.7. CONECTIVIDAD 15

1. X es compacto ssi es completo y totalmente acotado.

2. X es compacto ssi toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente en X .

3. Si X es compacto, entonces X es separable y segundo contable.

4. Si X es compacto, entonces cada f ∈ C(X,Y ) es uniformemente continua.

Propiedades (Teorema de Heine-Borel) Dado X ⊆ Rn subsepacio de Rn con respecto a lamétrica Euclidiana usual.

1. X es compacto ssi es cerrado y acotado.

2. X es compacto ssi toda sucesión en X tiene una subsucesión convergente en X .

1.6.1. Compacidad Local

Un ET X se dice localmente compacto (LC) si, para cada p ∈ X , existe un abierto W ⊂ X talque p ∈W y W es compacto.

Propiedad. (Compactificación unipuntual) Sea X un ET T2 LC y sea Y = X ∪ {∞} para algúnpunto∞ /∈ X . Entonces existe una única topologı́a T∞ tal que (T, T∞) es un ET T2 compacto y latopologı́a relativa en X heredada de Y coincide con la topologı́a original para X .

En general un ET compacto Y se dice una compactificación de un ET X , si existe S ⊆ Y talque X 'H S y S = Y .

1.7. Conectividad

Dado un ET (X, T ) un par U, V ⊂ X se dice una separación de X , si:U ∪ V = XU ∩ V = ∅U, V,X\U,X\V ∈ TU 6= ∅, V 6= ∅

Un ET (X, T ) se dice desconexo si existe una separación U, V ⊂ X de X , en caso contrariose dice que el ET X es conexo. Un subconjunto S de un ET X se dice conexo, si es conexo en latopologı́a relativa.

Propiedades. Dados ET X,Y :

Si X es conexo y f ∈ C(X,Y ), entonces f(X) ⊆ Y es conexo.

Sea {Eα}α∈A una familia de sub-conjuntos conexos de X tales que Eα ∩ Eβ 6= ∅ para cadaα, β ∈ A. Entonces

⋃α∈AEα es conexo.

Dado un punto x en un ET X , la componente conexa de x, denotada por C(x), es la unión detodos los sub-conjuntos conexos de X a los que pertenece x (que contienen a {x}).

Propiedad. Dos componentes conexas de un ETX son disjuntas ó coinciden. Las componentesconexas de X forman una partición de X en subconjuntos conexos maximales.

Propiedad. Cada intervalo (abierto, cerrado,...) en R es conexo.


1.8. Conectividad por Trayectorias

Sea X un ET y sean x0, x1 ∈ X . Una trayectoria en X de x0 a x1 es una función γ ∈ C([0, 1], X)tal que γ(0) = x0 y γ(1) = x1.

Decimos que un ET X es conexo por trayectorias (CPT) si para cada par x0, x1 ∈ X existe unatrayectoria γ en X de x0 a x1.

Propiedad. La relación x ∼CPT y ⇐⇒ existe una trayectoria en X de x a y, es una relación deequivalencia en X .

Dado x ∈ X con X ET, la clase [x]CPT = {y ∈ X|y ∼CPT x} de denomina componente detrayectorias de x en X .

Propiedades. Dado un ET X :

Si X es CPT entonces X es conexo.

Cada componente conexa de X es una unión de componentes de trayectorias.

1.9. Productos Finitos de Espacios Topológicos

Sean (X1, TX1), . . . , (Xn, TXn) ET. La topologı́a producto TΠ en el producto cartesiano X =∏Xj = X1×· · ·×Xn es la topologı́a para la cual una base de abiertos está dada por los rectángulos:

RX = {U1 × · · · × Un|Uj ∈ TXj , 1 ≤ j ≤ n}

Que RX determina una base es consecuencia de resultados previos, junto con el hecho de teorı́ade conjuntos:

(U1 × · · · × Un) ∩ (V1 × · · · × Vn) = (U1 ∩ V1)× · · · × (Un ∩ Vn)

A menos que se especifique lo contrario, supondremos que cada producto finito de espacios to-pológicos es provisto automáticamente con la toplogı́a producto.

Sea πj :∏Xk → Xj el mapa proyección definido por πj((x1, . . . , xn)) = xj , 1 ≤ j ≤ n. Si

Uj ∈ TXj , entoncesπ−1j (Uj) = X1 × · · ·Xj−1 × Uj ×Xj+1 × · · ·Xn

es un abierto básico. Esto implica que πj ∈ C(∏Xk, Xj) para cada 1 ≤ j ≤ n.

Dado x = (x1, . . . , xn) ∈∏Xk, definimos el j-slice Sj(x) como Sj(x) = {x1} × · · · × {xj−1} ×

Xj × {xj+1} × · · · × {xn}. Tenemos que el embebimiento Xj ↪→ Sj(x) define un homeomorfismoXj 'H Sj(x) para cada 1 ≤ j ≤ n.

Propiedades. Sean X1, . . . , Xn espacios topológicos:

TΠ es la topologı́a más pequeña sobre∏Xk tal que πj ∈ C(

∏Xk, Xj) para cada 1 ≤ j ≤ n.

Para cada U ∈ TΠ, πj(U) ∈ TXj para cada 1 ≤ j ≤ n.

Sea E un ET y sea f ∈ (∏Xk)

E . Entonces f ∈ C(E,∏Xk) ssi πj ◦ f ∈ C(E,Xj) para cada

1 ≤ j ≤ n.

Si cada Xj es T2, entonces∏Xk es T2.

Si cada Xj es CPT, entonces∏Xk es CPT.

1.9. PRODUCTOS FINITOS DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS 17

Si cada Xj es conexo, entonces∏Xk es conexo.

(Teorema de Tychonoff) Si cada Xj es compacto, entonces∏Xk es compacto.

1.9.1. Ejercicios Resueltos Complementarios

Ejercicio Resuelto 1.9.1. Considerando el conjunto de números realesR con la topologı́a (métrica)usual sobre R:

Proveer tres ejemplos de conjuntos abiertos en la topologı́a producto TΠ sobre R2 = R× R.Solución. Por propiedades de la topologı́a métrica usual sobre R, A1 = (0, 1) × (0, 1), A2 =(0, 1) × R y A3 = (0,∞) × (0, 1) son abiertos en R2 = R × R dado que (0, 1), (0,∞),R sonabiertos en la topologı́a métrica usual sobre R.

Ejercicio Resuelto 1.9.2. Considerando el conjunto de números realesR con la topologı́a (métrica)usual sobre R:

Si se considera la función f : R → R2 : t 7→ (1 − t2, cos(t)). Es cierto que f ∈ C(R,R2) (conrespecto a la topologı́a usual en R y la topologı́a producto en R2)?Solución. Por propiedades de la topologı́a producto para que f ∈ C(R,R2) basta que px◦f ∈C(R,R) y py ◦ f ∈ C(R,R), dado que para cada t ∈ R:

• px ◦ f(t) = 1− t2

• py ◦ f(t) = cos(t)

Por cálculo elemental px ◦ f, py ◦ f ∈ C(R,R) (con respecto a la topologı́a métrica usual enR). Consecuentemente f ∈ C(R,R2).

Ejercicio Resuelto 1.9.3.

Considerando el conjunto de números reales R con la topologı́a (métrica) usual sobre R:

Considerando los conjuntos X = [0, 1] × [0, 1] e Y = [−1, 3] × [−1, 0] y suponiendo cier-to el hecho de que productos (finitos) de conjuntos cerrados son cerrados en la topologı́aproducto. Es cierto que X 'H Y ?Solución.

• Basta construir un homeomorfismo h ∈ C(X,Y ):• Aplicando interpolación de Lagrange es posible calcular un polinomio de grado 1 h1

que defina una biyección bicontinua de [0, 1] a [−1, 3]. En efecto h1(x) = 4x−1 resuelveel problema de Lagrange antes mencionado.

• Aplicando interpolación de Lagrange es posible calcular un polinomio de grado 1 h2que defina una biyección bicontinua de [0, 1] a [−1, 0]. En efecto h2(y) = y − 1 resuelveel problema de Lagrange antes mencionado.

• Sea h(x, y) = (h1(x), h2(y)) para cada (x, y) ∈ X .• Con base en la definición previa de h ∈ Y X :◦ Por cálculo elemental en varias variables es claro que h : X → Y es una biyección

con h−1(x, y) = (H1(x), H2(y)), para H1(x) = (x+ 1)/4, H2(y) = (y + 1).◦ Y por propiedades de la topologı́a producto:


� h ∈ C(X,Y ) dado que px◦h = h1 ∈ C(R,R) y py ◦h = h2 ∈ C(R,R) por cálculoelemental.� h−1 ∈ C(Y,X) dado que px ◦ h−1 = H1 ∈ C(R,R) y py ◦ h−1 = H2 ∈ C(R,R)

por cálculo elemental.

• Consecuentemente, h|X : X → Y define una biyección bicontinua entre X e Y .

1.10. Topologı́a Cociente

Sea (X, T ) un ET, y sea ∼ una relación de equivalencia en X . Consideremos el conjunto co-ciente X/ ∼ definido por:

X/ ∼= {[x]|x ∈ X}

donde [x] = {y ∈ X|y ∼ x}. Existe una proyección natural π : X → X/ ∼ definida por π(x) = [x],para cada x ∈ X . Se define como topologı́a cociente enX con respecto a∼, la topologı́a TX/∼ sobreX/ ∼ determinada por todos los conjuntos U ⊂ X/ ∼ tales que π−1(U) ∈ T .

Propiedad. Sea X un ET y sea ∼ una relación de equivalencia en X . Entonces TX/∼ es la topo-logı́a más grande para la que la proyección π : X → X/ ∼ es continua.

Propiedad. Sea X un ET y sea ∼ una relación de equivalencia en X y π : X → X/ ∼ el mapade proyección. Dado un ET Y, f ∈ C(X/ ∼, Y ) ssi f ◦ π ∈ C(X,Y ).

Propiedad. Sea f ∈ C(X,Y ) con X,Y ET. Sea ∼ una relación de equivalencia en X tal que fes constante en cada clase de equivalencia. Entonces existe g ∈ C(X/ ∼, Y ) tal que f = g ◦ π. Esdecir el diagrama siguiente es soluble.

Xf

//

π""

Y

X/ ∼g

1.10. TOPOLOGÍA COCIENTE 19

Calcular X/ ∼:

Solución. Aplicar algoritmo de matemática discreta:

Paso 1: Calcular clases de equivalencia definidas por [x] = {y ∈ X : y ∼ x}:

[a] = {a, b} = [b][c] = {c, d} = [d][e] = {e, f} = [f ]

Paso 2:

X/ ∼ = {[x] : x ∈ X}= {[a], [c], [e]}= {{a, b}, {c, d}, {e, f}}

Calcular la topologı́a más pequeña TX sobre X tal que A1, A2, A3 ∈ TX :

Solución.

• Aplicando algoritmo combinatorio elemental de topologı́a general:

TX = {∅, X, {a, b}, {c, d}, {e, f}, {a, b, c, d}, {a, b, e, f}, {c, d, e, f}}

Sea p : X → X/ ∼: x 7→ [x]. Calcular la topologı́a T̂X más grande sobre X/ ∼ tal que p ∈C(X,X/ ∼) con respecto a la topologı́a TX sobre X :

Solución.

Por propiedades de TX/∼ documentadas en las lecturas de clase, T̂X = TX/∼.

TX/∼ puede calcularse con base en su definición, aplicando propiedades de funciones inver-sas y la siguiente secuencia de cómputos:

p−1({[a]}) = {a, b}

p−1({[c]}) = {c, d}

p−1({[e]}) = {e, f}

Aplicando algoritmos combinatorios elementales estudiados en topologı́a general:

T̂X = TX/∼= {∅, X/ ∼, {[a]}, {[c]}, {[e]}, {[a], [c]}, {[a], [e]}, {[c], [e]}}

Ejercicio Resuelto 1.10.2. Dada f : [0, 1] → R2 : t 7→ (cos(2πt), sen(2πt))). Si se define la relaciónde equivalencia ∼ en [0, 1] × [0, 1] por t ∼ s ⇐⇒ f(t) = f(s). Demostrar que [0, 1]/ ∼'H S ={(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 = 1}.


Demostración. Un cambio de coordenadas elemental permite observar que:

S = {(cos(2πt), sen(2πt))) : t ∈ [0, 1]}

y por propiedades de la topologı́a métrica, dado que [0, 1] y S son subespacios topológicos (métri-cos) de R y R2, respectivamente, con respecto a las topologı́as métricas (Euclidianas) usuales co-rrespondientes, [0, 1] y S son T4 =⇒ [0, 1] y S son T2.

Por el teorema de Heine-Borel [0, 1] ⊂ R es compacto dado que es cerrado y acotado, comose verifica a continuación. En efecto, dado x ∈ R\[0, 1] = (−∞, 0) ∪ (1,∞), existe r > 0 tal que(x− r, x + r) ⊂ R\[0, 1] =⇒ (x− r, x + r) ∩ [0, 1] = ∅ =⇒ x /∈ [0, 1] =⇒ x ∈ R\[0, 1] =⇒ R\[0, 1] ⊂R\[0, 1] =⇒ [0, 1] ⊂ [0, 1] ⊂ R\(R\[0, 1]) = [0, 1] =⇒ [0, 1] = [0, 1], por tanto [0, 1] es cerrado.Además, para cada x, y ∈ [0, 1], |x− y| ≤ |1− 0| = 1 < 2, por tanto [0, 1] es acotado.

Por propiedades de compacidad, S = f([0, 1]) es compacto dado que f ∈ C([0, 1],S ) porpropiedades de continuidad de cálculo elemental en varias variables, y [0, 1] es compacto.

Dado que por los argumentos previos, [0, 1] y S son espacios topológicos T2 compactos, f ∈C([0, 1],S ) y S = f([0, 1]). Por propiedades de la topologı́a cociente S 'H [0, 1]/ ∼.Ejercicio Resuelto 1.10.3. Si se considera el conjunto de números reales R con la topologı́a métricausual TR sobre R, y si se considera la función sgn : R→ R definida por:

sgn(x) =

−1, x < 00, x = 01, x > 0

Sea ∼ la relación de equivalencia en R× R definida por x ∼ y ⇐⇒ sgn(x) = sgn(y).

Calcular el conjunto cociente R/ ∼.Cómputo: Con base en la definición de sgn es posible observar que:

[−1] = {x ∈ R : x ∼ −1}= {x ∈ R : sgn(x) = sgn(−1) = −1}= {x ∈ R : x < 0} = (−∞, 0)

[0] = {x ∈ R : x ∼ 0}= {x ∈ R : sgn(x) = sgn(0) = 0}= {x ∈ R : x = 0} = {0}

[1] = {x ∈ R : x ∼ 1}= {x ∈ R : sgn(x) = sgn(1) = 1}= {x ∈ R : x > 0} = (0,∞)

Con base en las observaciones previas:

R/ ∼ = {[x] : x ∈ R}= {[−1], [0], [1]}

1.11. EJERCICIOS DE PRÁCTICA DEL CAPÍTULO 21

Calcular la topologı́a cociente TR/∼ sobre R/ ∼.Cómputo: Considerando la función p : R � R/ ∼: x 7→ [x] es posibe realizar las siguientesobservaciones.

• p−1({[−1]}) = {x ∈ R : p(x) = [−1]} = {x ∈ R : x ∼ −1} = (−∞, 0)• p−1({[0]}) = {x ∈ R : p(x) = [0]} = {x ∈ R : x ∼ 0} = {0}• p−1({[1]}) = {x ∈ R : p(x) = [1]} = {x ∈ R : x ∼ 1} = (0,∞)

Con base en las observaciones previas, es posible observar lo siguiente.

• p−1({[−1]}) = (−∞, 0) ∈ TR =⇒ {[−1]} ∈ TR/∼• p−1({[0]}) = {0} /∈ TR =⇒ {[0]} /∈ TR/∼• p−1({[1]}) = (0,∞) ∈ TR =⇒ {[1]} ∈ TR/∼

Con base en las obsevaciones anteriores, aplicando el algoritmo combinatorio estudiado entopologı́a general, es posible calcular TR/∼, calculando la topologı́a TS sobre R/ ∼ generadapor el conjunto S = {{[−1]}, {[1]}}.

TR/∼ = TS = {∅,R/ ∼, {[−1]}, {[1]}, {[−1], [1]}}

1.11. Ejercicios de Práctica del Capı́tulo

Instrucciones: Resolver las siguientes problemas, dejando evidencia de argumentos precisos yrigurosos que respalden sus resultados y conclusiones.

1. Dado un conjunto X 6= ∅. Probar que la función d : X ×X → R definida por

d(x, y) =

{1, x 6= y,0, x = y.

Define una métrica en X . Probar que cada subconjunto del EM (X, d) resultante es abierto ycerrado a la vez.

2. Probar que la función d : Rn ×Rn → R definida por

d(x,y) = máx1≤k≤n

|xk − yk|.

Define una métrica en Rn. En el caso particular n = 2, dibuje una representación gráfica dela bola B((0, 0), 1) en R2 y del conjunto B((0, 0), 1).

3 Para los siguientes ejercicios asumir que (X, d) es un espacio métrico.

a Probar que si Y ⊂ X , Int(Y ) coincide con la unión de todos los subconjuntos abiertosde X que están contenidos en Y .

b Probar que si Y ⊂ X , Y coincide con la intersección de todos los subconjuntos cerradosde X que contienen a Y .

c Un conjunto de la forma B̂(x; r) := {y ∈ Y |d(x, y) ≤ r} es llamado una bola cerrada.Probar que una bola cerrada es un conjunto cerrado. Es B̂(x; r) siempre igual a B(x; r)?Es cierto lo anterior para X = Rn? Probar sus respuestas.


d Un punto x ∈ X es un punto lı́mite de un subconjunto S de X si toda bola B(x; r)contiene infinitos puntos de S. Probar que x es un punto lı́mite de S ssi existe unasucesión {xn} en S tal que xn → x y xn 6= x para cada n. Probar que el conjunto depuntos lı́mite de S es cerrado.

e Un punto x ∈ S es un punto aislado de S si existe r > 0 tal que B(x; r) ∩ S = {x}.Probar que la clausura de un subconjunto S de X es la unión disjunta de los puntoslı́mite y los puntos aislados de S.

f Tenemos que dos métricas d y ρ son equivalentes ssi las sucesiones convergetes en(X, d) son las mismas sucesiones convergentes en (X, ρ). Dada la función ρ en X × Xdefinida por

ρ(x, y) := mı́n{1, d(x, y)}, x, y ∈ X.

Probar que ρ es una métrica y que es equivalente d.

3. Una sucesión {xk}∞k=1 en un EM (X, d) es una sucesión rápida de Cauchy is

∞∑k=1

d(xk, xk+1)


13. Probar que dos métricas d y ρ para X son equivalentes ssi el mapa identidad id : (X, d) →(X, ρ), x 7→ x es bicontı́nuo (es decir, el mapa y su inverso son contı́nuos).

14. Dados (X, dX) y (Y, dY ) EM, α, β > 0, y dada f ∈ Y X biyectiva (uno-a-uno y sobre). Probarque si αdX(x, y) ≤ dY (f(x), f(y)) ≤ βdX(x, y) para cualquier par x, y ∈ X , entonces f ∈C(X,Y ). ¿Es f−1 continua?

15. Probar que si (X, d) es un EM, para cada x0 ∈ X , la función X → R, x 7→ d(x0, x) es unafunción uniformemente contı́nua de X a R.

16. Sea (X, d) un EM. Probar o refutar las siguientes proposiciones:

(a) Si Y ⊂ X , int(Y ) coincide con la unión de todos los subconjuntos abiertosde X queestán contenidos en X .

(b) Si Y ⊂ X , Y coincide con la intersección de todos los subconjuntos cerrados de X quecontienen a Y .

(c) Para cada x ∈ X , int(X\{x}) = X\{x}.

17. Determine las clausuras de los siguientes SE métricos de R respecto de la métrica usual:

(a) A = {1/n|x ∈ Z+}(b) B = {1− 1/n|n ∈ Z+}(c) C = {x|0 < x < 1}(d) C = {x|0 < x ≤ 1}

18. Probar que una función f : X → Y es contı́nua ssi f−1(E) es un subconjunto cerrado de Xpara todo subconjunto cerrado E de Y .

19. Probar que si S es un subconjunto de un ET X , entonces S es la intersección de todos losconjuntos cerrados que contienen a S.

20. Probar que si B es una base para una topologı́a sobre X , entoncces la topologı́a generadapor B es igual a la intersección de todas las topologı́as sobre X que contienen a B. Calcularuna base para la topologı́a relativa del conjunto de números enteros Z ⊂ R, con respecto ala topologı́a usual en R.

21. Sea {Tα} una familia de topologı́as sobre X . Pruebe que existe una única topologı́a sobre Xmás pequeña entre todas las que contienen a todas las colecciones Tα, y una única topologı́amás grande entre todas las que están contenidas en toda Tα.

22. Sea X = [0, 8] ∩ Z y sea f ⊂ X ×X la función definida por

f = {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 0), (4, 1), (5, 2), (6, 0), (7, 1), (8, 2)}.

Sea ∼ la relación de equivalencia en X × X definida por la regla x ∼ y ssi f(x) = f(y).Calcular:

(a) La topologı́a más pequeña TX de X que contiene a {{0, 3, 6}, {1, 4, 7}, {2, 5, 8}}.(b) La topologı́a cociente TX/∼ con respecto a TX .(c) Calcular las componentes conexas C(π(x)) y π(C(x)) para cada x ∈ X . Donde π : X →

X/ ∼ es la proyección natural sobre el espacio cociente X/ ∼.


23. Sea S1 un ET homeomorfo a {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}. Probar que el ET S1 × S1 × S1 escompacto y CPT.

24. Un punto p de un ET X es un punto de corte si X\{p} es desconexo.

(a) Probar que la propiedad de tener un punto de corte es una propiedad topológica.

(b) Utilizar la propiedad topológica de punto de corte para probar que (0, 1) y [10, 100) noson homeomorfos. Son [π,

√2) y (−∞, π] homeomorfos?

25. (a) Probar en detalle que la propiedad de ser conexo es una propiedad topológica.

(b) Probar que si X es un ET homeomorfo a [0, 1], entonces X es conexo.

26. Se dice que un ET X tiene la propiedad de punto fijo (PPF) si cada mapa f : X → X tiene unpunto fijo. Propiedad que la PPF es una propiedad topológica.

27. Probar or refutar que los siguientes ET son CPT:

(a) S1 'h {(x, y) ∈ R2|x2 + y2 = 1}(b) S2 'h {(x, y, z) ∈ R3|x2 + y2 + z2 = 1}(c) X = S1 × S1 × S1 × S2

(d) R∗2 = R2\{(0, 0)}.

28. Probar en detalle que la propiedad de ser conexo es una propiedad topológica.

29. Probar que cada subconjunto conexo de R es un intervalo.

30. Un punto p de un ET X es un punto de corte si X\{p} es desconexo. Probar que la propiedadde tener un punto de corte es una propiedad topológica.

31. Sea f ∈ C([0, 1],Rn), n ≥ 2, una función uno-uno. Probar que f([0, 1]) no tiene interior.

32. Un ET es totalmente desconexo si sus componentes conexas son todas singuletes. Probar quecualquier espacio métrico contable es totalmente desconexo.

33. Probar que cada componente conexa de un ET es cerrada.

34. Mostrar por contraejemplo que una componente conexa de un ET no es necesariamenteabierta.

35. Un ET es localmente conexo (LC) si, para cada punto p ∈ X y cada conjunto abierto U quecontiene a p, existe un conjunto abierto conexo V con p ∈ V y V ⊂ U . Probar que cadacomponente conexa de un ET LC es abierta.

36. Probar que cualquier subintervalo de R (cerrado, abierto, o semiabierto) es CPT.

37. Probar que la propiedad de ser CPT es una propiedad topológica.

38. Probar que si X es CPT y f : X → Y es un mapa, entonces f(X) es CPT.

39. Un espacio X es localmente conexo por trayectorias (LCPT) si, para cada subconjunto abiertoV de X y cada x ∈ V , existe un vecindario U de x tal que x puede conectarse a cada puntode U por una trayectoria en V . Probar que las componentes de trayectorias de un ET LCPTcoinciden con las componentes conexas.


40. Probar que si Ej es un subconjunto cerrado de Xj , 1 ≤ j ≤ n, entonces E1 × · · · × En es unsubconjunto cerrado de X1 × · · · ×Xn.

41. Probar que las componentes conexas de X1 × · · · × Xn son los conjuntos de la forma E1 ×× · · · × En, donde Ej es una componente conexa de Xj , 1 ≤ j ≤ n. Probar que un resultadosimilar es válido para componentes de trayectorias.

42. Probar que cada proyección πβ de ΠXα sobre un espacio coordenadoXβ es un mapa abierto.

43. Probar que el producto de espacios de Hausdorff es de Hausdorff.

44. Sea X/ ∼ el espacio cociente determinado por una relación de equivalencia ∼ en un ET X .Probar las siguientes afirmaciones:

(a) Si X es compacto, entonces X/ ∼ es compacto.(b) Si X es conexo, entonces X/ ∼ es conexo.(c) Si X es CPT, entonces X/ ∼ es CPT.

45. Sea f un mapa abierto contı́nuo de un ET X sobre un ET Y . Probar que Y es homeomorfo alespacio cociente de X obtenido al identificar cada conjunto de nivel de f con un punto.

46. Sea X = X1 × · · · × Xn un producto de espacios topológicos. Definir una relación deequivalencia ∼ en X declarando que (x1, . . . , xn) ∼ (y1, . . . , yn) ssi x1 = y1. Probar queX/ ∼ es homeomorfo a X1. Probar un resultado análogo para un espacio producto infinitoX =

∏α∈AXα.

Parte II

Teorı́a de Homotopı́as

27

Capı́tulo 2

Teorı́a de Homotopı́as

Objetivos

1. Definir las conceptos fundamentales de teorı́a de homotopı́as.

2. Presentar las propiedades y resultados fundamentales en teorı́a de homotopı́as.

2.1. Elementos de Teorı́a de Grupos

Definición 2.1.1. Un grupo es un par (G, ∗), donde G es un conjunto y ∗ es una operación quecumplen las condiciones:

G1: Para cada a, b ∈ G: a ∗ b ∈ G (propiedad de clausura).

G2: Para cada a, b, c ∈ G: a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c (propiedad asociativa).

G3: Existe e ∈ G (denominado elemento neutro de G) tal que: a ∗ e = a = e ∗ a, para cada a ∈ G.

G4: Para cada a ∈ G, existe a−1 ∈ G (denominado inverso de a enG) tal que: a∗a−1 = e = a−1∗a.

El cardinal |G| se denomina orden del grupo G. En casos especiales en los que además de lascondiciones anteriores, se cumple que a ∗ b = b ∗ a para cada a, b ∈ G, se dice que G es un grupoconmutativo o Abeliano.

Ejemplo 1. El par (R,+) formado por el conjunto de números reales y la operación de suma usualde números reales es un grupo (aditivo) conmutativo, como se verifica a continuación. En efecto,la clausura, asociatividad y conmutatividad son consecuencia de las propiedades de la suma usualde números reales. Por propiedades deR, existe un elemento neutro 0 ∈ R tal que para cada x ∈ R,x + 0 = x = 0 + x. Por propiedades de R, para cada x ∈ R existe un inverso (aditivo) −x ∈ R talque x+ (−x) = 0 = (−x) + x.

Ejemplo 2. El par (Z,+) formado por el conjunto de números enteros y la operación de sumausual de números enteros es un grupo (aditivo) conmutativo, como se verifica a continuación.En efecto, la clausura, asociatividad y conmutatividad son consecuencia de las propiedades de lasuma usual de números enteros. Por propiedades de Z, existe un elemento neutro 0 ∈ Z tal quepara cada z ∈ Z, z + 0 = z = 0 + z. Por propiedades de Z, para cada z ∈ Z existe un inverso(aditivo) −z ∈ Z tal que z + (−z) = 0 = (−z) + z.

29

30 CAPÍTULO 2. TEORÍA DE HOMOTOPÍAS

Ejemplo 3. El par (GL(n), ·) formado por el subconjunto de matrices complejas de n × n determi-nado por la expresión

GL(n) = {X ∈ Cn×n : det(X) 6= 0}

y la operación de producto usual de matrices · (representado por la yuxtaposición de las matricesmultiplicadas) es un grupo (multiplicativo) no conmutativo, como se verifica a continuación. Enefecto, dadas X,Y ∈ GL(n), det(XY ) = det(X) det(Y ) 6= 0 dado que det(X) 6= 0 y det(Y ) 6= 0. Laasociatividad es consecuencia de las propiedades del producto usual de matrices. Si In representala matriz identidad enCn×n, dado que det(In) = 1 6= 0 =⇒ In ∈ Cn×n, como para cadaX ∈ GL(n)se cumple que XIn = X = InX =⇒ (GL(n), ·) cumple la condición de existencia de elementoneutro. Dada X ∈ GL(n) se cumple que X−1 ∈ GL(n) dado que det(X−1) = det(X)−1 6= 0 dadoque det(X) 6= 0, y por propiedades de la inversa de una matriz invertible XX−1 = In = X−1X=⇒ (GL(n), ·) cumple la condición de existencia de inversa.

Definición 2.1.2. Dados dos grupos (G, ∗), (H,~), una función f : G → H es un homomorfismo(de grupos) si para cada a, b ∈ G: f(a ∗ b) = f(a) ~ f(b). Si f es inyectiva se dice que f es unmonomorfismo, si f es sobreyectiva se dice que f es un epimorfismo, si f es biyectiva se dice quef es un isomorfismo. Cuando existe un isomorfismo entre dos grupos (G, ∗), (H,~) se dice que Gy H son isomorfos, lo que se denota por G ∼= H . El conjunto de isomorfismos de G a H se denotapor Iso(G,H). Si h : G → G es un isomorfismo (h ∈ Iso(G,G)), se dice que h es un automorfismode G. El conjunto de automorfismos de G se denota por Aut(G).

Ejemplo 4. Considerando el grupo (Z,+), toda función f : Z→ Z definida por la expresión f(z) =kz para k ∈ Z, es un homomorfismo, como se verifica a continuación. Dado que para cada z ∈ Z,kz ∈ Z por propiedades de los números enteros, dados x, y ∈ Z, f(x+ y) = k(x+ y) = kx+ ky =f(x) + f(y) =⇒ f es un homomorfismo.

Definición 2.1.3. Dado un grupo (G, ∗) y dado S ⊂ G, se dice que S es un subgrupo de G si (S, ∗)es un grupo, lo cual se denota por S < G.

Ejemplo 5. Con respecto a la operación + de suma usual en R, Z < R.Ejemplo 6. Con base en los ejemplos previos, por propiedades de la suma de vectores en Rn esclaro que el conjunto

Zn = {(z1, . . . , zn) ∈ Rn : z1, . . . , zn ∈ Z}

es un subgrupo (aditivo) conmutativo del grupo (aditivo) conmutativo (Rn,+) donde + es laoperación de suma usual de vectores en Rn.

Definición 2.1.4. Dados dos grupos (G, ∗), (H,~), y un homomorfismo f : G → H , si eG, eHdenotan los elementos neutros de G y H , respectivamente. Se define el núcleo ker(f) como elconjunto ker(f) = {k ∈ G : f(k) = eH}.

Ejemplo 7. Sea f : R2 → R2 la función definida por la expresión f(x, y) = (2x−4y, x−2y), es claroque f es un homomorfismo de (R2,+) a (R2,+). Dado que (0, 0) es el elemento neutro de R2, esposible obervar que ker(f) es el conjunto determinado por la siguiente expresión.

ker(f) = {(x, y) ∈ R2 : f(x, y) = (0, 0)}= {(x, y) ∈ R2 : (2x− 4y, x− 2y) = (0, 0)}= {(x, y) ∈ R2 : x = 2y}= {(2y, y) : y ∈ R}

2.1. ELEMENTOS DE TEORÍA DE GRUPOS 31

Observación 2.1.5. Dados dos grupos (G, ∗), (H,~), y un homomorfismo f : G → H , es posibleobservar que:

f(eG) = f(eG ∗ eG) = f(eG)~ f(eG)=⇒

f(eG) = f(eG)−1 ~ f(eG) = eH . (2.1.1)

Ahora es posible observar que:

eH = f(eG) = f(a−1 ∗ a) = f(a−1)~ f(a)

=⇒f(a−1) = eH ~ (f(a))

−1 = (f(a))−1. (2.1.2)

Ejercicio Resuelto 2.1.1. Dados dos grupos (G, ∗), (H,~), y un homomorfismo f : G → H , de-mostrar o refutar que ker(f) < G.

Demostración. Sean eG y eH los elementos neutros de G y H respectivamente. Dados a, b ∈ker(f), f(a ∗ b) = f(a)~ f(b) = eH ~ eH = eH =⇒ a ∗ b ∈ ker(f). La asociatividad es consecuenciainmediata de la propiedad de clausura verificada anteriormente y las propieades heredadas delproducto ∗ en G. Por (2.1.1) eG ∈ ker(f). Por (2.1.2), dado a ∈ ker(f), f(a−1) = (f(a))−1 = e−1H =eH =⇒ a−1 ∈ ker(f). Esto concluye la demostración.Definición 2.1.6. Dado un grupo (G, ∗) y un conjunto S ⊂ G, se denomina (sub)grupo generadopor S el subgrupo más pequeño de G que contiene a S. Se escribe 〈S〉 para denotar el (sub)grupogenerado por S, en el caso particular S = {g}, se escribe 〈g〉 en lugar de 〈{g}〉. Los grupos de laforma 〈g〉 reciben el nombre de grupos cı́clicos. El orden |g| de un elemento g ∈ G es el el enteropositivo más pequeño tal que g|g| = eG, donde eG denota el elemento netro de G, si para g noexiste un entero positivo que cumple la condición anterior se dice que g tiene orden infinito.

Observación 2.1.7. Es importante establecer que en este curso la operación 〈g〉 se aplicará tantoa elementos de grupos abstractos, como a elementos de representaciones concretas de gruposabstractos.Ejemplo 8. El grupo (Z,+) es un grupo cı́clico (aditivo) de orden infinito, dado que 〈1〉 = Z = 〈−1〉.Ejemplo 9. Si se considera el conjunto S4 = {1, i,−1,−i} ⊂ C donde i =

√−1, y la operación de

producto · (multiplicación) usual en C, una verificación rápida permite establecer que (S4, ·) es ungrupo cı́clico (multiplicativo) de orden finito |S4| = 4, dado que 〈i〉 = S4 = 〈−i〉.Ejercicio para el lector 2.1.1. Considerando el conjunto S = {z ∈ C : |z| = 1} ⊂ C.

1. Demostrar que (S, ·) es un grupo con respecto al producto usual · de números complejos.

2. Demostrar que |Aut(S)| > 1 (el conjunto de automorfismos de S contiene más de un elemen-to).

3. Demostrar que la función f : R → S : t 7→ exp(2πit) define un homomorfismo del grupo(aditivo) (R,+) al grupo multiplicativo (S, ·).

4. Calcular ker(f), para la función f : R→ S definida en el item 3.

5. Demostrar que el conjunto S(n) = {z ∈ C : zn = 1} es un subgrupo cı́clico de (S, ·). Además:

a) Calcular un generador s de S(n).b) Calcular el orden de S(n).

Ejercicio para el lector 2.1.2. Dado un grupo (G, ∗) y dado g ∈ G, si se define la función ĝ : G→ Gpor ĝ(x) = gxg−1. Demostrar o refutar que ĝ ∈ Aut(G).


2.2. Principios de Homotopı́as

Definición 2.2.1. Dados dos espacios topológicos X,Y y dadas f0, f1 ∈ C(X,Y ), una homotopı́ade f0 a f1 es una familia (net) de funciones {f̂t}t∈[0,1] ⊂ C(X,Y ) tal que f̂0 = f0 y f̂1 = f1.

Suposición 2.2.2. A partir de esta sección se aplicará el lema 1.3.2 (Lema de pegamiento) sin re-ferencia explı́cita, cada vez que sea necesario establecer la continuidad de funciones seccionadasque cumplen las condiciones del enunciado del lema.

Observación 2.2.3. Con base en la definición previa es posible observar que dados dos espaciostopolóficos, una homotopı́a entre dos mapas f, g ∈ C(X,Y ) puede interpretarse como una funciónh ∈ C(X × [0, 1], Y ) tal que.

h(x, s) ∈ Y, s ∈ [0, 1]h(x, 0) = f(x)h(x, 1) = g(x)

, x ∈ X (2.2.1)

Homotopı́as entre mapas arbitrarios f, g que solamente complen la condición (2.2.1) se deno-minan homotopı́as libres, dado que las únicas restricciones están dadas por la continuidad deh : X × [0, 1]→ Y y por (2.2.1).Suposición 2.2.4. Dada la importancia del espacio topológico [0, 1] ⊂ R1 en el trabajo de clasifica-ción de espacios topológicos correspondiente a este curso, a partir de este punto se asumirá cierto(sin necesidad de verificación/demostración) que [0, 1] es un sub-conjunto compacto del espaciotopológico R1 (con respecto a la topologı́a métrica usual inducida por la métrica d : R × R → Rdeterminada por d(x, y) = |x− y|, x, y ∈ R).

En el caso de mapas (trayectorias) en C([0, 1], X) en un espacio topológico X , además de ho-motopı́as libres, se considerarán homotopı́as con algunas restricciones adicionales. Un ejemplográfico de homotopı́a libre entre dos trayectorias en C\{0} se ilustra en la fig. 2.1.

Observación 2.2.5. Es importante observar que la expresiónfs(t) =γp(t)|γp(t)|s , 0 ≤ s, t ≤ 1 define una

homotopı́a dado que γ([0, 1]), γp([0, 1]) ⊂ C\{0} de manera que 0 /∈ γ([0, 1]), γp([0, 1]), si no seconsidera esta restricción para los rangos de γ, γp la expresión ft(s) podrı́a no estar bien definiday no podrı́a definir una homotopı́a. Esta es una de las razones por las que el conjunto en el que seestá considerando la homotopı́a es importante.

2.3. Trayectorias Homotópicas

Definición 2.3.1. Dadas dos trayectorias γ0, γ1 ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X talesque γ0(0) = γ1(0) y γ0(1) = γ1(1), se define una homotopı́a con puntos extremos fijos como unahomotopı́a {γ̂t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X) que cumple las siguiente restricciones.

γ̂s(t) ∈ Xγ̂s(0) = γ0(0) = γ1(0)γ̂s(1) = γ0(1) = γ1(1)γ̂0(t) = γ0(t)γ̂1(t) = γ1(t)

, s, t ∈ [0, 1] (2.3.1)

Notación 2.3.2. Dadas dos trayectorias γ0, γ1 ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X , se escri-birá que γ0, γ1 son homotópicas con puntos extremos fijos si γ0(0) = γ1(0) y γ0(1) = γ1(1) y si

2.3. TRAYECTORIAS HOMOTÓPICAS 33

Figura 2.1: Ilustración gráfica de una homomtopı́a libre {fs}s∈[0,1] ⊂ C([0, 1],C\{0}) en C\{0}entre dos trayectorias γ : [0, 1] → S (representada por curva coloreada en negro) y γp = p ◦ γ :[0, 1] → p(S ) (representada por curva coloreada en rojo), para S = {z ∈ C : |z| = 1} ⊂ C\{0},γ(t) = exp(2πit) para t ∈ [0, 1], p ∈ C[z] definido por p(z) = 110z

8 + 110z7 + 110z

6 + 110z5 + 110z

4 +110z

3 + 12z2 + 95z −

710 y fs(t) =

γp(t)|γp(t)|s , 0 ≤ s, t ≤ 1.

existe una homotopı́a {γ̂t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X) que cumple las restricciones (2.3.1), la condición deγ0, γ1 de ser homotópicas con puntos extremos fijos se denotará de forma abreviada en este cursocomo γ0 ∼h γ1.

Un ejemplo gráfico de homotopı́a con puntos extremos fijos entre dos trayectorias en C\{0} seilustra en la fig. 2.2.

Notación 2.3.3. A partir de este punto, dados dos conjuntos X,Y escribiremos Y X para denotarel sub-conjunto de X × Y determinado por el conjunto de todas las funciones de X a Y .

Lema 2.3.4. La relación ∼h es una relación de equivalencia entre trayectorias en un espacio topológico.

Demostración. Sea X un espacio topológico. Dada α ∈ C([0, 1], X), es claro que la familia de fun-ciones {αt}t∈[0,1] ⊂ X [0,1] definida por αt(s) = α(s) para cada t, s ∈ [0, 1] es una homotopı́a de α aα. En efecto, αt = α ∈ C([0, 1], X) para cada t ∈ [0, 1], α0 = α, α1 = α y αt(0) = α(0) y αt(1) = α(1)para cada t ∈ [0, 1] =⇒ α ∼h α.

Dadas α, β ∈ C([0, 1], X) tales que α ∼h β, se cumple que existe una homotopı́a con puntosextremos fijos {α̂t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X) de α a β. Es claro con base en la definición de la operación∼h que la familia {α̂1−t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X) define una homotopı́a de β a α =⇒ β ∼h α.

Dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], X) tales que α ∼h β y β ∼h γ, se cumple que existen homotopı́ascon puntos extremos fijos {α̂t}t∈[0,1], {β̂t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X) de α a β y de β a γ, respectivamen-te. Es claro con base en la definición de la operación ∼h que la familia {γ̂t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X)determinada por la expresión

γ̂t(s) =

{α̂2t(s), t ∈ [0, 1/2]β̂2t−1(s), t ∈ [1/2, 1]

define una homotopı́a de α a γ =⇒ α ∼h γ. Los argumentos previos implican que la relación ∼hes reflexiva, simétrica y transitiva, por tanto ∼h es una relación de equivalencia.


Figura 2.2: Ilustración gráfica de una homomtopı́a con puntos extremos fijos {f}s∈[0,1] ⊂C([0, 1],C\{0}) en C\{0} entre dos trayectorias γ : [0, 1] → S (representada por curva co-loreada en negro) y γp : [0, 1] → p(S ) (representada por curva coloreada en rojo), paraS = {z ∈ C : |z| = 1} ⊂ C\{0}, γ(t) = exp(2πit) para t ∈ [0, 1], p ∈ C[z] definido porp(z) = 110z

8 + 110z7 + 110z

6 + 110z5 + 110z

4 + 110z3 + 12z

2 + 95z −710 , γp(t) = p(exp(2πit)) − p(1) + 1

para t ∈ [0, 1] y fs(t) = γp(t)|γp(t)|s , 0 ≤ s, t ≤ 1.

Notación 2.3.5. Dada una trayectoria α ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X , en este curso seescribirá [α]h para denotar la clase de equivalencia (de homotopı́a) de α, la cual está determinadapor la expresión [α]h = {γ ∈ C([0, 1], X) : γ ∼h α}.

Tanto en la fig. 2.1 como en la fig. 2.2 se ilustran tipos de trayectorias que jugarán un papelfundamental en el trabajo de clasificación de espacios topológicos correspondiente a este curso.

Definición 2.3.6. Dado un espacio topológicoX y un punto x ∈ X . Una trayectoria γ ∈ C([0, 1], X)se denomina un bucle o lazo enX con base en x, si γ(0) = x = γ(1). El conjunto de todos los buclesen X con base en x se denotará por π(X,x) en este curso.

Observación 2.3.7. Dado un espacio topológico X y dado x ∈ X . Es claro que π(X,x) = {α ∈C([0, 1], X) : α(0) = x = α(1)}

Notación 2.3.8. Dados dos espacios topológicos X,Y y un punto y ∈ Y , en este curso se escribiráŷ para denotar la función ŷ : X → Y definida por ŷ(x) = y para cada x ∈ X .

Ejercicio para el lector 2.3.1. Demostrar que dados dos espacios topológicos X,Y , ŷ ∈ C(X,Y )para cada y ∈ Y . Aplicar este hecho para demostrar que π(X,x) 6= ∅ para cada x ∈ X .

Definición 2.3.9. Dado un espacio topológico X y dos trayectorias α, β ∈ C([0, 1], X) tales queα(1) = β(0), se escribirá α ∗ β para denotar la trayectoria en C([0, 1], X) definida por la siguienteexpresión.

α ∗ β(t) ={α(2t), 0 ≤ t ≤ 1/2β(2t− 1), 1/2 ≤ t ≤ 1 (2.3.2)

La operación ∗ entre trayectorias recibirá el nombre de concatenación o producto de trayectorias.


Observación 2.3.10. Es importante observar que para que la operación ∗ entre dos trayectoriasα, β ∈ C([0, 1], X) esté bien definida en C([0, 1], X) es fundamental que α(1) = β(0) dado que delo contrario α ∗ β podrı́a no ser un elemento de α ∗ β.Ejemplo 10. Dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], [0, 1]2) definidas por las expresiones: α(t) = (t, t), β(t) =(t+ 1, 1) y γ(t) = (t+ 2, 1− t) para t ∈ [0, 1]. En la fig. 2.3 se ilustran las trayectorias resultantes delas operaciones α ∗ β, β ∗ γ y (α ∗ β) ∗ γ.

Figura 2.3: Operaciones: α ∗ β (arriba), β ∗ γ (centro), (α ∗ β) ∗ γ (abajo).

Observación 2.3.11. Es importante observar que en general, dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], X) para unespacio topológicoX , tales que los productos (α∗β)∗γ y α∗(β∗γ) están bien definidos, (α∗β)∗γ 6=α ∗ (β ∗ γ), en general.Ejercicio para el lector 2.3.2. Verificar que el producto de trayectorias no es asociativo (en el sen-tido de la observación 2.3.11).

Definición 2.3.12. Dada una trayectoria α ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X , en este cursoescribiremos α+ para denotar la trayectoria inversa correspondiente a α, la cual se define por laexpresión α+(t) = α(1− t), t ∈ [0, 1].Ejercicio para el lector 2.3.3. Demostrar que para cada trayectoria α ∈ C([0, 1], X) en un espaciotopológico X : α ∗ α+ ∈ π(X,α(0)) y α+ ∗ α ∈ π(X,α(1)).


Definición 2.3.13. Un (sub)espacio topológico (métrico) X ⊂ Rn se denomina convexo si paracada x, y ∈ X : sx+ (1− s)y ∈ X para cada s ∈ [0, 1].

Lema 2.3.14. Dado un (sub)espacio convexo X ⊂ Rn para cualquier par α, β ∈ C([0, 1], X), si α(0) =β(0) y α(1) = β(1) entonces α ∼h β.

Demostración. Dadas α, β ∈ C([0, 1], X) tales que α(0) = β(0) y α(1) = β(1). Si se define α̂t(s) =(1 − t)α(s) + tβ(s) para s, t ∈ [0, 1], es claro que α̂t ∈ C([0, 1], X) para cada t ∈ [0, 1] por pro-piedades del cálculo elemental en varias variables dado que de forma estándar, se asume queα, β ∈ C([0, 1], X) con respecto a la topologı́a métrica usual sobre Rn.

Se cumple además que α̂t(s) = (1 − t)α(s) + tβ(s) ∈ X para cada s, t ∈ [0, 1], dado queα(s), β(s) ∈ X y X es convexo. También es posible verificar que para cada s, t ∈ [0, 1] se cumplenla siguientes condiciones.

α̂t(0) = (1− t)α(0) + tβ(0) = (1− t)α(0) + tα(0) = α(0)α̂t(1) = (1− t)α(1) + tβ(1) = (1− t)α(1) + tα(1) = α(1)α̂0(s) = α(s)

α̂1(s) = β(s)

Las observaciones y argumentos previos implican que la familia {α̂t}t∈[0,1] define una homotopı́acon puntos extremos fijos de α a β. Por tanto α ∼h β.

Proposición 2.3.15. Dada una trayectoria α ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X , y dada una(re)parametrización ρ : [0, 1]→ [0, 1] tal que ρ(0) = 0 y ρ(1) = 1. Se cumple que [α ◦ ρ]h = [α]h.

Ejercicio para el lector 2.3.4. Verificar la proposición 2.3.15.

Proposición 2.3.16. Dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X tales que las operaciones(α ∗ β) ∗ γ y α ∗ (β ∗ γ) están bien definidas, se cumple que [(α ∗ β) ∗ γ]h = [α ∗ (β ∗ γ)]h.

Ejercicio para el lector 2.3.5. Verificar la proposición 2.3.16.

2.3.1. Discusión Complementaria: Cómputo de homotopı́as

2.3.2. Casos de Estudio

Caso 1:

Ejercicio Resuelto 2.3.1. Considerando el sub-espacio topológico

D2 = {z ∈ C : |z| ≤ 1} ⊂ C

y las funciones {γt}t∈[0,1] α : [0, 1]→ D2 : t 7→ exp(2πit) y β = 1̂ ∈ (D2)[0,1].

Demostrar/verificar que α, β ∈ π(D2, 1).

Demostración. Por propiedades elementales de funciones de variable complejaα, 1̂ ∈ C([0, 1],C),en particular α, 1̂ ∈ C([0, 1],D2), dado que α([0, 1]) = {z ∈ C : |z| = 1} ⊂ D2 y β([0, 1]) ={1} ⊂ D2. Dado que además, α(0) = e2πi0 = 1 = e2πi1 = α(1) y β(1) = 1̂(0) = 1 = 1̂(1) =β(1). Se cumple por tanto que α, β ∈ π(D2, 1).


Demostrar o refutar que [α]h = [β]h.

Demostración. Basta construir una homotopı́a {γt}t∈[0,1] con puntos extremos fijos entre α yβ. En efecto, si se define γt(s) = (1 − t)α(s) + tβ(s) para s, t ∈ [0, 1]. Por propiedades delmódulo de números complejos es posible observar que para cada 0 ≤ s, t ≤ 1:

|γt(s)| = |(1− t)γ(s) + tβ(s)|≤ (1− t)|γ(s)|+ t|β(s)|= (1− t)

∣∣e2πis∣∣+ t · |1|≤ (1− t) + t = 1

=⇒ γt(s) ∈ D2 para cada s, t ∈ [0, 1]. Por propiedades de funciones de variables complejasγt ∈ C([0, 1],D2) para cada t ∈ [0, 1]. Además es claro con base en la definición de γ queγ0 = α, γ1 = β y también:

γt(0) = (1− t)γ(0) + tβ(0)= (1− t) · 1 + t · 1 = 1

γt(1) = (1− t)γ(1) + tβ(1)= (1− t) · 1 + t · 1 = 1

Con base en las observaciones y verificaciones anteriores se cumple entonces que {γt}t∈[0,1]es una homotopı́a con puntos extremos fijos entre α y β. =⇒ α ∼h β. Por tanto [α]h =[β]h.

En caso de que [α]h = [β]h calcular de forma explı́cita una homotopı́a con puntos extre-mos fijos {γt}t∈[0,1] de α a β. Solución. La homotopı́a ya fue construida como parte de lademostración del inciso anterior.

Observación 2.3.17. Es importante observar que la fórmula utilizada para definir la homo-topı́a {γt}t∈[0,1] funciona solamente en espacios topológicos para los cuales la operación(1− s)x+ sy está bien definida para y ∈ X fijo, y para cada x ∈ X y s ∈ [0, 1], y si ademásse cumple que (1 − s)x + sy ∈ X . De manera que si un espacio topológico no cumple es-tas condiciones, la fórmula utilizada para definir γ no producirı́a una homotopı́a como seilustrará en el siguiente caso de estudio.

Observación 2.3.18. Para ilustrar gráficamente las curvas producidas por homotopı́as comolas calculadas en la demostración del inciso anterior es posible utilizar el programa OctaveHomotopy1.m cuyo código se muestra a continuación.

function [z,xt]=Homotopy1(m,k,N,type)%%% Examples:% [z,xt]=Homotopy1(100,1,32,0);% [z,xt]=Homotopy1(100,1,32,1);%%s=0:1/m:1;z=exp(2*pi*i*s);plot(real(z),imag(z),’r’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);


axis equal;axis tight;if type==1hold on;ends=0:1/N:1;for t=2:k:Nxt=(1-s(t))*z+s(t);plot(real(z),imag(z),’r’,’linewidth’,2,real(xt),...

imag(xt),’b’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);axis equal;axis tight;pause(.4);endif type==1hold off;end

Un ejemplo de ejecución del programa Homotopy1.m se muestra a continuación.

>> [z,xt]=Homotopy1(100,1,32,1);

La salida gráfica producida por el programa se muestra en la fig. 2.6.

Figura 2.4: Salida gráfica producida por el programa Homotopy1.m.


Caso 2:

Ejercicio para el lector 2.3.6. Dado r > 0. Considerando el sub-espacio topológico

D2r = {z ∈ C : r ≤ |z| ≤ 1} ⊂ C


Demostrar/verificar que α, β ∈ π(D2, 1).Idea: Aplicar idea similar a la utilizada demostración del primer inciso del caso 1.


Idea: Esta declaración es falsa dado que α �h β.

En caso de que [α]h = [β]h calcular de forma explı́cita una homotopı́a con puntos extremosfijos {γt}t∈[0,1] de α a β.Idea: No es posible dado que α �h β.Observación 2.3.19. Para ilustrar gráficamente que α �h β es posible utilizar el programaOctave Homotopy2.m cuyo código se muestra a continuación.

function [x0,xt,x1]=Homotopy2(r,n,m,N,k,type)%%% Examples:% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.02,2.2,400,128,4,0);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.02,2.2,400,128,4,1);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,3.2,400,128,4,0);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,3.2,400,128,4,1);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,.2,400,128,4,1);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,.2,400,128,4,0);%%x0=0*ones(1,m+1);y=-1/2:1/m:1/2;x1=(log(r)/(2*pi))*ones(1,m+1);N1=floor(N/2);N2=ceil(N/2);w0=exp(2*pi*(x0+i*y));w1=exp(2*pi*(x1+i*y));plot(real(w0),imag(w0),’r’,’linewidth’,2,real(w1),imag(w1),’k’,...’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);axis equal;axis tight;if type==1hold on;endfor t=1:k:N1xt=(t*(log(r)/pi)/N1)*(abs(y).ˆ(1/n))*(2ˆ(1/n-1));wt=exp(2*pi*(xt+i*y));plot(real(w0),imag(w0),’r’,’linewidth’,2,real(w1),imag(w1),’k’,...’linewidth’,2,real(wt),imag(wt),’b’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,...


’markersize’,22);axis equal;axis tight;pause(.4);endp=[-2 3 0 0];p=@(x)polyval(p,x);xp=p(y+1/2);for t=N2:k:Nxt=(log(r)/pi)*(abs(xp-1/2).ˆ(1/n))*(2ˆ(1/n-1));wt=exp(2*pi*(xt+i*y));plot(real(w0),imag(w0),’r’,’linewidth’,2,real(w1),imag(w1),’k’,...’linewidth’,2,real(wt),imag(wt),’b’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,...’markersize’,22);axis equal;axis tight;pause(.4);xp=p(xp);

endif type==1%plot(real(w1),imag(w1),’k’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);hold off;end

Dos ejemplos de ejecución del programa Homotopy2.m para calcular elementos en [α]h semuestran a continuación.

>> [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,2.2,400,128,4,1);>> [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,.2,400,128,4,1);

Las salidas gráficas producidas por las secuencias de comandos previas se muestran en lafig. 2.7.

Figura 2.5: Salidas gráficas producidas por el programa Homotopy2.m.


Caso 3:

Ejercicio para el lector 2.3.7. Considerando el sub-espacio topológico

D2∗ = {z ∈ C : 0 < |z| ≤ 1} ⊂ C

y las funciones {γt}t∈[0,1] α : [0, 1]→ D2∗ : t 7→ exp(2πit) y β = 1̂ ∈ (D2∗)[0,1].

Demostrar/verificar que α, β ∈ π(D2∗, 1).


En caso de que [α]h = [β]h calcular de forma explı́cita una homotopı́a con puntos extremosfijos {γt}t∈[0,1] de α a β.

2.3.3. Cómputo de Homotopı́as de Parametrizaciones y Productos de Trayectorias

Homotopı́as de Parametrizaciones de Trayectorias

Sea considera ρ ∈ C([0, 1], [0, 1]) tal que ρ(0) = 0 y ρ(1) = 1.Observación 2.3.20. Dado que para cada x, y, s ∈ [0, 1]:

0 ≤ |(1− s)x+ sy| ≤ (1− s)|x|+ s|y| ≤ (1− s) · 1 + s · 1 ≤ 1

como consecuencia de que s, 1 − s ≥ 0 y |x|, |y| ≤ 1. Con base en las observaciones anteriores esposible establecer que [0, 1] es convexo.

Observación 2.3.21. Si se considera la función id[0,1] determinada por la expresión id[0,1](s) = spara cada s ∈ [0, 1], por cálculo elemental y propiedades de restricciones de funciones id[0,1] ∈C([0, 1], [0, 1]). Por propiedades de homotopı́as de trayectorias con puntos extremos fijos, ρ ∼h id,dado que [0, 1] es convexo, ρ(0) = 0 = id[0,1](0) y ρ(1) = 1 = id[0,1](1).

Observación 2.3.22. Dado un espacio topológico X , dada α ∈ C([0, 1]) y dada una parametrizaciónρ ∈ C([0, 1], [0, 1]). Dado que por observaciones previas [0, 1] es convexo y ρ ∼h id[0,1], por pro-piedades del cálculo elemental, se cumplirá en particular que la fórmula ρ̂t(s) = (1 − t)ρ(s) + tsproduce una homotopı́a de ρ a id[0,1]. Por observaciones previas y por propiedades de topologı́ageneral {α ◦ ρt}t∈[0,1] definirı́a una homotopı́a con puntos extremos fijos entre α ◦ ρ0 = α ◦ ρ yα ◦ ρ1 = α ◦ id[0,1] = α. De manera que α ◦ ρ ∼h α.

Homotopı́as de Productos de Trayectorias

Dado un espacio topológico X y dadas α, α′, β, β′ ∈ C([0, 1], X) tales que: α ∗ β y α′ ∗ β′ estánbien definidas, α ∼h α′ y β ∼h β′.Observación 2.3.23. Si se consideran las homotopı́as con puntos extremos fijos {α̂t}t∈[0,1], {β̂t}t∈[0,1]entre α, α′ y β, β′, respectivamente. Para cada t ∈ [0, 1]: α̂t ∗ β̂t estarı́a bien definida y ademásα̂t ∗ β̂t ∈ C([0, 1], X), con base en estos hechos, es claro que {α̂t ∗ β̂t}t∈[0,1] define una homotopı́acon puntos extremos fijos entre α ∗ β y α′ ∗ β′, dado que α̂t ∗ β̂t(0) = α(0) = α′(0), α̂t ∗ β̂t(1) =β(1) = β′(1), α̂0 ∗ β̂0 = α ∗β y α̂1 ∗ β̂1 = α′ ∗β′. Con base en las observaciones previas se cumplirı́aque α ∗ β ∼h α′ ∗ β′.

Dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], X) tales que (α ∗ β) ∗ γ y α ∗ (β ∗ γ) están bien definidas, para cadas ∈ [0, 1] es posible realizar la siguiente observación.


Observación 2.3.24.

α ∗ (β ∗ γ)(s) =

α(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2β(4s− 2), 1/2 ≤ s ≤ 3/4γ(4s− 3), 3/4 ≤ s ≤ 1

(α ∗ β) ∗ γ(s) =

α(4s), 0 ≤ s ≤ 1/4β(4s− 1), 1/4 ≤ s ≤ 1/2γ(2s− 1), 1/2 ≤ s ≤ 1

Con base en las observaciones previas, para verificar la propiedad α ∗ (β ∗ γ) ∼h (α ∗ β) ∗ γbastarı́a calcular una parametrización (continua seccionada) de [0, 1] a [0, 1] tal que α ∗ (β ∗ γ)(s) =(α ∗ β) ∗ γ ◦ ρ(s) para cada s ∈ [0, 1].

2.3.4. Discusión Complementaria: Cómputo de homotopı́as

2.3.5. Casos de Estudio

Caso 1:

Ejercicio Resuelto 2.3.2. Considerando el sub-espacio topológico

D2 = {z ∈ C : |z| ≤ 1} ⊂ C


Demostrar/verificar que α, β ∈ π(D2, 1).

Demostración. Por propiedades elementales de funciones de variable complejaα, 1̂ ∈ C([0, 1],C),en particular α, 1̂ ∈ C([0, 1],D2), dado que α([0, 1]) = {z ∈ C : |z| = 1} ⊂ D2 y β([0, 1]) ={1} ⊂ D2. Dado que además, α(0) = e2πi0 = 1 = e2πi1 = α(1) y β(1) = 1̂(0) = 1 = 1̂(1) =β(1). Se cumple por tanto que α, β ∈ π(D2, 1).


Demostración. Basta construir una homotopı́a {γt}t∈[0,1] con puntos extremos fijos entre α yβ. En efecto, si se define γt(s) = (1 − t)α(s) + tβ(s) para s, t ∈ [0, 1]. Por propiedades delmódulo de números complejos es posible observar que para cada 0 ≤ s, t ≤ 1:

|γt(s)| = |(1− t)α(s) + tβ(s)|≤ (1− t)|α(s)|+ t|β(s)|= (1− t)

∣∣e2πis∣∣+ t · |1|= (1− t) + t = 1

=⇒ γt(s) ∈ D2 para cada s, t ∈ [0, 1]. Por propiedades de funciones de variables complejasγt ∈ C([0, 1],D2) para cada t ∈ [0, 1]. Además es claro con base en la definición de γ que


γ0 = α, γ1 = β y también:

γt(0) = (1− t)α(0) + tβ(0)= (1− t) · 1 + t · 1 = 1

γt(1) = (1− t)α(1) + tβ(1)= (1− t) · 1 + t · 1 = 1

Con base en las observaciones y verificaciones anteriores se cumple entonces que {γt}t∈[0,1]es una homotopı́a con puntos extremos fijos entre α y β. =⇒ α ∼h β. Por tanto [α]h =[β]h.

En caso de que [α]h = [β]h calcular de forma explı́cita una homotopı́a con puntos extre-mos fijos {γt}t∈[0,1] de α a β. Solución. La homotopı́a ya fue construida como parte de lademostración del inciso anterior.

Observación 2.3.25. Es importante observar que la fórmula utilizada para definir la homo-topı́a {γt}t∈[0,1] funciona solamente en espacios topológicos para los cuales la operación(1− s)x+ sy está bien definida para y ∈ X fijo, y para cada x ∈ X y s ∈ [0, 1], y si ademásse cumple que (1 − s)x + sy ∈ X . De manera que si un espacio topológico no cumple es-tas condiciones, la fórmula utilizada para definir γ no producirı́a una homotopı́a como seilustrará en el siguiente caso de estudio.

Observación 2.3.26. Para ilustrar gráficamente las curvas producidas por homotopı́as comolas calculadas en la demostración del inciso anterior es posible utilizar el programa OctaveHomotopy1.m cuyo código se muestra a continuación.

function [z,xt]=Homotopy1(m,k,N,type)%%% Examples:% [z,xt]=Homotopy1(100,1,32,0);% [z,xt]=Homotopy1(100,1,32,1);%%s=0:1/m:1;z=exp(2*pi*i*s);plot(real(z),imag(z),’r’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);axis equal;axis tight;if type==1hold on;ends=0:1/N:1;for t=2:k:Nxt=(1-s(t))*z+s(t);plot(real(z),imag(z),’r’,’linewidth’,2,real(xt),...

imag(xt),’b’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);axis equal;axis tight;pause(.4);end


if type==1hold off;end

Un ejemplo de ejecución del programa Homotopy1.m se muestra a continuación.

>> [z,xt]=Homotopy1(100,1,32,1);

La salida gráfica producida por el programa se muestra en la fig. 2.6.

Figura 2.6: Salida gráfica producida por el programa Homotopy1.m.

Caso 2:

Ejercicio para el lector 2.3.8. Dado 0 < r ≤ 1. Considerando el sub-espacio topológico

D2r = {z ∈ C : r ≤ |z| ≤ 1} ⊂ C

y las funciones {γt}t∈[0,1] α : [0, 1]→ D2r : t 7→ exp(2πit) y β = 1̂ ∈ (D2r)[0,1].

Demostrar/verificar que α, β ∈ π(D2r , 1).Idea: Aplicar idea similar a la utilizada demostración del primer inciso del caso 1.


Idea: Esta declaración es falsa dado que α �h β.



Idea: No es posible dado que α �h β.

Observación 2.3.27. Para ilustrar gráficamente que α �h β es posible utilizar el programaOctave Homotopy2.m cuyo código se muestra a continuación.

function [x0,xt,x1]=Homotopy2(r,n,m,N,k,type)%%% Examples:% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.02,2.2,400,128,4,0);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.02,2.2,400,128,4,1);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,3.2,400,128,4,0);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,3.2,400,128,4,1);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,.2,400,128,4,1);% [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,.2,400,128,4,0);%%x0=0*ones(1,m+1);y=-1/2:1/m:1/2;x1=(log(r)/(2*pi))*ones(1,m+1);N1=floor(N/2);N2=ceil(N/2);w0=exp(2*pi*(x0+i*y));w1=exp(2*pi*(x1+i*y));plot(real(w0),imag(w0),’r’,’linewidth’,2,real(w1),imag(w1),’k’,...’linewidth’,2,1,0,’k.’,’markersize’,22);axis equal;axis tight;if type==1hold on;endfor t=1:k:N1xt=(t*(log(r)/pi)/N1)*(abs(y).ˆ(1/n))*(2ˆ(1/n-1));wt=exp(2*pi*(xt+i*y));plot(real(w0),imag(w0),’r’,’linewidth’,2,real(w1),imag(w1),’k’,...’linewidth’,2,real(wt),imag(wt),’b’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,...’markersize’,22);axis equal;axis tight;pause(.4);endp=[-2 3 0 0];p=@(x)polyval(p,x);xp=p(y+1/2);for t=N2:k:Nxt=(log(r)/pi)*(abs(xp-1/2).ˆ(1/n))*(2ˆ(1/n-1));wt=exp(2*pi*(xt+i*y));plot(real(w0),imag(w0),’r’,’linewidth’,2,real(w1),imag(w1),’k’,...


’linewidth’,2,real(wt),imag(wt),’b’,’linewidth’,2,1,0,’k.’,...’markersize’,22);axis equal;axis tight;pause(.4);

xp=p(xp);endif type==1hold off;end

Dos ejemplos de ejecución del programa Homotopy2.m para calcular elementos en [α]h semuestran a continuación.

>> [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,2.2,400,128,4,1);>> [x0,xt,x1]=Homotopy2(.4,.2,400,128,4,1);

Las salidas gráficas producidas por las secuencias de comandos previas se muestran en lafig. 2.7.

Figura 2.7: Salidas gráficas producidas por el programa Homotopy2.m.

Caso 3:

Ejercicio para el lector 2.3.9. Considerando el sub-espacio topológico

D2∗ = {z ∈ C : 0 < |z| ≤ 1} ⊂ C

y las funciones {γt}t∈[0,1] α : [0, 1]→ D2∗ : t 7→ exp(2πit) y β = 1̂ ∈ (D2∗)[0,1].

Demostrar/verificar que α, β ∈ π(D2∗, 1).




2.3.6. Cómputo de Homotopı́as de Parametrizaciones y Productos de Trayectorias

Homotopı́as de Parametrizaciones de Trayectorias

Sea considera ρ ∈ C([0, 1], [0, 1]) tal que ρ(0) = 0 y ρ(1) = 1.Observación 2.3.28. Dado que para cada x, y, s ∈ [0, 1]:

0 ≤ |(1− s)x+ sy| ≤ (1− s)|x|+ s|y| ≤ (1− s) · 1 + s · 1 ≤ 1

como consecuencia de que s, 1 − s ≥ 0 y |x|, |y| ≤ 1. Con base en las observaciones anteriores esposible establecer que [0, 1] es convexo.

Observación 2.3.29. Si se considera la función id[0,1] determinada por la expresión id[0,1](s) = spara cada s ∈ [0, 1], por cálculo elemental y propiedades de restricciones de funciones id[0,1] ∈C([0, 1], [0, 1]). Por propiedades de homotopı́as de trayectorias con puntos extremos fijos, ρ ∼h id,dado que [0, 1] es convexo, ρ(0) = 0 = id[0,1](0) y ρ(1) = 1 = id[0,1](1).

Observación 2.3.30. Dado un espacio topológico X , dada α ∈ C([0, 1]) y dada una parametrizaciónρ ∈ C([0, 1], [0, 1]). Dado que por observaciones previas [0, 1] es convexo y ρ ∼h id[0,1], por pro-piedades del cálculo elemental, se cumplirá en particular que la fórmula ρ̂t(s) = (1 − t)ρ(s) + tsproduce una homotopı́a de ρ a id[0,1]. Por observaciones previas y por propiedades de topologı́ageneral {α ◦ ρt}t∈[0,1] definirı́a una homotopı́a con puntos extremos fijos entre α ◦ ρ0 = α ◦ ρ yα ◦ ρ1 = α ◦ id[0,1] = α. De manera que α ◦ ρ ∼h α.

Homotopı́as de Productos de Trayectorias

Dado un espacio topológico X y dadas α, α′, β, β′ ∈ C([0, 1], X) tales que: α ∗ β y α′ ∗ β′ estánbien definidas, α ∼h α′ y β ∼h β′.Observación 2.3.31. Si se consideran las homotopı́as con puntos extremos fijos {α̂t}t∈[0,1], {β̂t}t∈[0,1]entre α, α′ y β, β′, respectivamente. Para cada t ∈ [0, 1]: α̂t ∗ β̂t estarı́a bien definida y ademásα̂t ∗ β̂t ∈ C([0, 1], X), con base en estos hechos, es claro que {α̂t ∗ β̂t}t∈[0,1] define una homotopı́acon puntos extremos fijos entre α ∗ β y α′ ∗ β′, dado que α̂t ∗ β̂t(0) = α(0) = α′(0), α̂t ∗ β̂t(1) =β(1) = β′(1), α̂0 ∗ β̂0 = α ∗β y α̂1 ∗ β̂1 = α′ ∗β′. Con base en las observaciones previas se cumplirı́aque α ∗ β ∼h α′ ∗ β′.

Dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], X) tales que (α ∗ β) ∗ γ y α ∗ (β ∗ γ) están bien definidas, para cadas ∈ [0, 1] es posible realizar la siguiente observación.Observación 2.3.32.

α ∗ (β ∗ γ)(s) =

α(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2β(4s− 2), 1/2 ≤ s ≤ 3/4γ(4s− 3), 3/4 ≤ s ≤ 1

(α ∗ β) ∗ γ(s) =

α(4s), 0 ≤ s ≤ 1/4β(4s− 1), 1/4 ≤ s ≤ 1/2γ(2s− 1), 1/2 ≤ s ≤ 1

Con base en las observaciones previas, para verificar la propiedad α ∗ (β ∗ γ) ∼h (α ∗ β) ∗ γbastarı́a calcular una parametrización (continua seccionada) de [0, 1] a [0, 1] tal que (α∗(β∗γ))(s) =((α ∗ β) ∗ γ) ◦ ρ(s) para cada s ∈ [0, 1]. Esta idea puede aplicarse para resolver el Ejercicio para ellector 5 de las lecturas complementarias escritas por el profesor.


2.4. Operaciones Inducidas en Clases de Homotopı́a de Trayectorias

Se iniciará esta sección con un lema técnico que para cualquier par α, β ∈ C([0, 1], X) en unespacio topológico X tales que α(1) = β(0) permite calcular la clase [α ∗β]h siempre que se cuentacon información topológica/geométrica sobre las clases [α]h y [β]h.

Lema 2.4.1. Dadas α, α′, β, β′ ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X tales que α(1) = β(0), α ∼h α′y β ∼h β′. Se cumplirá entonces que α ∗ β ∼h α′ ∗ β′.

Demostración. Dado queα ∼h α′ y β ∼h β′,α′(1) = α(1) = β(0) = β′(0), lo que implica queα′∗β′ ∈C([0, 1], X) está bien definido. Además dado que α ∼h α′ y β ∼h β′, existen homotopı́as conpuntos extremos fijos {α̂t}t∈[0,1], {β̂t}t∈[0,1] ⊂ C([0, 1], X) entre α, α′ y β, β′, respectivamente. Conbase en la definición de homotopı́as con puntos extremos fijos, es claro que los hechos previamenteestablecidos implican que la familia de funciones {α̂t ∗ β̂t}t∈[0,1] ⊂ X [0,1] definen un homotopı́acon puntos extremos fijos entre α ∗ β , α′ ∗ β′, lo que implica que α ∗ β ∼h α′ ∗ β′.

Definición 2.4.2. Dadas α, β ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X tales que α(1) = β(0), sedefine la operación de producto · entre las clases de homotopı́a [α]h y [β]h a través de la siguienteexpresión.

[α]h[β]h = [α ∗ β]h

Lema 2.4.3. Dadas α, β ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológicoX , la operación [α]h[β]h está bien definidasiempre que α ∗ β está bien definida.

Demostración. Sean α′, β′ ∈ C([0, 1]) tales que [α′]h = [α]h y [β′]h = [β]h ⇐⇒ α ∼h α′ y α ∼h α′.Dado que α ∗ β está bien definido =⇒ α(1) = β(0), y por el lema 2.4.1 α ∗ β ∼h α′ ∗ β′ ⇐⇒[α ∗ β]h = [α′ ∗ β′]h. Con base en los hechos previamente establecidos, y en la definición delproducto de clases de homotopı́a, se cumplirá entonces lo siguiente.

[α]h[β]h = [α ∗ β]h = [α′ ∗ β′]h = [α′]h[β′]h

Por lo tanto, la operación [α]h[β]h está bien definida siempre que α ∗ β está bien definida. Estoconcluye la demostración

Lema 2.4.4. Dadas α, β, γ ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X tales que las operaciones (α ∗ β) ∗ γy α ∗ (β ∗ γ) están bien definidas, se cumple que ([α]h[β]h)[γ]h = [α]h([β]h[γ]h).

Demostración. Dado que por definición del producto y por el lema 2.4.3:

([α]h[β]h)[γ]h = [α ∗ β]h[γ]h = [(α ∗ β) ∗ γ]h[α]h([β]h[γ]h) = [α][β ∗ γ]h = [α ∗ (β ∗ γ)]h

basta demostrar que [(α∗β)∗γ]h = [α∗(β∗γ)]h, lo cual es equivalente a que (α∗β)∗γ ∼h α∗(β∗γ).Dado que (α ∗ β) ∗ γ y α ∗ (β ∗ γ) están bien definidas, para cada s ∈ [0, 1] es posible observar

lo siguiente.

α ∗ (β ∗ γ)(s) =

α(2s), 0 ≤ s ≤ 1/2β(4s− 2), 1/2 ≤ s ≤ 3/4γ(4s− 3), 3/4 ≤ s ≤ 1

2.4. OPERACIONES INDUCIDAS EN CLASES DE HOMOTOPÍA DE TRAYECTORIAS 49

(α ∗ β) ∗ γ(s) =

α(4s), 0 ≤ s ≤ 1/4β(4s− 1), 1/4 ≤ s ≤ 1/2γ(2s− 1), 1/2 ≤ s ≤ 1

Con base en las observaciones previas, para verificar la propiedad α ∗ (β ∗ γ) ∼h (α ∗ β) ∗ γ bastacalcular una parametrización ρ ∈ C([0, 1], [0, 1]) tal que

(α ∗ (β ∗ γ))(s) = ((α ∗ β) ∗ γ) ◦ ρ(s) (2.4.1)

para cada s ∈ [0, 1]. Con base en (A.2.3) y la restricción de continuidad necesaria para ρ, es claroque ρ deberá cumplir las siguientes condiciones.

ρ([0, 1/2]) = [0, 1/4]

ρ([1/2, 3/4]) = [1/4, 1/2]

ρ([3/4, 1]) = [1/2, 1] (2.4.2)

De manera que basta encontrar a, b, c, d, e, f ∈ R tales que la función:

ρ(s) =

as+ b, s ∈ [0, 1/2]cs+ d, s ∈ [1/2, 3/4]es+ f, s ∈ [3/4, 1]

(2.4.3)

es continua y cumple las condiciones (A.2.4). Con base en estas condiciones es posible determinarlos coeficientes a, b, c, d, e, f ∈ R con base en las condiciones:

a · 0 + b = 0

a · 12

+ b =1

4

c · 12

+ d =1

4

c · 34

+ d =1

2

e · 34

+ f =1

2e · 1 + f = 1

y al resolver estos sistemas se obtienen las soluciones a = 1/2, b = 0, c = 1, d = −1/4, e = 2, f =−1. Con base en estos valores de los coeficientes y con base en (A.2.4) y (A.2.5), es posible estable-cer que si se define:

ρ(s) =

s/2, s ∈ [0, 1/2]s− 1/4, s ∈ [1/2, 3/4]2s− 1, s ∈ [3/4, 1]

entonces (α ∗ (β ∗ γ))(s) = ((α ∗ β) ∗ γ) ◦ ρ(s) para cada s ∈ [0, 1]. Con base en este hecho, por laproposición 2.3.15 se cumplirá entonces que:

α ∗ (β ∗ γ) = ((α ∗ β) ∗ γ) ◦ ρ ∼h (α ∗ β) ∗ γ

y por definición de clases de homotopı́a, se cumplirá lo siguiente.

[α ∗ (β ∗ γ)]h = [((α ∗ β) ∗ γ) ◦ ρ]h = [(α ∗ β) ∗ γ]h

Esto concluye la demostración.


Lema 2.4.5. Dada α ∈ C([0, 1], X) en un espacio topológico X . Se cumplirá que[α̂(0)

]h

[α]h = [α]h y

que [α]h[α̂(1)

]h

= [α]h.

Demostración. Dado que por la definición 2.4.2 del producto · y por el lema 2.4.3:[α̂(0)

]h

[α]h =[α̂(0) ∗ α

]h

[α]h

[α̂(1)

]h

=[α ∗ α̂(1)

]h

basta demostrar que [α̂(0) ∗ α]h = [α]h y [α ∗ α̂(1)]h = [α]h.Sean ρ0, ρ1 ∈ [0, 1][0,1] definidas por las expresiones:

ρ0(s) =

{0, s ∈ [0, 1/2]2s− 1, s ∈ [1/2, 1]

y

ρ1(s) =

{2s, s ∈ [0, 1/2]1, s ∈ [1/2, 1]

por cálculo elemental es claro que ρ0, ρ1 ∈ C([0, 1], [0, 1]) y que ρ0(0) = 0 = ρ1(0) y ρ0(1) =1 = ρ1(1), lo que implica que ρ0, ρ1 definen parametrizaciones continuas de [0, 1]. Con base en lasdefiniciones de ρ0, ρ1 es posible observar que para cada s ∈ [0, 1]:

α ◦ ρ0(s) ={α(0), s ∈ [0, 1/2]α(2s− 1), s ∈ [1/2, 1] =

{α̂(0)(2s), s ∈ [0, 1/2]α(2s− 1), s ∈ [1/2, 1]

= α̂(0) ∗ α(s)

α ◦ ρ1(s) ={α(2s), s ∈ [0, 1/2]α(1), s ∈ [1/2, 1] =

{α(2s), s ∈ [0, 1/2]α̂(1)(2s− 1), s ∈ [1/2, 1]

= α(s) ∗ �

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