INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE ECONOMÍA MATERIA: SISTEMAS DINÁMICOS

MAESTRO: CARLOS A. YÁÑEZ

SOLUCIÓN MEDIANTE EL MÉTODO DE VALORES Y VECTORES PROPIOS.

SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES, SUPONER QUE LA SOLUCIÓN ES DE LA FORMA:

DONDE V ES UN VECTOR EN EL CAMPO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Y DERIVAR RESPECTO A T,

SUSTITUIR EL SISTEMA

DADO QUE ENTONCES

PARA EVITAR SOLUCIONES NO TRIVIALES ES NECESARIO QUE EL SISTEMA HOMOGÉNEO

TENGA UN NÚCLEO NO NULO Y, POR ENDE, NO SEA INVERTIBLE. EN OTRAS PALABRAS, ES VALOR PROPIO DE A SI Y SOLO SI ES UNA RAÍZ DEL POLINOMIO CARACTERÍSTICO DE A. Y SE ASOCIA A CADA VALOR PROPIO UN VECTOR PROPIO CORRESPONDIENTE, .

EL POLINOMIO SE EXPRESA COMO P(A)= SI LA MATRIZ A ES N X N, ENTONCES EL TÉRMINOS DE MENOR GRADO. LO QUE PERMITE ESTABLECER QUE A LOS MÁS EXISTEN N RAÍCES PUEDE SER UNA COMBINACIÓN DE RAÍCES REPETIDAS DISTINTAS; O BIEN, TENER SOLO RAÍCES DISTINTAS(REALES Y COMPLEJOS). A CONTINUACIÓN SE PRESENTA EL ANÁLISIS DE LOS POSIBLES CASOS.

SI LA MATRIZ TIENE VALORES PROPIOS DISTINTOS: . LOS RESPECTIVOS VECTORES PROPIOS:TIENEN LA PROPIEDAD DE SER LINEALMENTE INDEPENDIENTES, FORMAN UNA BASE DEL ESPACIO VECTORIAL. LA MATRIZ ES DIAGONIZABLE COMO EN EL CASO DE LA SECCIÓN ANTERIOR.

EN ESTE SENTIDO, SE AFIRMA QUE EL CONJUNTO DE SOLUCIONES CONSTITUYEN UNA BASE. Y SE DEMUESTRA APLICANDO EL WRONSKIANO,

NUNCA ES CERO, Y LAS SON LINEALMENTE INDEPENDIENTES.

SEA EL SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES, CON LOS VALORES PROPIOS REALES Y DISTINTOS : , ENTONCES LA SOLUCIÓN AL SISTEMA ES:

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES

INICIALES • • MATRIZ CARACTERÍSTICA • • MATRIZ

• POLINOMIO CARACTERÍSTICO•

•

• SUSTITUIMOS • • SUSTITUIMOS • • •

• RESOLVEMOS CON LA SIGUIENTE FORMULA • • SUSTITUIMOS EN LA FORMULA •

RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES CON CONDICIONES

INICIALES • • •

• MATRIZ CARACTERÍSTICA:

• MATRIZ • =

• POLINOMIO CARACTERISTICO• =

•

• =

•  

Sustituimos = -4 = =  Sustituimos

SUSTITUIMOS EN = 2  = =

 

SUSTITUIMOS EN = 8  = =    Sustituimos