Sistemas de numeración Representación de números … · Sist. Electrónicos Digitales J.F....

1Sist. Electrónicos Digitales J.F. Martín

Tema 1 Introducción a los Sistemas Digitales

• SistemaEstructura y comportamientoSeñal analógica y señal digitalSeñal binaria

• Sistemas de numeración

• Representación de números enterosSigno-magnitudComplemento a dos

• CodificaciónCódigos numéricosCódigos alfanuméricosDetección de errores

Sistema

• Estructura y Comportamiento

Un sistema físico establece una relación causal entre excitaciones (señales de entrada) y respuestas a tales excitaciones (señales de salida)

Alfabeto de entrada. Conjunto de valores posibles de las señales de entrada

Alfabeto de salida. Conjunto de valores posibles de las señales de salida

Comportamiento Entrada/Salida.Conjunto de relaciones que el sistema establece entre las señales de entrada y las de salida

Puede ser punto de partida en el diseño del sistema, ó punto final en el análisis

1 2 nσ , σ , ...... σ=∑

Ω ω ω ω1 2 m, , ...... =

Realidad Comportamientoentrada - salida

Análisis

Síntesis

Para facilitar la resolución de sistemas digitales de gran complejidad, podemos establecer tres niveles jerárquicos:

a) Nivel de arquitecturaTambién llamado nivel de sistema. Es el nivel más alto, y se caracteriza por la administración global del sistema. Permite descomponer un sistema complejo en varios subsistemas menos complejos

b) Nivel lógicoNivel intermedio. Se preocupa por detalles del sistema, proponiendo una solución desde consideraciones lógicas, sin tener en cuenta el problema de la fabricación física de los dispositivos lógicos que utiliza

c) Nivel físicoNivel inferior. Se preocupa de los detalles necesarios para fabricar o montar el sistema.

La asignatura de Sistemas Electrónicos Digitales trata del estudio de los circuitos digitales en el Nivel lógico.

• Señal analógica y señal digitala) Señal analógica.

Consiste en representar la información de forma que admita cualquier valor dentro del rango definido para la señal, en cualquier instante de tiempo.

b) Señal analógica muestreada.Consiste en representar la información de forma que admita cualquier valor dentro del rango definido para la señal, en unos instantes de tiempo determinados.

c) Señal digital.Consiste en representar la información de forma que admita un conjunto de valores discretos, en unos instantes de tiempo determinados.

1234567

Señal analógica

Señal analógicamuestreada

Señal digital

• Señal binaria

Señal binariaConsiste en representar la información mediante dos únicos valores que generalmente se asimilan al 0 y al 1

Circuito digitalSe caracteriza por utilizar señales binarias

1 Lógico

0 Lógico

tt0 t1 t2 t3

Diseño lógicoConsiste en la construcción de circuitos digitales utilizando como elementos base, las puertas lógicas

Puerta lógicaCircuito electrónico, de comportamiento específico, que permite ejecutar operaciones lógicas específicas para unas señales de entrada, produciendo como resultado unas señales de salida.

Las puertas lógicas están disponibles comercialmente empaquetadas en circuitos integrados (CI)

La teoría de diseño lógico de circuitos digitales se conoce como teoría de conmutación y su base teórico-matemática es el álgebra de conmutación o álgebra de Boole

Los sistemas digitales se dividen en sistemas combinacionales y sistemas secuenciales

Sistema combinacionalLa salida en un instante de tiempo t sólo depende del valor de la entrada en dicho instante t

Z(t) = G(x(t))

El sistema NO tiene memoria, por lo que realmenteZ = G(x)

Sistema secuencialLa salida en un instante de tiempo t depende del valor de la entrada en dicho instante t y de las entradas previas

Z(t) = G1(x(t),s(t))s(t+1) = G2(x(t),s(t))

Donde:G1 Función de Salida.G2 Función de Transición de Estados.s(t) Estado del sistema en el instante t

Sistemas de numeración

• Alfabeto

Los elementos de un alfabeto A pueden ser representados mediante combinaciones de símbolos pertenecientes a un conjunto B tal que |B| << |A|.

Una codificación del alfabeto A es una aplicación uno a uno :

donde los elementos de A se representan por n-eplas de símbolos pertenecientes a B.

• Representación numérica en base B

Es una codificación de ZN = 0, 1, ..... , N-1, en el conjunto de símbolos B=x0, x1, x2, ... , xB-1 utilizando un alfabeto A = s0, s1, s2, ... , sK, donde cualquier natural X tiene asociada una palabra en A

n : A Bϕ →

N j n-1 n-2 1 0 i jX Z s =[x ,x , ... ,x ,x ] / x B , s A∈ → ∈ ∈

• Valor numérico

Dado el elemento X representado por la palabra [xn-1, xn-2 , ... , x1 , x0], su valor numérico viene dado por:

• Orden lexicográfico

Dados dos X = [xn-1 , xn-2 , ... , x1 , x0], Y = [yn-1 , yn-2 , ... , y1 , y0] representados en una determinada base, se establece la siguiente regla de orden:

n-1 n-2 1 0n-1 n-2 1 0 n-1 n-2 1 0[x ,x , ... ,x ,x ] = x B +x B + ... +x B +x B

j j k kX < Y existe un índice j / x <y y además x =y k>j⇔

• Propiedades de los sistemas de numeración

a) La representación de cada X es única

b) A cada elemento de B se denomina dígito

c) El número de elementos de B se denomina base del sistema |B|

d) El dígito de mayor valor es |B|-1

e) A cada elemento del alfabeto se le denomina palabra

f) El número de palabras de un alfabeto viene dado por |B|n donde:

|B| número de dígitos de la base Bn longitud de palabra de los elementos del alfabeto

• Sistema Binario

B = 0,1 |B| = 2

Cada uno de los dígitos recibe el nombre de bitEl bit más a la izquierda del número, se denomina bit más significativo y el bit más a la derecha del número, se denomina bit menos significativo

Ejp. 0100011101110001↑ ↑

Bit más significativo Bit menos significativo• Sistema Octal

B = 0,1,2,3,4,5,6,7 |B| = 8

• Sistema Hexadecimal

B = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F |B| = 16

F17111115

E16110114

D15101113

C14100112

B13011111

A12010110

91100119

81000018

70711107

60611006

50510105

40410004

30301103

20201002

10100101

00000000

HexadecimalOctalBinarioDecimal

Representación de números enteros

• Representación signo-magnitud

Para el caso binario, dado un tamaño de palabra de n bits, podemos representar el siguiente rango de números sin signo

La representación signo-magnitud consiste en añadir un bit adicional (bit de signo), que tendrá el valor 0 para los números positivos y el valor 1 para los números negativos

Para un tamaño de palabra de n bits, podemos representar el siguiente rango de números signados en formato signo-magnitud

n0 x 2 - 1≤ ≤

n-1 n-1-(2 - 1) x (2 - 1)≤ ≤

Sin signo Signo-magnitud

0 ≤ x ≤ 23-10 ≤ x ≤ 7

01234567

000001010011100101110111

0 ≤ x ≤ 22-10 ≤ x ≤ 3

00011011

0 ≤ x ≤ 21-10 ≤ x ≤ 1

1RangoDec.Bin.n

-(23-1-1) ≤ x ≤ (23-1-1)-3 ≤ x ≤ 3

01230-1-2-3

000001010011100101110111

-(22-1-1) ≤ x ≤ (22-1-1)-1 ≤ x ≤ 1

00011011

2RangoDec.Bin.n

• Representación complemento-a-dos

La representación complemento-a-dos de un número con signo consiste en:

a) Los números con el bit más significativo con valor 0, serán considerados como positivos

b) Los números con el bit más significativo con valor 1, serán considerados como negativos

c) Para un tamaño de palabra de n bits, podemos representar el siguiente rango de números signados en formato complemento-a-dos:

-(2n-1) ≤ x ≤ (2n-1- 1)

Dado un número, el cálculo de su opuesto, se efectúa en 2 etapas (método 1):

1) Se obtiene el complementario del número2) Se suma 1 al resultado obtenido en el paso 1

Dado un número, el cálculo de su opuesto, se efectúa en 2 etapas (método 2):

1) Se busca el primer bit con valor 1 partiendo del bit menos significativo (bit diferenciador)

2) Se complementan todos los bits a la izquierda del bit diferenciador

Suma binaria Operación complementación

1011010101100000

AcarreoResultadoOperandos

ResultadoOperando

-(24-1) ≤ x ≤ (24-1-1)-8 ≤ x ≤ 7

01234567

-8-7-6-5-4-3-2-1

0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111101111

-(23-1) ≤ x ≤ (23-1-1)-4 ≤ x ≤ 3

-4-3-2-1

000001010011100101110111

-(22-1) ≤ x ≤ (22-1-1)-2 ≤ x ≤ 1

00011011

RangoDec.Bin.n

Codificación

• Códigos numéricos

Código BCD

Dado un número sin signo en base 10 N10= dn-1dn-2...d1d0 se convierte a BCD estándar representando en binario de 4 bits cada uno de sus dígitos di

Código Exceso 3

Dado un número sin signo en base 10 N10= dn-1dn-2...d1d0 se convierte a E3 estándar representando en binario de 4 bits cada uno de sus dígitos di más tres

Presenta como ventaja al código BCD que genera automáticamente el acarreo cuando se suman dos dígitos

n-1 i 0n-1 n-1 n-1 n-1 i i i i 0 0 0 03 2 1 0 3 2 1 0 3 2 1 0

d ....... d ....... db b b b ....... b b b b ....... b b b b

Código Gray

Fórmula de generación recursiva:

Es un código reflejado, no posicional

Presenta la propiedad de que dos números consecutivos, representados en este código, sólo difieren en 1 bit

refn+1 n n 1G = 0G ,1G donde G = 0,1 n 1≥

0000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

0000 00110000 01000000 01010000 01100000 01110000 10000000 10010000 10100000 10110000 11000100 00110100 01000100 01010100 01100100 01110100 1000

0000 00000000 00010000 00100000 00110000 01000000 01010000 01100000 01110000 10000000 10010001 00000001 00010001 00100001 00110001 01000001 0101

0123456789101112131415

GRAYE3BCD

• Códigos de caracteres

Son adecuados para almacenar información no numérica

Asignan una palabra binaria de longitud fija, para representar la menor unidad de información alfanumérica, esto es, para cada carácter gráfico

a) Código ASCII. (American Standard Code for Information Interchange).

Utiliza un tamaño de palabra binaria de 8 bits, siendo siempre el bit más significativo 0, por lo que puede representar 128 caracteres distintos

b) Código EBCDIC. Desarrollado por IBM.

Utiliza un tamaño de palabra binaria de 8 bits, por lo que puede representar 256 caracteres distintos

• Detección de errores

Todos los sistemas digitales, debido a diversos factores, tienen errores ocasionalmente.

Hay diversos métodos de codificar datos, de forma que puedan ser detectados errores en la transmisión de dichos datos. Uno de los posibles métodos es el de control de paridad.

Dada una palabra de n bits, X=[xn-1,xn-2, ... ,x1,x0] definimos su función de paridad, P(X) como:

P(X) = xn-1+xn-2+ ... +x1+x0 (módulo 2)

Si P(X) = 0 ⇒ X tiene paridad par

Si P(X) = 1 ⇒ X tiene paridad impar

P(01101001) = 0+1+1+0+1+0+0+1 = 0 (módulo 2)

P(11001101) = 1+1+0+0+1+1+0+1 = 1 (módulo 2)

La función P(X) puede ser implementada mediante la operación XOR.

Es claro que un error que provoque la variación de un sólo bit en una palabra transmitida, provocará un cambio de paridad en dicha palabra.

Para detectar este tipo de errores se añade un bit adicional p llamado, bit de paridad, que tendrá el valor adecuado, de forma que todas las palabras del sistema tengan una paridad fija (ya sea paridad par ó paridad impar)

Para el caso de paridad par:

p = xn-1+xn-2+ ... +x1+x0 (módulo 2)

Para el caso de paridad impar:

p = xn-1+xn-2+ ... +x1+x0+1 (módulo 2)

Para detectar los errores de paridad se utiliza la función de verificación de paridad, e(X) definida como:

e(X) = xn-1+xn-2+ ... +x1+x0+p (módulo 2)

Para el caso de paridad par:

Si e(X) = 0 ⇒ dato correcto

Si e(X) = 1 ⇒ dato incorrecto

Para el caso de paridad impar:

Si e(X) = 0 ⇒ dato incorrecto

Si e(X) = 1 ⇒ dato correcto

Generador de paridad Verificador de paridad

Subsistemapropensoa errores

P P Función de paridadde bits(n+1)

Función de paridadde bitsn

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